Fisica I - Appunti completi del corso

Appunti completi del corso di Fisica I per il CdL in Ingegneria gestionale (UNIBG). Il documento contiene tutte le nozioni teoriche e le formule richieste allo scritto e all'orale. Il documento …

Esame Fisica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Lupato Anna

Università Università degli Studi di Bergamo

Publisher alepeccenini

A.A. 2024-2025

66 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Fisica I

Ingegneria Gestionale

Primo Semestre a.a. 2024/2025

1 Cinematica del punto

La meccanica è la disciplina che si occupa dello studio del moto dei corpi e in

particolare della relazione tra le cause che generano il moto e le caratteristiche

del moto stesso. I corpi sono comunemente estesi e di varie forme, per questo

risulta più semplice iniziare lo studio dal corpo fondamentale, il punto mate-

riale.

Il punto materiale si può muovere di traslazione, rotazione e vibrazione, ma il

suo moto può essere determinato solo se è nota la sua posizione in funzione del

tempo in un determinato sistema di riferimento.

La traiettoria è il luogo dei punti occupati successivamente dal punto e costi-

tuisce una curva nello spazio.

Le grandezze fondamentali in cinematica sono:

• Posizione

• Velocità

• Accelerazione

• Tempo

1.1 Variabili cinematiche

La traiettoria di un punto P in moto è in generale una linea curva. Per poterla

definire non basta il valore numerico della distanza percorsa, ma è necessario

definire anche la direzione istantanea e il verso del moto. A questo fine si fa uso

dei vettori.

Dato un sistema di riferimento cartesiano con origine O e assi x, y, z, la posizione

del punto può essere individuata attraverso il raggio vettore r, che congiunge

O a P. Durante il moto la posizione del punto cambia nel tempo: il raggio

vettore è funzione del tempo r(t).

In quanto vettore, r può essere espresso come il prodotto tra le componenti x,

y,z e i versori degli assi û , û , û .

x y z

r(t) = OP = x(t)û + y(t)û + z(t)û

x y z

1.2 Velocità

Consideriamo due posizioni occupate da P al tempo t e al tempo t + ∆t: esse

sono individuate dai vettori

r(t) e r(t + ∆t) = r(t) + ∆r

−

Il vettore ∆r = r(t + ∆t) r(t) si chiama vettore spostamento e si definisce

velocità media del punto materiale durante l’intervallo ∆t il vettore rapporto

tra lo spostamento ∆r l’intervallo di tempo necessario per percorrerlo:

∆r

v =

m ∆t

La velocità media è un vettore parallelo allo spostamento ed esprime la rapidità

con cui quest’ultimo avviene nel tempo.

Il problema è che non fornisce alcuna informazione su come avviene il moto

in questo intervallo. Per risolvere il problema possiamo ridurre l’intervallo ∆t.

Se lo spostamento ∆r viene suddiviso in infinitesimi dr, ciascuno percorso nel

corrispettivo tempo dt, si può definire la velocità istantanea del punto in un

momento t come il rapporto dr

v = dt →

Per ottenere questo rapporto abbiamo calcolato il limite per ∆ 0 del rapporto

∆r

incrementale .

∆t

Si può dunque concludere che la velocità istantanea non sia altro che la derivata

della posizione rispetto al tempo.

1.3 Componenti cartesiane della velocità

Poichè r = z û + yû + z û

x y z

dr dx dy dz

v = = û + û + û = v û + v û + v û

x y z x x y y z z

dt dt dt dt

Conoscendo, poi, l’angolo compreso tra v e gli angoli cartesiani, possiamo cal-

colare le componenti del vettore v

v = v cos ϕ

x x

Al contrario, note le componenti p

v + v + v

v = x y z

E ricordando che v y

tan ϕ = v x

Lo spostamento complessivo in un determinato intervallo di tempo è pari alla

somma vettoriale di tutti gli infinitesimi spostamenti dr. Possiamo esprimere

questo passaggio logico integrando r t

Z Z

∆r = dr = v(t) dt

r t

0 0

Dalla definizione di velocità media −

r r

v =

m −

t t

Ricaviamo la relazione tra la velocità media e la velocità istantanea

Z

1 v(t) dt

v =

m −

t t

0 t 0

1.4 Accelerazione

Quando la velocità del moto varia nel tempo, si parla di moto accelerato. Si

definisce a questo punto accelerazione media il rapporto tra la variazione di

velocità ∆v e l’intervallo di tempo in cui essa ha luogo ∆t

∆v

a =

m ∆t

Cosı̀ come per la velocità, risulta più interessante conoscere l’accelerazione

→

istantanea, calcolata per ∆t 0. 2

∆v d r

a = = 2

∆v dt

Con a = 0 il punto si muove di moto rettilineo uniforme.

