Elettrotecnica e macchine elettriche

DERIVAZIONE DEL METODO DEI FASORI DA QUELLO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

Proprietà. Per un circuito lineare e permanente, limitatamente ai casi nei quali è possibile suddividere la risposta nella parte transitoria e nella parte permanente, la risposta a regime risulta isofrequenziale con la funzione di eccitazione. Inoltre, il fasore relativo alla risposta è legato al fasore dell'eccitazione tramite la relazione che segue:

dove ( ) è il valore assunto dalla funzione di rete ( ) per = . Da questa proprietà deriva il metodo dei fasori per calcolare la risposta a regime di un circuito.

ANALISI CIRCUITALE MEDIANTE IL METODO DEI FASORI

L'analisi circuitale tramite il metodo dei fasori si basa sulla proprietà:

Osservazione:

• ( ) è stata ottenuta effettuando l'analisi nel dominio e ponendo successivamente s = 0
• In alternativa, si può porre subito s = 0 e analizzare il circuito risultante
• I risultati

Sono identici, ma in questo modo l'analisi si semplifica notevolmente. Da tale osservazione deriva il procedimento analisi tramite il metodo dei fasori.

Data la pulsazione del generatore, sostituire al circuito assegnato nel dominio del tempo un circuito fittizio ottenuto sostituendo:

• ogni resistore con un bipolo di impedenza Z
• ogni induttore con un bipolo di impedenza 0
• ogni condensatore con un bipolo di impedenza 1/(jωC)
• il generatore con un generatore la cui grandezza impressa è pari al fasore della funzione V(t)

Analizzare il circuito con i metodi usuali, tenendo conto che tutte le grandezze elettriche sono rappresentate dai loro fasori, e determinare il fasore della risposta. Calcolare l'andamento nel dominio del tempo della funzione V(t) corrispondente al fasore V.

Nel caso in cui l'ingresso sia costante (non sinusoidale) con l'ipotesi di stabilità asintotica, si dimostra che a regime per t → ∞ si ha:

V(t) = V

Imponendo

secondo è di tipo sinusoidale con pulsazione 2.0

POTENZA ATTIVA

Esplicitando l'espressione della potenza attiva si ottiene

Graficamente:

L'andamento è di tipo sinusoidale con pulsazione 2 e con valore medio uguale al termine costante 0

viene detta potenza attiva, misurata in Watt, ed è definita come il valore medio della potenza istantanea.

Se consideriamo la rappresentazione grafica di

La potenza attiva rappresenta dunque il valore medio della potenza istantanea, purché esso sia calcolato su un opportuno intervallo di tempo L' espressione della potenza media () è data da:.

Due possibilità

L'espressione di può essere riscritta come segue

Utilizzando i valori efficaci di tensione (V) e corrente (I) l'espressione della potenza attiva diventa:

eff eff

Altre espressioni equivalenti della potenza attiva si ottengono tenendo conto del legame tra tensione e corrente imposto dal carico.

Risulta che la potenza attiva dipende solo dalle

Generatori con pulsazione e1 2REGIME PERMANENTE IN PRESENZA DI GRANDEZZE ELETTRICHE DI TIPO NON SINUSOIDALE

Se l'eccitazione non è di tipo sinusoidale ma periodica, è possibile effettuare lo sviluppo in serie di Fourier

TRASFERIMENTO DI POTENZA ATTIVA NEI BIPOLI

Un problema di grande importanza pratica è quello della trasmissione di potenza attiva ad un circuito attraverso una porta. Si consideri il problema dell'individuazione dell'impedenza del bipolo che assorbe la massima potenza attiva da un generatore di tensione caratterizzato da una propria impedenza interna:

Nel caso reale, l'espressione della potenza attiva in funzione di risulta: supponendo di scrivere dove è l'impedenza interna del generatore reale, ed essendo La potenza attiva risulta dipendente da e . Il problema che deve essere risolto è trovare e in modo che sia massima. Essendo dunque l'espressione della potenza attiva: Il massimo trasferimento di potenza

Attiva al bipolo si può ottenere calcolando le seguenti derivate parziali:

I valori che soddisfano le condizioni imposte sono i seguenti: che è una quantità tipica di quel particolare generatore e per questo viene spesso indicata come potenza disponibile (P_d). La potenza attiva assorbita dal bipolo può essere solo una frazione della potenza disponibile dal generatore, con un valore massimo unitario:

Minore è il valore di questo rapporto e minore è la capacità del bipolo di assorbire la potenza attiva che il generatore è in grado di erogare. Tale eventuale inefficienza si misura come segue:

Il rendimento del trasferimento di potenza attiva è il rapporto tra la potenza attiva ricevuta dal bipolo e la potenza attiva erogata dal generatore:

Risulta = 0.5 nella situazione di massimo trasferimento di potenza attiva al bipolo. Dunque, nelle linee di trasmissione di energie elettrica non conviene lavorare sulle linee con il massimo

Tipicamente, negli impianti elettrici i carichi sono di tipo ohmico induttivo; l'angolo di sfasamento può assumere valori compresi tra 0° e 90° e, quindi, il cos è compreso tra 1 (carico puramente ohmico) e 0 (carico puramente induttivo). Bassi fattori di potenza comportano degli svantaggi: l'ente distributore deve erogare una corrente superiore a quella necessaria, si verifica una maggiore caduta di tensione nei cavi, ci sono maggiori perdite per effetto Joule e, inoltre, vengono applicate penali dall'ente distributore quando cos < 0,95. Quindi, l'obiettivo è mantenere fattori di potenza compresi tra 0,95 e 1 in maniera tale da eliminare le penali, ridurre le cadute di tensione e le perdite per effetto Joule, ridurre la sezione dei cavi, ridurre il valore di potenza contrattuale e sfruttare meglio l'impianto.

Il carico è composto da un induttore e da un resistore, alla potenza attiva è sempre associata una potenza reattiva. Per evitare che la potenza reattiva sia fornita dal generatore e quindi per evitare l'aumento delle perdite sulla resistenza interna del generatore e sulla linea (che serve a trasportare l'energia dal generatore al carico), viene inserito un condensatore. Dunque, il problema del rifasamento consiste nel determinare il valore della capacità C affinché la potenza reattiva erogata dal generatore sia nulla. Il carico risulta rifasato se il bipolo visto ai morsetti A e B si presenta come una resistenza pura (la tensione e la corrente ai suoi capi sono in fase). È sufficiente imporre che risulti puramente reale ovvero che tale condizione sia soddisfatta anche dall'ammettenza.

RISPOSTA IN FREQUENZA DI CIRCUITI RISONANTI

La risonanza consiste nell'intensificazione dell'effetto dell'eccitazione. Il fenomeno della risonanza