Equazioni nel piano e nello spazio

Retta ax + by + c = 0, (a, b) = (0, 0)

̸

Se b = 0 2 y y = mx + q

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

1.1.2 Nello spazio:

ˆ ̸

Retta ax + by + cz = 0, (a, b, c) = (0, 0, 0)

⊥ −

– Piano per P = (x , y , z ) e al vettore v = (v 1, v , v )

0 0 0 0 2 3

− ·

P = (x, y, z), π : (P P ) v = 0

0

− − − −

P P = (x x , y y , z z )

0 0 0 0

∥

– Piano per P = (x , y , z ) e ai vettori P = (x, y, z), v = (v , v , v )

0 0 0 0 1 2 3

e w = (w , w , w )

1 2 3

− · ∧

(P P ) (v w = 0)

O − − −

x x y y z z

0 0 0

v v v

1 2 3

w w w

1 2 3

∧

v w

i j j − − − −

v v v = (v w w v )i (v w w v )j + (v w w v )k

1 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2

w w w

1 2 3 2

Retta nello Spazio:

o

– 1 modo: intersezione tra 2 piani

( →

a x + b y + c z + d = 0 π

1 1 1 1 1

→

a x + b y + c z + d = 0 π

2 2 2 2 2

o

– 2 modo: rappresentazione parametrica

Es. Moto rettilineo uniforme

P punto materiale che si muove lungo una retta con velocità v costante

e in t = 0 si trova in P = (x , y , z )

0 0 0 0

v

P r

t =0

→

P = P + tv equazione vettoriale del moto

0

P = (x, y, z), v = (v , v , v )

1 2 3

 x = x + tv

0 1



 →

y = y + tv rappresentazione parametrica di una retta

0 2

 z = z + tv

 0 3

Es. r :  −

x = 1 t



 →

y =2 P = (1, 2, 0), v = (−1, 0, 1)

0

 z = t



z v y

x P (1, 2, 0)

0 3 o

1.2 Equazioni Polinomiali di 2 grado

1.3 Nel piano:

ˆ 2 2

−(y −y

Circonferenza di centro c = (x , y ) e raggio r > 0 (x−x ) ) =

0 0 0 0

2

r 2 2 20 2 2

− − − −

x 2x x + y 2y y γ = 0, γ = x + y r

0 0 0

z

v x

ˆ Ellisse di semiassi a > 0 e b > 0

2

2 y

x + = 1

2 2

a b y

(0, b)

(−a, 0) (a, 0) x

−b)

(0,

ˆ Parabola 2

– y = ax + bx + c

−b ∆

V = ( , )

2a 4a

2 −

∆ = b 4ac 4

2 y a> 0

1 x

−2 −1 1 2

−1 a< 0

−2

2 ∥

– x = ay + by + c =⇒ assse di simmetria all’asse x

∆ b

V = (− ), )

4a 2a 2 y

1

a< 0 a> 0 x

−2 −1 1 2

−1

−2

ˆ Iperbole

2 2

x t

−

– = 1

2 2

a b b

± →

y = x asintoti dell’iperbole

a 5

2 y

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

2

2 y

x − −1

– =

2 2

a b

2

y x

− =1

2 2

b a 2 y

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

ˆ ∈ \ {0}

Iperbole Riferito agli Assi xy = k, k R

– k> 0 6

2 y

1 x

−2 −1 1 2

−1

−2

– k< 0

1.3.1 Nello spazio:

ˆ Sfera di centro c = x , y , z e raggio r > 0

0 0 0

2 2 2 2

− − − −

(x x ) (y y ) + (z z ) = r

0 0 0

2 2 2 20 2 2

− − − −

x 2x x + y 2y y + z 2z z + γ = 0, γ = x + y + z r

0 0 0 0

0

1

0

z −2

−1 −2 0

0 x

2

2

y

ˆ Ellissoide di semiassi a > 0, b > 0, c > 0

2

2 2

y

x z

+ + = 1

2 2 2

a b c 7

1

0

z −2

−1 −2 0

0 x

2

2

y

ˆ Paraboloide Ellittico

2

2 y

x

z →

= + paraboloide ellittico con asse di simmetria l’asse z

2 2

c a b

– Le tracce orizzontali ottenute intersecando il paraboloide con z = k

sono delle ellissi

– Le tracce verticali (y = k) sono parabole

4

z 2

0

−5 −5

0 0

y x

5 5

ˆ Paraboloide Iperbolico

2

2 y

z x −

= 2 2

c a b

– Tracce orizzontali (z = k) sono iperboli

– Tracce verticali (y = k) sono parabole

8

1

0

z −1

−2 −2

−1 −1

0 0

1 1

y x

2 2

ˆ Iperboloide ad una Falda

2

2 2

y

x z

−

+ = 1

2 2 2

a b c

– Tracce orizzontali (z = k) sono ellissi

– Tracce verticali (y = k) sono iperboli

4

2

0

z −2

−4 2

−2 0 0

2 −2 y

x

ˆ Iperboloide a 2 Falde

2

2 2

y

x z

− −1

+ =

2 2 2

a b c 2

2 2 y

z x

− − −1

=

2 2 2

c a b

2

2 2

y

x z

− = =1

2 2 2

c b b

z = k

2

k 2 2 S

− ≥ ⇐⇒ ≥ −c

1 0 k c con k > c k <

2

c – Tracce orizzontali sono ellissi

– Tracce verticali sono iperboli

9

4

2

0

z −2

−4 2

−2 0 0

2 −2 y

x

ˆ Cilindro o

Ogni volta che un’equazione polinomiale di 2 grado nello spazio non

dipende da una variabile, si ha un cilindro con generatrici parallele all’asse

della variabile mancante

Es. 2 2

−

1. x y = 1 ∥

manca la ”z” =⇒ cilindro con generatrici all’asse z

( 2 2

x + y = 1

z =0

2

0

z −2 1

00.5

0 −0.5

1 −1

x y

2

x 2

+ z = 1

2. 4

Manca ”y” 10

1

0

z −1

−2 0 1

0

x 2 y

ˆ Cono 2

2 2 y

z x

– = +

2 2 2

c a b

Cono con asse l’asse z e vertice in O = (0, 0, 0)

* Tracce orizzontali (z = k) sono ellissi

* Tracce verticali (y = k) sono iperboli

1

0

z −1 1

0.5

0

−0.5 0 −0.5

0.5 1 −1 y

x

2

2 2

y

x z

– = +

2 2 2

a b c

Cono con asse l’asse x e vertice O = (0, 0, 0)

11