Elettrotecnica e macchine elettriche

Prima legge di Kirchhoff (KLC)

La somma algebrica delle correnti entranti ed uscenti da una superficie chiusa è nulla: La superficie non può tagliare i componenti, ma solo i morsetti. Occorre dare segno + alle correnti uscenti, segno – alle correnti entranti (o viceversa, ma con coerenza).

Seconda legge di Kirchhoff (KLV)

La somma algebrica delle tensioni lungo una curva chiusa è nulla: La curva chiusa non può tagliare i componenti, ma solo i morsetti. Occorre dare segno + alle tensioni in verso orario, segno – alle tensioni in verso anti-orario (o viceversa ma con coerenza).

Analisi di un circuito: metodo tabellare

Dato un circuito (connesso) composto da R rami, scelte le grandezze elettriche e con = 1, ..., R per ogni ramo coordinate fra loro, allora si avranno 2R incognite (e con = 1, ..., R) e, quindi, 2R equazioni. Dunque, il metodo di risoluzione tabellare prevede la risoluzione di un sistema di 2R equazioni in 2R incognite lineari e indipendenti (se il circuito non è anomalo). La complessità del metodo è legata al numero di rami R e quindi anche al numero di componenti. Il sistema è algebrico se non ci sono componenti con memoria, differenziale se c’è almeno 1 componente con memoria. La proprietà topologica fondamentale è l'ORTOGONALITÀ, la quale prevede che il sottospazio descritto dal vettore [ ] sia ortogonale al sottospazio descritto dal vettore [ ] (avendo assunto versi coordinati): Dalla proprietà di ortogonalità si deriva la conservazione della potenza istantanea: con ( ) potenza “istantanea” (per ogni ) nel ramo -esimo. Inoltre, il teorema di Tellegen dice che per due circuiti aventi lo stesso grafo orientato risulta: dove (1) indica le grandezze del circuito 1 e (2) indica quelle del circuito 2.

Metodo delle maglie

Per effettuare l’analisi dei circuiti senza memoria, ovvero quei circuiti composti da tutti e soli componenti senza memoria (le cui equazioni costitutive non sono di tipo integro-differenziale), bisogna individuare un sottoinsieme indipendente di incognite (variabili ausiliarie) e risolvere rispetto a queste, nell’ipotesi che dalla conoscenza di queste si possa risolvere facilmente il sistema e determinare altre grandezze incognite. Il metodo delle maglie considera come variabili ausiliarie le correnti di co-albero [ ]; infatti da [ ] + [ ][ ] = [0] segue che le correnti di albero [ ] sono combinazioni lineari delle correnti di co-albero [ ]. Ipotizzando di avere dei circuiti composti da soli resistori e generatori indipendenti di tensione possiamo dire che, in questo caso, la conoscenza delle [ ] permette di ottenere facilmente tutte le altre grandezze: [ sono combinazioni lineari di [ ]; [ si] ] possono ottenere da [ ] tramite le equazioni costitutive (legge di Ohm o tensioni imposte dal generatore); [ ] si possono ottenere da [ con le equazioni costitutive (legge di Ohm o tensioni imposte dal generatore). Le] equazioni costitutive si possono scrivere:

• In forma compatta:
• In forma matriciale:

Considerando separatamente i rami dell’albero e quelli del co-albero si ha: A cui si aggiungono: L’idea è di utilizzare le equazioni di Kirchhoff alle tensioni (KLV) nelle maglie fondamentali (1) per arrivare ad un sistema risolvente per [ in quanto il numero di KLV su maglie fondamentali è pari a (ℜ − + 1) e il numero di incognite [ ] è pari a (ℜ − + 1). Quindi, dalla (1) si scrive che:

• ≡ Somma delle resistenze che si trovano nella maglia i-esima
• = ≡ Somma algebrica delle resistenze comuni alla maglia i-esima e j-esima (+ se i versi di percorrenza sono concordi, - se i versi di percorrenza sono discordi)
• ≡ Somma algebrica dei generatori di tensione indipendenti che si trovano nella maglia i-esima (+ se i versi di percorrenza sono concordi, - se i versi di percorrenza sono discordi)