1.5 Componenti cartesiane dell’accelerazione

2 2 2

dv dv dv dv d x d y d z

x y z

a = = û + û + û = û + û + û = a û +a û +a û

x y z x y z x x y y z z

2 2 2

dt dt dt dt dt dt dt

1.6 Moto rettilineo

Il moto rettilineo è il moto che può compiere un punto su una retta, può essere

rappresentato su un piano x-t. La pendenza della retta sul piano corrisponde

alla velocità del punto.

y = mx + q m = velocità del punto

La pendenza della retta, inoltre, corrisponde alla derivata della velocità media

del percorso.

Consideriamo il caso in cui il moto rettilineo è uniformemente accelerato

Z −

x(t) = x + v dt = x + v(t t )

0 0 0

t 0

Ponendo t = 0 otteniamo la legge oraria del MRU.

Considerando invece 2

d x costante

a = 2

dt −

v(t) = v + a(t t )

0 0

Z

x(t) = x + v(t) dt =

0 t 0

t t

Z Z −

= x + v dt + a(t t ) dt =

0 0 0

t t

0 0 t

Z

− −

= x + v (t t ) + a (t t ) dt

0 0 0 0

1 2

−

− a(t t )

x(t) = x v (t t ) + 0

0 0 0 2

Che è la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato

1.7 Moto verticale di un corpo

Un corpo libero sulla Terra cade con un’accelerazione pari a

g = 9, 81 2

Questo moto è rettilineo uniformemente accelerato, dove a = g.

E’ necessario prestare attenzione all’orientamento dell’asse di riferimento. Se

l’asse y è rivolto verso l’alto, l’accelerazione di gravità g sarà rivolta verso il

basso. −

v(t) = v gt

0 1 2

−

x(t) = x + v t gt

0 0 2

Ricaviamo il tempo di caduta ponendo x(t ) = 0 ottenendo

s 2h

t = g

1.8 Moto armonico semplice

Possiamo definire il moto armonico semplice come un moto la cui legge oraria è

data dal prodotto tra le funzioni seno e/o coseno e il fattore (ωt + ϕ)

x(t) = A sin(ωt + ϕ)

Dove

• A è l’ampiezza

• ω è la pulsazione

• ϕ è la fase iniziale

• (ωt + ϕ) è la fase x(t = 0) = A sin ϕ

Essendo seno e coseno funzioni periodiche, il moto si ripeterà identico a se stesso

dopo un certo periodo T . 2π

T = ω

x(t) = x(t + T )

La frequenza è il numero di oscillazioni in 1 secondo

1 ω

ν = =

T 2π

Se dx

v(t) = ωA cos(ωt + ϕ)

Allora 2

d x 2 2

−ω −ω

a(t) = = A sin(ωt + ϕ) = x(t)

dt 5

1.8.1 Velocità e accelerazione rispetto alla posizione

dv dv(x(t)) dv dx dv

a = = = = v

dt dt dx dt dx

a = v =⇒ adx = vdv

dx v

x Z

Z vdv =

a(x) dx = v

x 0

1 2 2

−

= v v 0

Nel moto uniformemente accelerato, l’accelerazione è costante

1 1

2 2

− −

a(x x ) = v v

0 0

2 2

−g,

Se a = il corpo cade partendo da fermo e si ha

p −

2g(h x)

v(x) =

1.8.2 Posizione nel moto armonico

Z a(x) dx =

x 0 x

Z

−

= ω x dx =

x 0

1 2 20 2

−

= ω (x x ) =

1 1

2 2

−

= v v 0

2 2

2 2 2 20 2

−

v (x) = v + ω (x x )

0 6

1.9 Moto su una traiettoria curvilinea

v = û = vû

T T

d(vû

T

a = =

dvû dvû

T T

= + =

dt dt

dϕû

dvû N

T + v

= dt dt

La velocità angolare risultante è la somma delle velocità angolari su ciascun

asse, cosı̀ come per la velocità.

1.10 Moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniforme la traiettoria è rappresentata da una circonferenza

e la velocità risulta costante in modulo, ma non in direzione e verso.

