Esercizi svolti di Algebra lineare e geometria

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R1 2 3 1 2 263 3° Tutorato  13∈ 101. Scrivere un vettore w linearmente dipendente dal vettoreR  0  0 12 1  2. Stabilire se i vettori v = e v = sono linearmente indipendenti.1 2   0 1   1 0   −2 0−11   3. Stabilire se i vettori v = e v = sono linearmente indipendenti.1 2   1 2   3 1 34. Studiare la dipendenza o indipendenza lineare dei seguenti vettori di :R     12 4 1−13 0, ,     −39 0Se risultano linearmente dipendenti esprimere, quando possibile, ciascun vettore come combinazionelineare degli altri due. 35. Trovare una base del seguente sottospazio vettoriale di :R x 1 3{ ∈ | }xV = x + 2x = 6x + xR2 1 2 1 3 x 3 36. Trovare una base del seguente sottospazio vettoriale di :R x 1 3{ ∈ |xV = x + 2x = x + 3x = 0}R2 1 2 2 3 x 37. Sia V lo spazio delle matrici reali di ordine 3 (M

at (R)), invece sia W l'insieme delle matrici reali 3x3 di ordine 3 diagonali (gli elementi non diagonali sono tutti zeri). Trovare una base di W.

8. Sia V l'insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2 (sottospazio vettoriale di R[x]). Trovare una base di V.

9. Sia U il sottospazio di R^2 generato dai vettori u = (1, 2) e u = (0, 1), e sia V il sottospazio di R^2 generato dai vettori v = (0, 2) e v = (1, 1).

• Si determini una base di U ∩ V.

• Si determini una base di U + V.

7. Soluzioni 3° Tutorato

6. V = < (1, 2), (3, 4) >

7. V = < (0, 1), (2, 3) >

8. W = < (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) >

• U ∩ V = < (1, 2) >

• U + V = < (1, 2), (3, 4), (0, 1), (2, 3) >

<h2>Tutorato 31</h2>
<p>Si considerino i due sottospazi di <strong>ℝ</strong>:</p>
<pre>
<table>
  <tr>
    <td>V</td>
    <td>=</td>
    <td><table>
      <tr>
        <td>1</td>
        <td>0</td>
        <td>x</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>0</td>
        <td>1</td>
        <td>y</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>2</td>
        <td>1</td>
        <td>0</td>
      </tr>
    </table></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>W</td>
    <td>=</td>
    <td><table>
      <tr>
        <td>-1</td>
        <td>0</td>
        <td>z</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>1</td>
        <td>0</td>
        <td>1</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>8</td>
        <td>4</td>
        <td>°</td>
      </tr>
    </table></td>
  </tr>
</table>
</pre>
<p>• Calcolare V ∩ W</p>
<p>• Calcolare dim W, dim V e dim V + W</p>
<p>32. Siano dati i seguenti sottospazi di <strong>ℝ</strong>:</p>
<pre>
<table>
  <tr>
    <td>V</td>
    <td>=</td>
    <td><table>
      <tr>
        <td>x</td>
        <td>x</td>
        <td>3</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>2x</td>
        <td>-y</td>
        <td>y</td>
      </tr>
    </table></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>W</td>
    <td>=</td>
    <td><table>
      <tr>
        <td>y</td>
        <td>z</td>
      </tr>
      <tr>
        <td>z</td>
      </tr>
    </table></td>
  </tr>
</table>
</pre>
<p>Determinare:</p>
<p>• Dimensione e base di V e W</p>
<p>• Il sottospazio V + W e una sua base</p>
<p>• Il sottospazio V ∩ W e una sua base</p>
<p>• La somma V + W è diretta?</p>
<p>A quale dei precedenti sottospazi appartiene il vettore: u = <table><tr><td>1</td></tr><tr><td>0</td></tr><tr><td>4</td></tr></table>?</p>
<p>3. Determinare due sottospazi di U e W tali che U ⊕ W = ℝ</p>
<pre>
<table>
  <tr>
    <td>-2</td>
    <td>0</td>
    <td>k</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>-1</td>
    <td>3</td>
    <td>1</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>0</td>
    <td>4</td>
    <td>°</td>
  </tr>
</table>
</pre>
<p>e il vettore v = <table><tr><td>4</td></tr><tr><td>1</td></tr></table>, si...</p>