Dunque, si ottiene un sistema [(ℜ − + 1) (ℜ − + 1)] caratterizzato da una complessità inferiore rispetto al metodo tabellare. Per una costruzione più agevole del sistema è possibile introdurre le correnti fittizie di maglia. Possiamo considerare le correnti dei rami del co-albero ( ,1e ) come correnti fittizie che percorrono ognuna delle maglie fondamentali indipendentemente dalle altre; per esempio fittizia circolerebbe nella maglia in basso a sinistra. Le correnti reali risultano combinazioni lineari delle correnti fittizie: infatti, la corrente nel ramo è pari alla somma algebrica delle correnti fittizie che lambiscono quel ramo Ad esempio, = − + perché il ramo 2 è lambito dalle correnti fittizie e con i versi opportuni. Il metodo delle maglie può essere semplificato con una particolare scelta dell’albero, tale che le maglie fondamentali siano sempre degli anelli. In particolare, si definisce “anello” una maglia i cui rami delimitano una regione del piano che non contiene altri rami. In questo caso, non occorre tracciare il grafo e scegliere esplicitamente l’albero; inoltre, la costruzione delle matrici [ ] si semplifica scegliendo in ogni anello lo stesso verso di percorrenza (orario o antiorario). In particolare, la matrice [ ] sarà composta da: ≡ somma delle resistenze nell’anello i-esimo; = ≡ somma delle resistenze comuni sull’anello i-esimo e a quello j-esimo prese sempre con segno negativo. Una limitazione del metodo degli anelli (e anche quello delle maglie) è utilizzabile solo per circuiti planari. Ovviamente, Il metodo degli anelli si applica anche ai circuiti costituiti da generatori indipendenti di corrente, generatori controllati, giratori, trasformatori e nullori; sarà però necessario scrivere le equazioni costitutive dei componenti in funzione delle correnti fittizie (equazioni di vincolo).

Metodo dei tagli

Per effettuare l’analisi dei circuiti senza memoria, ovvero quei circuiti composti da tutti e soli componenti senza memoria (le cui equazioni costitutive non sono di tipo integro-differenziale), bisogna individuare un sottoinsieme indipendente di incognite (variabili ausiliarie) e risolvere rispetto a queste, nell’ipotesi che dalla conoscenza di queste si possa risolvere facilmente il sistema e determinare altre grandezze incognite. Il metodo dei tagli considera come variabili ausiliarie le tensioni ai capi dei rami di albero [ ]. Ipotizzando di avere dei circuiti composti da soli resistori e generatori indipendenti di tensione possiamo dire che, in questo caso, la conoscenza delle [ ] permette di ottenere facilmente tutte le altre grandezze: [ sono combinazioni lineari di [ ] (per Kirchoff); [ ] e [ ] si possono ottenere dalle equazioni costitutive (legge di Ohm o correnti imposte dai generatori). In particolare, le equazioni costitutive si possono scrivere:

• In forma compatta:
• In forma matriciale:

Considerando separatamente i rami dell’albero e quelli del co-albero si ha: A cui si aggiungono: L’idea è di utilizzare le equazioni di Kirchhoff alle correnti (KLC ai tagli) per arrivare ad un sistema risolvente per [ ] in quanto il numero di KLC su tagli fondamentali è pari a ( − 1) e il numero di incognite [ ] è pari a ( − 1). Quindi, dalla (2) si scrive che:

• ≡ Somma delle conduttanze tagliate dal taglio i-esimo y
• = ≡ Somma algebrica delle conduttanze tagliate dai tagli i-esimo e j-esimo comuni ai due tagli (+ se y y percorse con lo stesso verso, − se percorse con versi diversi)
• ≡ Somma algebrica dei generatori tagliati dal taglio i-esimo (+ se è discorde con il verso del taglio, − se è concorde con il verso del taglio)

Dunque, si ottiene un sistema [( − 1) ( − 1)] caratterizzato da una complessità inferiore rispetto al metodo tabellare. Il metodo dei tagli può essere semplificato con una particolare scelta dell’albero tale che esso assuma sempre la forma seguente: L’albero è composto da rami che partono da un unico nodo (detto di riferimento) ed arrivano direttamente ad ogni altro nodo. Non occorre tracciare il grafo e scegliere esplicitamente l’albero (occorre solo individuare i nodi); in questo modo, la costruzione della matrice [ ] si semplifica scegliendo per ogni ramo di albero lo stesso verso (punta verso il nodo di riferimento). Quindi, dato un circuito con R rami ed N nodi, si definisce un sistema di R − N + 1 equazioni KLC (una per ogni nodo): [ ][ ] = [ ]. In particolare, la matrice [Y] sarà composta da: ≡ Somma delle conduttanze connesse al nodo i-esimo; = ≡ Somma algebrica delle conduttanze che collegano direttamente il nodo i-esimo a quello j-esimo, prese sempre con segno NEGATIVO; ≡ Somma algebrica delle correnti dei generatori di correnti relative al nodo i-esimo (+ se entrante nel nodo, − se uscente dal nodo). Ovviamente, Il metodo dei nodi si applica anche ai circuiti costituiti da generatori indipendenti di corrente, generatori controllati, giratori, trasformatori e nullori; sarà però necessario scrivere le equazioni costitutive dei componenti in funzione delle tensioni di albero (equazioni di vincolo).