La posizione angolare nel moto circolare uniforme è

s(t)

θ(t) = R

Mentre l’accelerazione 2

v û = a

a = T c

R

La posizione e la velocità rispetto al tempo si calcolano come

x(t) = r cos θ(t)

v(t) = R sin θ(t)

Si definisce velocità angolare media il rapporto tra ∆θ e ∆t

∆θ

ω =

m ∆t →

Mentre si definisce velocità angolare istantanea il limite per ∆t 0 di ω

dθ

α = dt

Se teniamo conto di s(t) = Rθ(t) dθ 1 ds v

ω = = =

dt R dt R

Il moto circolare più semplice è quello uniforme, si tratta di un moto accelerato

con accelerazione costante, sempre ortogonale alla traiettoria.

v 2

a = a = = ω R

N R

Se il moto però non è uniforme, dobbiamo anche considerare l’accelerazione

tangenziale a = . Essendo che varia anche la velocità angolare ω, è neces-

T dt

sario considerare l’accelerazione angolare media

∆ω

α =

m ∆t

Nel caso invece di un moto circolare uniformemente accelerato

ω = ω + αt

0 1 2

θ = θ + ω t + αt

0 0 2

2 2

a = ω R = (ω + αt) R

N 0

1.11 Moto parabolico

Il moto parabolico è il moto seguito da un punto lanciato dall’origine O con ve-

locità iniziale v e formante un angolo θ con l’orizzontale. Parametri importanti

del moto parabolico sono:

• La traiettoria

• L’altezza massima

• La gittata −

v(t) = v gtu

0 y −

v(t) = v cos θu + (v sin θ gt)u

0 x 0 y

x = v t cos θ

0 1 2

−

y = v t sin θ gt

0 2

v sin 2θ

x =

G g 2

v sin θ

y =

M 2g

2v sin θ

t =

G g 8

2 Dinamica del punto

La variazione dello stato di un corpo è determinata dall’interazione di esso con

l’ambiente. Infatti secondo il principio d’inerzia:

Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, ovvero resta

in quiete se era fermo oppure si muove di moto rettilineo uniforme.

Un corpo è in equilibrio statico quando è in quiete, si dice invece in equilib-

rio dinamico nel momento in cui si muove di moto rettilineo uniforme.

Il principio d’inerzia richiede, in caso di moto, che esso sia uniforme. Per ot-

tenere quindi un moto accelerato è necessaria l’azione di una forza.

La forza è una grandezza che misura l’interazione tra sistemi fisici. La forza

è una grandezza vettoriale e l’intensità di una forza è misurata tramite il di-

namometro.

2.1 Leggi di Newton

La formulazione quantitativa del legame tra forza e moto è data dalla seconda

legge di Newton F = ma

Newton scoprı̀ un’ulteriore proprietà delle forze, che si può enunciare nella

seguente forma:

• Se un corpo A esercita una forza F su un corpo B, il corpo B reagisce

A,B

esercitando una forza F sul corpo A.

B,A

• Le due forze hanno stessa direzione e modulo, ma verso opposto

F = F

A,B B,A

2.2 Quantità di moto e Impulso

Si definisce quantità di moto di un punto materiale il vettore

p = mv

Se la massa è costante si può scrivere dp

F = dt

L’azione di una forza nel tempo dt provoca una variazione infinitesima della

quantità di moto del punto. Si ha p

t Z

Z −

dp = p p = ∆p

F dt =

J = 0

t 0

Il termine J, integrale della forza nel tempo, è chiamato impulso della forza.

Teorema dell’impulso

• L’impulso di una forza applicata a un punto materiale provoca la vari-

azione della quantità di moto

• Se la quantità è costante allora −

J = m(v v ) = m∆v

2.3 Risultante delle forze ed Equilibrio statico

Quando su un punto materiale agiscono contemporaneamente più forze, il moto

del punto ha luogo come se agisse una sola forza, detta risultante vettoriale

delle forze. Se F = 0 e il punto è inizialmente fermo, esso rimane in quiete.

In questo caso si realizzano le condizioni di equilibrio statico.

2.4 Azione dinamica delle forze ed Equilibrio dinamico

Si ha equilibrio dinamico nel momento in cui l’azione delle forze sul punto

materiale provoca un moto uniforme non accelerato.

2.5 Forza peso

In uno stesso luogo tutti i corpi, a prescindere dalla massa, assumono, se lasciati

liberi di cadere, la stessa accelerazione, detta acclerazione di gravità.

Se agisce solo la forza peso P abbiamo

P = ma = mg a = g

2.6 Reazione vincolare

Se un corpo, soggetto all’azione di una forza o della risultante non nulla di

un’insieme di forze, rimane fermo, dobbiamo dedurre che l’azione della forza

provoca una reazione dell’ambiente circostante, detta reazione vincolare, che

si esprime tramite una forza uguale e contraria alla forza o alla risultante delle

forze agenti, applicata al corpo in modo tale che esso rimanga in quiete.