l’i-esimo vettore della base1 2 3 4 i4canonica di .R−2.4. k = <120 1>, dim=2,−3 0<1 0̸ ∨ ̸ ∈ → ∩ {0}, dim=0.(α = 0 β = 0), αu + βu / V U V =1 2<2 10 1> 45. U = <1 2<1 2<−1 04>5 5° Tutorato1. Si considerino le seguenti funzioni: 2 3→f : R R1 <x + x2 1 x 1→ 3x 1<x 2 2x 23 2→f : R R2 <x1 x + x3 1→x2 3x + 4x + 12 1x3 3 2→f : R R3 <x 1 23 x→x 2<x + x2 1x 3 3 3→f : R R4 <x x1 1→x x2 2<x x3 33 3→f : R R5 <x x + x1 1 2→x x + x2 2 3<x x + x3 3 1• Verificare se sono lineari o

meno.

• Determinare le immagini delle funzioni (tutte).
• Stabilire se le funzioni che risultino essere lineari sono iniettive e/o suriettive.

2. Considerare

ricavare le equazioni cartesiane di S.

4 T-2,3.

Nello spazio vettoriale sia U il sottospazio generato dal vettore u = (12, 3, 3) e sia W il sottospazio di equazione x + 2x + 3x - 4x = 0.

• Si dimostri che U ∩ W e si completi la base di U ad una base di W.
• 4 T T-1)

Sia V il sottospazio generato dai vettori v = (1, 2, 3, 0) e v = (2, 3, 4, 1).

Determini una base di V ∩ W e una base di V + W.

T Dato il vettore v = (t, 0, 1, 2), si determini il valore di t per cui i vettori v, v, v sono tlinearmente dipendenti.

Soluzioni 5° Tutorato

• f: sı̀
• f: no
• f: no
• f: sı̀
• f: sı̀

Im(f) = {

1. Im(f) = R²

   { x | x ≥ 0 }

   R³

   x₂

   Im(f) = R⁴

   Im(f) = R⁵

   • f : iniettiva, f : biettiva (i.e. suriettiva e iniettiva), f : biettiva.

2. xy 4
   - ∧ -x
   S = x + 2y + z = 0
       2z + 2w = 0
   

   R

   z

   w

   • ∈

3. u rispetta l'equazione di W e di conseguenza anche tutti i vettori αu, α la rispettano.

   R

   Inoltre esistono vettori in W che non appartengono a U.

   -32 41 0 0
   1 2 3
   0 1 0
   

   Si può prendere una qualsiasi coppia di vettori dalla base di W e completare u a base di W, e.g. W = < u, w, w >.

   1 2

4. ( -2x y 2w = 0

   V = -3x z 2w = 0

   114
   15
   6
   

   { w }

   v si può ottenere come comb. lin. di , w, w (si ottiene risolvendo v = +βw +

γw² 1 2 3 2 1 2 3{ }), v invece no (lo stesso sistema è impossibile), quindi v , w , w , w sono linearmente1 1 1 2 3 4indipendenti e formano una base di V + W (e avendo dim=4, W + V = ).

• Si risolve trovando le soluzioni di  −(4α = + t)γ→ −3γαv + βv + γv = 0 α =1 2 t β = 2γPer t = 4 lin.indip., altrimenti dipendenti.

126 6° Tutorato {v }, {w }1. Siano V e W due spazi vettoriali, siano , v .v .v , w , w le rispettive basi, indichiamo con1 2 3 4 1 2 3→f : V W un’applicatione lineare tale che: −f (v ) = w w1 1 3f (v ) = w + w2 1 2f (v ) = 2w + w3 2 3 −f (v ) = 4w + 2w 2w4 1 2 3• Si scriva la matrice di f rispetto alle basi date.• Si determini Im(f ) e dim(Ker(f )).• −1Determinare f (w + w ).1 32. Sia: 4 4→f : R R   −x + zx −y + ty   →   −x yz   −x tt• Si