Fisica 1 - Introduzione

METODO SCIENTIFICO

lunedì 19 settembre 2022

È un approccio intellettuale per selezionare le idee sul funzionamento della natura

Questo metodo è suddiviso per punti:

1. Caratterizzazione di un fenomeno isolare il più possibile il fenomeno che si vuole studiare

• es) Se voglio studiare il moto di una pallina, il colore è trascurabile

2. Raccolta di osservazioni
3. Formulazioni ipotesi Provare a spiegare il fenomeno

   NB E se ho fatto più ipotesi, Come faccio a selezionarle?

   In questi casi uso il rasoio di Occam che consiste nel utilizzare le ipotesi più semplici

4. Deduzione di conseguenze Con la mia ipotesi devo poter spiegare anche altri fenomeni della stessa natura

• es) Funzione di una marea X e resa di quella dei pianeti Y

5. Preparazione di esperimenti Per verificare le conseguenze della mia ipotesi
6. Esecuzione degli esperimenti Devono essere ripetibili e riproducibili

• es) Oroscopo

NB La scienza dice ciò che è falso, non ciò che è vero Il metodo scientifico si basa sul confronto tra ipotesi e osservazioni

METODO SCIENTIFICO

lunedì 19 settembre 2022 17:38

È un approccio intellettuale per selezionare le idee sul funzionamento della natura

Questo metodo è suddiviso per punti:

1. Caratterizzazione di un fenomenoisolare il più possibile il fenomeno che si vuole studiarees Se voglio studiare il moto di una pallina il colore è trascurabile
2. Raccolta di osservazioni
3. Formulazioni ipotesiProvare a spiegare il fenomeno

NB E se ho fatto più ipotesi, Come faccio a selezionarle?

In questi casi uso il rasoio di Occam che consiste nel utilizzare le ipotesi più semplici

4. Deduzione di conseguenzeCon la mia ipotesi devo poter spiegare anche altri fenomeni della stessa naturaes Funzione di ora posso spiegare x invece di quella del pianeta y
5. Preparazione di esperimentiPer verificare le conseguenze della mia ipotesi
6. Esecuzione degli esperimentiDevono essere ripetibili e riproducibilies Oroscopo=È FONDAMENTALE

NB “La scienza dice ciò che è falso, non ciò che è vero”Il metodo scientifico si basa sul confronto tra ipotesi e osservazioni

(1564 - 1642)

LA SCIENZA

Le caratteristiche principali della scienza sono:

• Non è autoritaria Ovvero, non riconosce l'autorità di chi parla
• Non è democratica Ovvero, un'affermazione non è valida solo perché sostenuta dalla maggioranza

Definizione

La scienza ha come obiettivo quello di individuare relazioni matematiche tra grandezze Osservabili che caratterizzano uno o più fenomeni

Il processo con il quale si osservano quantitativamente queste grandezze si chiama processo di misura

Per tale processo occorre:

1. Definire le grandezze in maniera operativa
2. Unità di misura e grandezze INDEFINIBILI, queste ultime in particolare sono 3:

• Massa [ _kg ]
• Tempo [ _s ]
• Lunghezza [ _m ]

unità di misura nel sistema internazionale (MKS)

SCHEMA RIASSUNTIVO:

Fisica → Relazioni Tra Grandezze

Se verificate sperimentalmente

Leggi

Alcune leggi si elevano

Diverse leggi sulla stessa classe

Alcune leggi si elevano

Diverse leggi sulla stessa classe di fenomeni

Principi

Teoria

Scalari e Vettori

Le grandezze si possono dividere in 2 tipologie:

1. Scalari

• Vengono definite in maniera univoca da un numero
• Seguono la relazione d'ordine propria dei numeri realiOvvero, si possono mettere in una scala
• Seguono l'algebra ordinaria

2. Vettori

• Vengono definite univocamente da:
  • Modulo
  • Direzione
  • Verso
  • Punto di applicazione
• Non è immediato stabilire una relazione d'ordine

NB

Per vedere se due vettori sono uguali devono avere stesso modulo stesso sverso e stessa direzione

r = Notazione del vettore

|r| = Modulo del vettore (SCALARE)