2.7 Forza di attrito radente

Applichiamo a un corpo appoggiato su un piano orizzontale una forza F parallela

al piano d’appoggio. Si osserva che il corpo non entra in movimento fino a che il

modulo di F non supera il valore µ N , dove µ è detto coefficiente di attrito

s s

statico. Abbiamo: ≤

condizione di quiete F µ N

condizione di moto F > µ N

In condizioni di quiete è realizzato l’equilibrio statico

R + F + P =0

Dette N e F le componenti verticale e orizzontale della reazione R, si ha

as N = mg F = F

Il vincolo è in grado di sviluppare una forza, detta di attrito radente statico.

Una volta superata µ N , il corpo entra in movimento e si osserva che si oppone

al moto un’altra forza detta forza di attrito radente dinamico F d = µ N ,

a d

dove µ è detto coefficiente di attrito dinamico. Risulta sempre µ < µ

d d s

−

F µ N = ma

2.8 Piano inclinato

Consideriamo un corpo che possa muoversi sotto l’azione della forza peso e di

eventuali altre forze, su una superficie piana inclinata di un angolo θ rispetto a

un piano orizzontale, detta piano inclinato.

Se agisce solo la forza peso P , si ha, secondo la legge di Newton

P + R = ma

Dove R è la reazione vincolare, la quale ha un’unica componente normale al

piano, detta vincolo liscio. Scomponendo ortogonalmente e parallelamente al

piano si ha −mg cos θ + N = 0 mg sin θ = ma

Il corpo scende con moto uniformemente accelerato e l’accelerazione è minore

di quella di gravità.

Se consideriamo anche la forza di attrito, la condizione di equilibrio per un corpo

du un piano inclinato scabro è ≤

tan θ µ

2.9 Tensione dei fili

Un filo può essere fissato in un estremo a un punto fisso e nell’altro a un punto

materiale, oppure può collegare due punti materiali. La forza esercitata dal filo

su qualsiasi punto materiale si chiama tensione del filo. Supporremo sempre

che il filo sia inestensibile e di massa trascurabile.

Consideriamo un filo teso in quiete e prendiamo in esame un elemento infinites-

imo ds di esso. Questo elemento è tirato dalle due restanti parti di filo e

l’equilibrio statico richiede che le due forze siano uguali e opposte. Ciò deve

valere per qualsiasi elemento di filo e dunque la tensione è uguale ovunque.

Consideriamo un filo teso in movimento. Se il filo è inestensibile, tutti i punti

del filo devono avere la stessa accelerazione e due corpi collegati a da un filo

teso in movimento devono avere la stessa accelerazione.

Allo stesso scopo si posso utilizzare delle bacchette solide, con la differenza che

queste possono funzionare anche in compressione e possono anche sopportare

forze che non siano esclusivamente dirette come la bacchetta stessa.

2.10 Forza elastica e oscillatore armonico semplice

Si definisce forza elastica una forza di direzione costante, con verso rivolto

sempre a un punto O, chiamato centro, e con modulo proporzionale alla distanza

da O. Se assumiamo come asse x la direzione della forza e come origine il centro,

possiamo scrivere −

F kxu x

Dove k è una costante positiva detta costante elastica.

L’accelerazione vale k

F 2

− −ω

= x = x

a = m m

Questo sistema costituisce un oscillatore armonico semplice, e il moto è

armonico semplice con pulsazione ω e periodo T

r k 2π m

ω = T = = 2π

m ω k

Nella pratica, una forza elastica è applicata tramite una molla, la quale presenta

una lunghezza a riposo. Se la molla viene estesa, sviluppa una forza F

−k(l − −kxu

F = l )u =

0 x x

Il modulo di questa forza di richiamo è proporzionale alla deformazione fino

a che non si supera il limite di elasticità della molla.

Supponiamo ora di avere una molla bloccata a un estremo, deformata di x e

che all’altro estremo sia fissato un punto materiale di massa m che poggia su

un piano orizzontale liscio. Se all’istante t = 0 il punto viene lasciato libero con

velocità nulla, esso si muove di moto armonico.

2 d x k

d x −kx ⇒

= + x = 0

m = 2 2

dt dt m

2.11 Pendolo semplice

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite un filo

ideale. La posizione di equilibrio statico è quella verticale, con il punto fermo

ed il filo teso. la forza esercitata dal filo (tensione) é

T = mg

Spostando il punto dalla verticale, esso inizia a oscillare attorno alla posizione

di equilibrio lungo un arco di circonferenza di raggio l pari alla lunghezza del

filo. Consi

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