Teorema di sostituzione per circuiti ad 1-porta

Dati 2 circuiti accessibili da una sola porta e connessi fra loro, allora è possibile sostituire uno di essi con un generatore di tensione o di corrente indipendente, di valore pari alla grandezza di porta presente nella connessione. Se 1 si comporta come un generatore indipendente, allora va2 sostituito con il generatore di natura diversa.

Dimostrazione (valida per circuiti senza memoria)

Poiché è un circuito lineare e stazionario, la sua equazione costitutiva è della forma: + = con costanti opportune (, ≠ 0 in presenza di generatori indipendenti). Poiché impone il vincolo della sua equazione sostitutiva, è sufficiente fissare una sola grandezza elettrica nella connessione.

Teorema di sostituzione per circuiti 2-porte

Dato un circuito accessibile da 2-porte, è possibile sostituire i circuiti connessi alle sue porte con 2 generatori indipendenti di tensione o di corrente, di valori equivalenti alle grandezze di porta durante la connessione. Per circuiti senza memoria, il circuito nel caso più generale sarà descritto dall’equazione: 3 Quando C è connesso a C e C , si avrà: 3 1 2 Basta fissare due grandezze con 2 generatori indipendenti; si avranno quindi diverse possibilità che dipendono dal comportamento di C alle porte. Inoltre, è possibile estendere il teorema al caso di circuiti accessibili da N-3 porte.

Teorema di Thevenin

Una rete accessibile da una porta è equivalente, esternamente alla porta, alla rete stessa in cui le eccitazioni siano state disattivate, con in serie alla porta un generatore di tensione, avente una tensione impressa uguale alla tensione che si manifesta a vuoto in corrispondenza alla porta della rete e con la stessa polarità. Si ipotizza che non si comporti come un generatore indipendente di corrente. La è detta “tensione a vuoto”, ovvero la tensione alla porta quando = 0. In particolare, un circuito è detto inerte quando sono stati azzerati tutti i generatori INDIPENDENTI (eccitazioni nulle): i generatori indipendenti di tensione disattivati vengono sostituiti con un corto circuito; i generatori indipendenti di corrente disattivati vengono sostituiti con un circuito aperto.

Dimostrazione

Per le ipotesi fatte su è possibile modellare il resto del circuito con un generatore indipendente di corrente: Quindi, nel caso di circuiti lineari, stazionari, senza memoria, il circuito INERTE è equivalente ad una resistenza. Dunque, è possibile rappresentare il circuito come:

Teorema di Norton

Una rete accessibile da una porta è equivalente, esternamente alla porta, alla rete stessa in cui le eccitazioni siano state disattivate, con in parallelo alla porta un generatore di corrente, avente una corrente impressa uguale alla corrente di corto-circuito della porta. Si ipotizza che non si comporti come un generatore indipendente di tensione. La è la “corrente di cortocircuito”, ovvero la corrente alla porta quando = 0. In particolare, un circuito è detto inerte quando sono stati azzerati tutti i generatori INDIPENDENTI (eccitazioni nulle): i generatori indipendenti di tensione disattivati vengono sostituiti con un corto circuito; i generatori indipendenti di corrente vengono sostituiti con un circuito aperto.

Dimostrazione

Per le ipotesi fatte su è possibile modellare il resto del circuito con un generatore indipendente di corrente: Quindi, nel caso di circuiti lineari, stazionari, senza memoria, il circuito INERTE è equivalente ad una conduttanza. Dunque, è possibile rappresentare il circuito come:

Caratterizzazione di reti 2-porte inerti: matrice [Z] - matrice [Y]

Sotto le ipotesi di linearità, stazionarietà e assenza di elementi con memoria (reti senza memoria) si ha: Con , , , grandezze generiche di porta. Dunque, si ha un sistema di equazioni costitutive del tipo: 1 2 1 2 Grazie al quale è possibile mettere le due grandezze di porta in funzione delle altre due: In generale, esistono 6 possibili rappresentazione per la rete 2-porte inerte, ciascuna con 4 parametri (2 × 2) e almeno una delle 6 esiste per ogni circuito 2 porte. I simboli grafici che vengono utilizzati sono: In particolare, per quanto riguarda la matrice [Z] (detta “impedenza a vuoto”): Mentre per quanto riguarda la matrice [Y] (detta “ammettenza in c.c.”):