Simbolo di identità { Serve per rendere identiche due notazioni diverse

IMP

In uno spazio bidimensionale servono almeno due numeri per poter definire un vettore

θ (ANGOLO)

r (MODULO)

θ è l'angolo che forma r con un asse di riferimento

In uno spazio tridimensionale invece ne serviranno tre; e così via al aumentare delle dimensioni dello spazio

Operazioni con i vettori 1

martedì 20 settembre 2022    19:15

Dopo aver spiegato cos'è e come si definisce un vettore vediamo come si fanno le operazioni con i vettori.La stessa operazione si può svolgere con metodi diversi a seconda della dimensione in cui stiamo lavorando

Somma (grafica) di vettori

Ipotizziamo di avere due vettori su un piano bidimensionale

Utilizziamo il metodo punta-coda, ovvero sposto il vettore B in modo che la sua coda coincida con la punta del vettore A

Il vettore risultante (C) è detto vettore somma

Il vettore risultante è detto vettore somma

Questa operazione gode della proprietà commutativa

A + B = C è uguale a B + A = C

Inoltre questa operazione gode della proprietà associativa

(A + B) + D è uguale a A + (B + D)

Prodotto scalare-vettoriale

Consideriamo la somma A + A = B = 2A

2A -> modulo

Scalare x Vettoriale

Generalizziamo questa operazione a un n° scalare qualsiasi

x ∈ ℝ

B = x A

• - Stessa direzione di A
• - Verso
  • se x > 0 → stesso verso di A
  • se x < 0 → verso opposto ad A

es

Se x = -1 ⇒ B = -1 A = -A { Vettore uguale e opposto }

A + (-A) = ∅

Questa notazione indica un vettore nullo, ovvero un vettore con un modulo nullo

Sottrazione tra vettori

Analogamente a come abbiamo visto con il prodotto scalare possono considerare il secondo addendo come un prodotto tra il vettore e -1

A - B = A + (-B) = A + (-1 • B)

Scalare × Vettoriale

Ora vediamo un altro modo per vedere la somma tra vettori

Per fare questa operazione utilizziamo il metodo del parallelogramma

Questo metodo consiste nel portare i due vettori nello stesso punto di applicazione ( P ) e successivamente tracciare le parallele del vettore sulla punta del vettore opposto

Operazioni con i vettori 2

versori e scomposizione di vettori

Partiamo definendo cos’è un versore

Definizione

Un versore è un vettore con modulo unitario e adimensionale, usato per individuare una direzione e un verso

|_i| = |_j| = |_k| = 1

Vediamo come fare la scomposizione di un vettore utilizzando i versori

_N = |_N| ⋅ _n

_M = |_M| ⋅ _n

Come possiamo vedere questa operazione consiste nel

considerare il vettore come il modulo del vettore moltiplicato per il versore con lo stesso verso e direzione

Somma di vettori con metodo analitico

Questa operazione sfrutta l'idea dei versori per sommare i moduli dei singoli vettori sia in bidimensione che in tridimensione

Per rendere più chiaro il concetto facciamo un esempio pratico

es

consideriamo i seguenti vettori

_A = A_x ^{^}i + A_y ^{^}j + A_z ^{^}k

_B = B_x ^{^}i + B_y ^{^}j + B_z ^{^}k

_C = (A_x+B_x) ^{^}i + (A_y+B_y) ^{^}j + (A_z+B_z) ^{^}k

C_x ^{^}i + C_y ^{^}j + C_z ^{^}k

Prodotto scalare tra vettori

Definizione

Dati due vettori _A e _B, si definisce prodotto scalare il prodotto dei due moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell' angolo _θ compreso fra i due

_A ⋅ _B = A ⋅ B ⋅ cos_θ

si legge (A scalare B)

cos dell' angolo compreso

Vediamo che gode della proprietà commutativa

_A⃗ ⋅ _B⃗ = _B⃗ ⋅ _A⃗

Prodotto vettoriale tra vettori

Definizione

Dati due vettori _A⃗ e _B⃗ , si definisce prodotto vettoriale il vettore _C⃗ che ha:

