Appunti di Analisi matematica 2 con esercizi e prove d'esame svolte

Successioni e serie di funzioni

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Successioni di funzioni

Supponiamo di associare ad ogni (rispettivamente ad ogni per qualche una ∈ ≥, ∈) funzione definita in un intervallo. Realizziamo in tal modo una successione di funzioni definita (), .in ∶ (()).

Osserviamo che, per ogni fissato, è una successione numerica, a cui si possono ∈ (()) applicare le nozioni introdotte per le successioni numeriche.

Esempio: [0; : 1] → ℝ, ∈ ℕ → 1 2 3, , , …, 1.

1.1 Convergenza puntuale

Sia un insieme di numeri reale e sia una successione di funzioni reali definite in ∶ → ℝ. Si dice che converge puntualmente in verso la funzione se risulta : → ℝ lim () = (), ∀ ∈; →+∞ è detta funzione limite ().

Cioè |() <, ∀ ≥ ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ:, , ∀ ∈ − ()|, ,

In questo caso l’indice dipende da.

Informalmente: è come la convergenza tipica delle successioni.

Se invece tale indice non dipende dal punto si parla di convergenza uniforme.

Osservazione: si osservi inoltre che, poiché la richiesta è fatta punto per punto, il valore dell’indice a partire dal quale è soddisfatta la condizione dipende sia da che da |() − ()| < ∈,

Può dunque accadere che, mantenendo fissato il valore di al mutare di cambi il. > 0, ∈ valore di. Nei casi più fastidiosi potrà accadere che al variare il valore di non sia ∈, , superiormente limitato. Cioè che sia. ∶ ∈ } = +∞.{ , 2

1.2 Convergenza uniforme

Sia un insieme di numeri reale e sia una successione di funzioni reali definite in ∶ −> ℝ. Si dice che converge uniformemente in verso la funzione se: : → ℝ |() <, ∀ ≥ ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ:, , ∀ ∈ − ()|

Equivalentemente converge uniformemente in verso la funzione se: : → ℝ }(), ∈ <, ∀ ≥ ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ:, sup{| − ()|

Ancora equivalentemente converge uniformemente in verso la funzione se: : → ℝ }(), ∈ = 0lim sup{| − ()|→+∞

Figura 2.1: convergenza uniforme.

Osservazione. Un modo di visualizzare la convergenza uniforme è di dire che, per ogni il > 0, grafico delle è definitivamente compreso tra il grafico di e quello di (vedi figura 2.1). − +

La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. Però non vale il viceversa, almeno in generale, come possiamo vedere dall’esempio:

[0,1] : → ℝ 1, = 1() →= � 0, ∈ [0,1]

Fisso x e poi faccio il limite per poi controllare la convergenza uniforme → +∞ |sup − ()| = sup = 1[0,1] [0,1] 3

1.3 Teorema di continuità del limite

Sia continua : → ℝ. Supponiamo che uniformemente in → è continua ⇒ Se non è continua, non converge uniformemente. Se la successione di funzione è continua.

• La convergenza puntuale può non esserlo.
• La convergenza uniforme deve esserlo.

1.3.1 Dimostrazione

Ipotesi Hp uniformemente in → Tesi Th è continua || |() )| < < ∀ > 0 ∃ > 0: − ⇒ − (, 0 , 00 0

Dimostrazione. Verifichiamo che f è continua in , per ogni fissato. Per ∈.0 0 l’ipotesi di convergenza uniforme |() <, ∀ ≥ ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ:, − ()|

Scegliamo (|() < ∀ ∈), � > − ()|�

Aggiungo e tolgo () ( )� � 0|()|() ())|() ( ) ( )= − − ( + − + � � � �0 0 0)|− (0 ||() |()|() ( )| ( ) )|+≤ − +− − (� � � �0 0 0

Per la convergenza uniforme visto che � > deve convergere. Dato che è continua |() ( )| − � � 0 || |() ( )| < < ∀ > 0 ∃ : − ⇒ −. 0 , 00 0

Dunque se |() | |)|− ( < − < 0 0 , 0

Conclusione | | |() )|∀ > 0 ∃ > 0: − < ⇒ − ( <, 0 , 00 0 4

1.4 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

Sia continua [; : ] → ℝ. Supponiamo che uniformemente in [; → ] () () ⇒ lim = lim = () ∫ ∫∫ →+∞ →+∞

1.4.1 Dimostrazione

Ipotesi Hp continua uniformemente in [; → ] Tesi Th () ()= lim = ()lim ∫ ∫∫ →+∞ →+∞

Dimostrazione. Dimostro che il limite del modulo della differenza è 0 ()? lim �� − � () � = 0 ?→+∞ [ ()? lim �� � = 0 ?− ()]→+∞