Condizione di reciprocità nelle reti 2-porte

La condizione di reciprocità per un N-porte: rappresenta anche la Legge di reciprocità di Lorentz: in due situazioni elettriche diverse, l’N-porte è reciproco se vale la condizione precedente. Nel caso specifico di un 2-porte una rete è reciproca quando considerate due situazioni elettriche, indicate rispettivamente con gli apici 1 e 2, le grandezze elettriche alle due porte soddisfano la seguente espressione: La condizione di reciprocità costituisce un vincolo per la rappresentazione 2-porte che riduce a 3 i parametri liberi. Ad esempio, considerando le seguenti 2 situazioni generiche per la matrice [ ]: posso riscrivere la condizione di reciprocità nel seguente modo: Per quanto riguarda le altre matrici, le condizioni di reciprocità sono: Nello specifico, possiamo affermare che una rete due porte costituita da soli resistori (puramente resistiva) è reciproca. Per dimostrare questa affermazione consideriamo 2 rami generici di chiusura e indichiamo con e i rami interni; per il teorema di Tellegen risulta:

ℜi segni "–" sono dovuti ai versi non coordinati sui rami di chiusura. Per il generico resistore nel ramo k-esimo risulta sempre soddisfatta la condizione di reciprocità: Dal momento che il resistore è reciproco, si possono semplificare le sommatorie ottenendo:

che rappresenta la condizione di reciprocità. Possiamo affermare, inoltre, che una rete 2-porte costituita da tutti e solo componenti reciproci è reciproca. Dalle due osservazioni precedenti si può concludere che, da una rappresentazione 2-porte che rispetti il vincolo di reciprocità, è possibile trovare una rete resistiva equivalente.

Condizione di simmetria nelle reti 2-porte

Una rete due porte si dice simmetrica se è possibile scambiare le porte senza alterare il comportamento esterno. La simmetria è una condizione più forte della reciprocità, in quanto: La 1° condizione coincide con la reciprocità; dunque, se una rete 2-porte è simmetrica è sicuramente reciproca ma non è detto che una rete 2-porte reciproca sia simmetrica. Inoltre, la simmetria impone 2 vincoli alla rappresentazione e, di conseguenza, ci sono solo 2 parametri liberi nella rappresentazione 2-porte. In generale, le condizioni di simmetria nei 2-porte sono:

Caratterizzazione completa di un 2-porte: teorema di Thevenin generalizzato

Un circuito accessibile da due porte può essere caratterizzato mediante i due seguenti gruppi di parametri:

• Parametri che rappresentano la rete 2-porte, ottenuta dal circuito disattivando le eccitazioni;
• Le tensioni che si manifestano ai morsetti delle due porte quando sono lasciati aperti.

Ipotizziamo che entrambe le porte non si comportano come generatori indipendenti di corrente.

Dimostrazione

Considero una possibile scelta. Usando il principio di sovrapposizione degli effetti è possibile considerare i seguenti casi:

1. Agiscono i generatori interni e si annullano quelli esterni.
2. Si annullano i generatori interni e agiscono quelli esterni.

Da cui si ricava: dove ʹ e ʹ sono le tensioni a vuoto di Thevenin. Quindi, attraverso il teorema di Thevenin è possibile estrarre da le cause interne sotto forma di generatori indipendenti.

Caratterizzazione completa di un 2-porte: teorema di Norton generalizzato

Un circuito accessibile da due porte può essere caratterizzato mediante i due seguenti gruppi di parametri:

• Parametri che rappresentano la rete 2-porte, ottenuta dal circuito disattivando le eccitazioni;
• Le correnti di corto-circuito delle due porte.

Ipotizziamo che entrambe le porte non si comportano come generatori indipendenti di tensione, ovvero non si comporta come un generatore di tensione.

Dimostrazione

Considero una possibile scelta. Usando il principio di sovrapposizione degli effetti è possibile considerare i seguenti casi:

1. Agiscono i generatori interni e si annullano quelli esterni.
2. Si annullano i generatori interni e agiscono quelli esterni.

Da cui si ricava: dove ʹ e ʹ sono le correnti di c.c. di Norton. Quindi, attraverso il teorema di Norton è possibile estrarre da le cause interne sotto forma di generatori indipendenti.