Equazioni differenziali: teoria ed esercizi

R R

− a(x) dx a(x) dx

y(x) = e b(x)e dx + c (4)

se l’equazione è completa e R

− a(x) dx

y(x) = Ke (5)

se è omogenea (K è una costante). Page 3

′ 2

ESEMPIO: Risolvere y = x y

Questa equazione può essere risolta sia con il metodo delle variabili separabili, sia con la formula risolutiva

delle equazioni lineari del primo ordine omogenee. Vediamo questo secondo approccio. In questo caso

2

−x

a(x) = , b(x) = 0

Per la formula risolutiva calcoliamo 3

Z Z x

2

−x − + c

a(x) dx = dx = 3

IMPORTANTE: per la formula risolutiva serve solo UNA soluzione, non infinite, quindi possiamo togliere

il ”+c”. Applichiamo la formula (5) per trovare la soluzione: 3

3

x

− − x

R

− a(x) dx = Ke

y(x) = Ke = Ke 3 3

y

′ −

ESEMPIO: Risolvere y = + 2x

x

Questa è un’equazione del primo ordine lineare completa con

1 , b(x) = 2x

a(x) = x

Per la formula risolutiva calcoliamo

Z Z 1 −

a(x) dx = dx = log x + c

x

Togliamo il ”+c” e applichiamo la formula (4) per trovare la soluzione:

Z Z

R R

− −

a(x) dx a(x) dx log x log x

y(x) = e b(x)e dx + c = e 2xe dx + c

log x

Ricordando che e = x si ottiene: 3 2

Z

1 2 x 2x 2

2

y(x) = 2x dx + c = + c = + c

x x 3 3 x

′

ESERCIZIO: Risolvere y (x) + cos(x)y(x) = sin(2x)

1.2 EQUAZIONI DEL SECONDO ORDINE

1.2.1 Equazioni omogenee a coefficienti costanti

Un’equazione di questo tipo si presenta nella forma

′′ ′

ay + by + cy = 0

dove a, b, c sono coefficienti reali costanti. I passaggi per risolvere queste equazioni sono i seguenti:

1. Si risolve l’equazione caratteristica 2

aλ + bλ + c = 0 ′

In pratica, l’equazione caratteristica si ottiene da quella data nel testo sostituendo λ al posto di y

′′

2

e λ al posto di y

2. Si risolve l’equazione caratteristica come una normale equazione di secondo grado e si guarda il

delta. Page 4

• Se ∆ > 0, allora l’equazione caratteristica ammette due soluzioni distinte λ e λ . La soluzione

1 2

generale dell’equazione differenziale è della forma

λ x λ x

y(x) = c e + c e

1 2

1 2

• Se ∆ = 0, allora l’equazione caratteristica ammette due soluzioni coincidenti λ = λ . La

1 2

soluzione generale dell’equazione differenziale è della forma

λ x λ x

y(x) = c e + c xe

1 1

1 2

• Se ∆ < 0, allora l’equazione caratteristica ammette due soluzioni distinte complesse λ = α+iβ

1

−

e λ = α iβ. La soluzione generale dell’equazione differenziale è della forma

2 αx

y(x) = e [c cos(βx) + c sin(βx)]

1 2

In tutti questi casi c e c sono costanti reali qualsiasi che si fissano imponendo condizioni iniziali

1 2

(problema di Cauchy).

ESEMPIO: Risolvere il seguente problema di Cauchy

 ′′ ′

y + y + y = 0



 ′

y (0) = 0

 y(0) = 1



Risolviamo prima l’equazione caratteristica associata:

′′ ′ 2

y + y + y = 0 =⇒ λ + λ + 1 = 0

−3,

Il delta di questa equazione è negativo, ∆ = quindi l’equazione ammette due soluzioni complesse:

√

√

−1 ± 3 3

1

i −

=⇒ α = , β =

λ =

1,2 2 2 2

Quindi la soluzione generale dell’equazione differenziale avrà la forma seguente:

√

√ ! !#

" 3 3

x

−

y(x) = e x + c sin x

c cos

2 1 2

2 2

Ora imponiamo le condizioni iniziali per trovare c e c :

1 2

• y(0) = 1 =⇒ c cos(0) + c sin(0) = 1 =⇒ c = 1

1 2 1

• √

√ 3

′ −

y (0) = 0 =⇒ c 3 1 = 0 =⇒ c =

2 2 3

La soluzione completa è: √ √

√

" ! !#

3 3 3

x

− x + sin x

y(x) = e cos

2 2 3 2

′′ ′

ESEMPIO: Risolvere y + 6y + 9y = 0

Risolviamo l’equazione caratteristica associata:

2

λ + 6λ + 9 = 0

Page 5

Notiamo subito che questo è il quadrato di un binomio, quindi ∆ = 0

2

2 −3

λ + 6λ + 9 = 0 =⇒ (λ + 3) = 0 =⇒ λ =

Si hanno, quindi, due soluzioni coincidenti e la soluzione generale dell’equazione differenziale è:

−3x −3x

y(x) = c e + c xe

1 2

′′ ′

− −

ESEMPIO: Risolvere y 3y 4y = 0

Risolviamo l’equazione caratteristica associata:

2 − −

λ 3λ 4 = 0

Quindi ∆ = 25 > 0 e le soluzioni dell’equazione caratteristica sono reali e distinte:

−1

λ = 4, λ =

1 2

La soluzione generale dell’equazione differenziale è: −x

4x

y(x) = c e + c e

1 2

ESERCIZIO: Risolvere il seguente problema di Cauchy

 ′′ ′

−

y 6y + 10y = 0



 ′

y (0) = 0

 y(0) = 1



1.2.2 Equazioni complete a coefficienti costanti: metodo della somiglianza

Un’equazione di questo tipo si presenta nella forma

′′ ′

ay + by + cy = f (x)