[ |() ()�� � ≤ �− ()] − ()| [ |() () () − )0 ≤ �� � ≤ � ≤ sup|− ()] − ()| − ()|(

1 teorema della proprietà media integrale degli integrali converge uniformemente () − ) = 0lim sup| − ()|(→+∞

Dunque [ |() ()0 ≤ lim �� � ≤ lim � ≤ 0− ()] − ()| →+∞ →+∞

N.B: viene trascurato serve solo per la dimostrazione |() − ()|∫

Conclusione. Quindi per il teorema del confronto a 3 anche la seconda funzione 0 [ () �� � → 0− ()] 5

1.5 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata

Sia (; : ) → ℝ:

• Sono in (; ) ′2. Uniformemente(;∃: ) → ℝ ∶ →
• (; ( )∃ ∈ ): → ∈ ℝ0 0 ′ uniformemente e continua:(; → = ⇒ ∃: ) → ℝ

1.5.1 Dimostrazione

Ipotesi Hp 11. Sono in (; ) ′2. Uniformemente(;∃: ) → ℝ ∶ → 3. (; ( )∈ ): ∃ → ∈ ℝ0 0

Tesi Th ′uniformemente e continua:(; → = ∃: ) → ℝ 1

Dimostrazione. Le derivate sono continue perché quindi è continua in (; ) Formula fondamentale del calcolo integrale ′() ( ) () = + � 0 0

Posso passare al limite per il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale () = + � (), ∀ ∈ (; )lim →+∞ 0

Poniamo () = + ()∫ 0

La funzione è definita tramite l’integrale di una funzione derivabile quindi 1 ′è e (; ) =

Dimostriamo che uniformemente → ′|() ( ) () − − � () �− ()| = � + � 0 0 0

Usiamo la diseguaglianza triangolare ′| [( ) () ≤ �− | + �� − ()] 0 0 ′| |( ) () ≤ − | + � − ()| 0 0

Primo teorema della media integrale ′|| (( ) () ⋅ − )≤ − | + sup − ()| 0 (;)

Quindi ′| | | (() ( ) ()≤ ⋅ − ), ∀ ∈ (, )− ()| − | + sup − ()| 0 (;)

Dato che la parte a destra è un maggiorante di possiamo |() − ()| passare al sup: ′| || (() ( ) ()0 ≤ sup ⋅ − )− ()| ≤ − | + sup − ()| 0 → 0(;)(;) → 0

Conclusione. Allora anche il |()sup − ()| → 0(;) 6

2 Serie di funzioni

Sia una successione di funzioni reali di variabile reale definite su un insieme ⊂ ℝ. Si può considerare la successione di funzioni, ancora definite in costituita dalle somme parziali, = , = + , ……1 1 2 1 2() (), ∈, ∀ ≥ 0 = � =0

E quindi la serie +∞ ()� =0 intesa, secondo l’usuale definizione, come limite della successione delle somme parziali: +∞ ()() ≔ lim �, ∈ →∞=0

Chiameremo termine generale della serie di funzioni.

Diciamo che la serie associata a converge puntualmente se converge puntualmente.

Converge uniformemente se converge uniformemente.

Convergenza totale: converge totalmente se e solo se esiste una successione. Diciamo che la serie associata a (∑) tale che:

• Per ogni > 0.
• Converge ∑.
• |()| ≤ successione numerica, non dipende da la cosa più piccola che posso mettere al posto di →, è il sup |()|.

Equivalentemente potremmo dire che |= sup ()| converge�

Schema convergenze

Convergenza totale ⇒ convergenza uniforme ⇒ convergenza puntuale. Non vale il viceversa 8

2.1 Teorema condizione necessaria per convergenza uniforme di una serie

Sia ∶ → ℝ se converge uniformemente ∑ |⇒ sup ()| → 0

2.1.1 Dimostrazione

Ipotesi Hp converge uniformemente ∑ Tesi Th |sup ()| → 0

Dimostrazione. Per ipotesi = � () =0 uniformemente → |()sup − ()| → 0 () () ()− = −1

Aggiungiamo valore assoluto | |() ()|()| = − −1

Diseguaglianza triangolare | | ||() ()| () ()≤ +()| = − − ()| − ()| −1 −1

| |() ()+ sup ∀ ∈ ≤ sup − ()| − ()| −1

Conclusione. Dunque |sup ()| → 0 9

2.1.2 Dimostrazione che convergenza uniforme non implica totale

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2.2 Teorema di continuità della somma

La somma di una serie di funzioni continue convergente uniformemente è anch’essa continua : → ℝ

Se converge uniformemente ( uniformemente) ∑ → S (somma della serie) è una funzione continua ⇒

2.2.1 Dimostrazione

=0 uniformemente ∑() () →