• Per modulo il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell'angolo θ compreso tra i due
• Per direzione quella perpendicolare alla parte di piani individuato dai due vettori
• Per verso quello della regola della mano destra, ovvero mettendo il primo vettore sull’indice e il secondo vettore sul medio il pollice indicherà il verso del vettore risultante

_A⃗ × _B⃗ = _C⃗

|_C⃗| ≡ A ⋅ B ⋅ senθ

La regola dell’angolo minore vale anche per questa operazione. Inoltre, questa operazione gode della proprietà anti-commutativa

Come rappresentiamo il vettore risultante _C⃗ ?

NB

Il vettore risultante è convenzionalmente messo nel punto di intersezione delle direzioni dei due vettori

Introduzione al calcolo differenziale

domenica 25 settembre 2022 21:17

Data una funzione y = g(x), x si dice variabile indipendente, y = g(x) si dice variabile dipendente

Se andiamo a fare il rapporto abbiamo la pendenza della retta

Δy / Δx = rapporto incrementale

Per ottenere una retta che sia il più possibile fedele alla nostra funzione andiamo a fare il limite che tende a zero del rapporto incrementale

Mi dice quanto rapidamente varia la mia funzione

lim_∆x→0 ∆y/∆x = lim_∆x→0 [f(x+∆x) - f(x)]/∆x = df/dx

NB Più è grande la derivata più la mia funzione y = f(x) varia velocemente

Non è pratico !!!

Infatti esistono delle regole di derivazione che permettono di semplificare di molto il procedimento

• f(x) = x^m → df/dx = mx^m-1
• f(x) = x^m + x^mm → df/dx = mx^m-1 + mx^mm-1
• d/dx [f(x) + g(x)] = df/dx + dg/dx SOMMA/SOTTRAZIONE TRA DERIVATE
• d/dx [f(x)·g(x)] = f(x)·dg/dx + g(x)·df/dx PRODOTTO TRA DERIVATE
• d/dx [g(x)/g(x)] = g(x)·df/dx + g(x)·df/dx/g(x)² DIVISIONI TRA DERIVATE

Poniamo di voler fare la derivata di una funzione con più variabili indipendenti

f = f(x,y,z)

In questo caso ci serve una derivata parziale

[∂f/∂x] = lim_∆x→0 [f(x+∆x,y₀) - f(x₀,y₀)]/∆x

[∂f/∂y] = lim_∆y→0 [f(x₀,y+∆y) - f(x₀,y)]/∆y

Indica che questa funzione varia rispetto a più variabili

Calcolo differenziale

Ponendo una \( g(x) \) prendiamo:

\[\frac{\Delta g}{\Delta x} \quad \frac{d g}{d x}\]

RAPPORTO INCREMENTALE \quad DERIVATA

Successivamente facciamo il limite, tendente a 0, della differenza tra il rapporto incrementale e la derivata

\[\lim_{\Delta x \to 0} \left[ \frac{\Delta g}{\Delta x} - \frac{d g}{d x} \right] = 0\]

Per \(\Delta x\) "PICCOLO", o meglio dire infinitesimo abbiamo che:

\[\frac{\Delta g}{\Delta x} - \frac{d g}{d x} \simeq 0 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \frac{\Delta g}{\Delta x} \cdot \Delta x \simeq 0 \Rightarrow\]

\[\Rightarrow \Delta g \simeq \frac{d g}{d x} \cdot \Delta x\]

DIFFERENZIALE di \( g(x) \)

Se provo ad espandere \(g(x)\) in serie di Taylor attorno al punto \(x\) ottengo:

\[g(x + \Delta x) = g(x) + g'(x) \cdot \Delta x + \frac{1}{2!} \cdot f''(x) \cdot \Delta x^2 +\]

\[+ \frac{1}{3!} \cdot g'''(x) \cdot \Delta x^3 + \ldots\]

Tengo solo i termini di ordine 0 e 1

Tuttavia tramite questo metodo abbiamo un'approssimazione