La soluzione dell’equazione completa è la somma di due pezzi: il primo è la soluzione dell’equazione

omogenea associata mentre il secondo è una soluzione particolare che si può ottenere in modi diversi (qui

vediamo il metodo della somiglianza). Quindi i passi da fare sono:

1. Risolvere l’equazione omogenea associata ′′ ′

ay + by + cy = 0

come visto nella sezione precedente. Questa equazione mi darà una soluzione che chiamo y (x)

0

2. Si trova una soluzione particolare (ora vediamo come fare) che chiamiamo y (x)

p

3. La soluzione completa dell’equazione sarà

y(x) = y (x) + y (x)

0 p

Il metodo della somiglianza permette di trovare una soluzione particolare e si chiama cosı̀ perchè si basa

sul trovare una soluzione y (x) che ”assomigli” alla funzione f (x) che compare nell’equazione. In pratica:

p

• Se f (x) è un POLINOMIO di grado n, allora la soluzione particolare sarà della forma:

– 2 n ̸

y (x) = A + A x + A x + ... + A x se c = 0

p 0 1 2 n

Page 6

– 2 n ̸

y (x) = x(A + A x + A x + ... + A x ) se c = 0, b = 0

p 0 1 2 n

– 2 2 n

y (x) = x (A + A x + A x + ... + A x ) se b = c = 0

p 0 1 2 n

• λx

Se f (x) è un ESPONENZIALE della forma Ke , allora la soluzione particolare sarà della forma:

– λx

y (x) = Ae se λ non è soluzione dell’equazione caratteristica omogenea

p

– λx

y (x) = Axe se λ è soluzione dell’equazione caratteristica omogenea

p

– m λx

y (x) = Ax e se λ è soluzione dell’equazione caratteristica omogenea con molteplicità m

p

• Se f (x) è TRIGONOMETRICO, ovvero della forma K sin(λx) + K cos(λx), allora la soluzione

1 2

particolare sarà della forma:

– y (x) = x [A sin(λx) + B cos(λx)] se b = 0 e iλ è soluzione dell’equazione caratteristica omogenea

p

– y (x) = A sin(λx) + B cos(λx) negli altri casi

p

Una volta che abbiamo capito di che forma è la soluzione particolare, per trovare le costanti numeriche

A, B, A , A , ... dobbiamo sostituire y (x) nell’equazione.

0 1 p

ESEMPIO: Risolvere il seguente problema di Cauchy

 ′′ −

y + 3y = x 3



 ′

y (0) = 0

 y(0) = 0



Per prima cosa troviamo la soluzione dell’omogenea associata:

′′

y + 3y = 0

Questo porta all’equazione caratteristica: √

√

2 ±i 3 =⇒ α = 0, β = 3

λ + 3 = 0 =⇒ λ =

1,2

Quindi la soluzione generale dell’omogenea sarà: √ √

y (x) = c cos 3x + c sin 3x

2

0 1

Per trovare una soluzione particolare osserviamo che:

• −

f (x) = x 3 è un polinomio di primo grado

• ̸

L’equazione differenziale presenta c = 3 = 0

Page 7

pertanto la soluzione particolare sarà del tipo

y (x) = A + A x (6)

p 0 1

Siccome y (x) è una soluzione, sostituiamola nell’equazione:

p ′′ −

y + 3y = x 3

p

p

La derivata seconda di (6) è zero, quindi: − −

0 + 3(A + A x) = x 3 =⇒ 3A x + 3A = x 3

0 1 1 0 1

−3, −1

Questa uguaglianza è vera solo se 3A = 1 e 3A = ovvero A = e A = . Sostituendo questi

1 0 0 1 3

valori in (6) abbiamo trovato una soluzione particolare: x

−1

y (x) = +

p 3

La soluzione finale dell’equazione è la somma tra questa soluzione appena ottenuta e quella dell’omogenea

ricavata all’inizio, quindi √ √ x

−

y(x) = y (x) + y (x) = c cos 3x + c sin 3x 1 +

2

0 p 1 3

Le costanti c e c si trovano imponendo le condizioni al contorno

1 2

• −

y(0) = 0 =⇒ c 1 = 0 =⇒ c = 1

1 1

• √ 1 1

′ √

−

y (0) = 0 =⇒ c 3 + = 0 =⇒ c =

2 2

3 3 3

Concludendo, la soluzione del problema di Cauchy è:

√ √

1 x

√

− −

3x 3x 1 +

y(x) = cos sin 3

3 3

ESEMPIO: Risolvere il seguente problema di Cauchy

 ′′ ′

y + 2y + y = sin(x)



 ′

y (0) = 1

1

 y(0) =

 2

Per prima cosa troviamo la soluzione dell’omogenea associata:

′′ ′

y + 2y + y = 0

Questo porta all’equazione caratteristica:

2 2 −1

λ + 2λ + 1 = 0 =⇒ (λ + 1) = 0 =⇒ λ =

Quindi la soluzione generale dell’omogenea sarà: −x −x

y (x) = c e + c xe

0 1 2

Per trovare una soluzione particolare osserviamo che:

• f (x) = sin(x) è un termine trigonometrico

• Il coefficiente b dell’equazione differenziale non è nullo

Page 8

pertanto la soluzione particolare sarà del tipo

y (x) = A sin(x) + B cos(x) (7)

p

Siccome y (x) è una soluzione, sostituiamola nell’equazione:

p ′′ ′

y + 2y + y = sin(x)

p

p p

dove ′ −

y (x) = A cos(x) B sin(x)

p

mentre ′′ −A −

y (x) = sin(x) B