Elettrotecnica

V I I

V =RI RI

jX I

C

)LJXUDD3HU OD )LJXUDE3HU OD )LJXUDF3HU ! OD

ω ω ω ω ω ω

UHDWWDQ]DFDSDFLWLYDSUHYDOHVX

UHDWWDQ]DFDSDFLWLYDHTXHOOD UHDWWDQ]DLQGXWWLYDSUHYDOHVX

TXHOODLQGXWWLYD LQGXWWLYDVLFRPSHQVDQR TXHOODFDSDFLWLYD

Si consideri ora il circuito mostrato in figura 12, in cui figurano un’induttanza ed una capacità in

parallelo. L’impedenza Z equivalente al parallelo tra le due impedenze Z e Z vale, in base alla

LC L C

(8): / &

= = M M;

= = =

/ & = =

= /

/& + 1

& (18)

ω

−

/ & ω

L’impedenza complessiva del ramo AB a corrente che passa attraverso la resistenzaR è quindi pari

a: 9

, 5 =

= (19)

+ /&

mentre le correnti del ramo induttivo e capacitivo sono pari a:

Regime sinusoidale -7

R

A i(t)

v(t) C

L

B )LJXUD

9 5 ,

, −

M /

=

/ (20)

ω

9 5 ,

, −

M &

=

& (21)

ω

− =

ω /&

Esiste una pulsazione che rende infinita l’impedenza equivalente e, conseguentemente,

,: 0

annulla la corrente 1

ω = /& (22)

0

, , ,

/ &

Mentre la corrente di alimentazione è nulla le correnti e risultano diverse da zero:

&

, M 9 ,

/

= − = −

/ &

In figura 13 è raffigurato l’andamento della

X reattanza equivalente del parallelo induttanza -

LC condensatore.

ω

Per <ω la reattanza è positiva, ed il circuito

0

ha un comportamento prevalentemente ohmico -

induttivo con uno sfasamento positivo. Per basse

frequenze la corrente fluisce prevalentemente nel

ramo induttivo, che quindi caratterizza

ω ω maggiormente il comportamento del circuito. Al

0 ω=0,

limite, per la corrente I e la reattanza

C

induttiva X si annullano, mentre X va

L C

all’infinito.

ω

Per >ω la reattanza è negativa, ed il circuito

0

ha prevalentemente una caratteristica ohmico -

)LJXUD capacitiva, con sfasamento negativo. Per alte

frequenze la corrente fluisce maggiormente per il

ω →∞

ramo capacitivo. Quando la corrente I e

L

la reattanza capacitiva X si annullano, mentre

C

X tende all’infinito.

L

Regime sinusoidale -8

Si instaura cioè un regime periodico di scambio energetico tra il condensatore e l’induttanza. In

assenza di dispersioni e di resistenze, la circolazione nella maglia costituita dall’induttanza e dal

condensatore continua indefinitamente.

327(1=(,1&255(17($/7(51$7$

3RWHQ]DLVWDQWDQHD

Si faccia riferimento all’utilizzatore U in figura 14, alimentato i(t)

tramite la coppia di morsetti AB da una tensione sinusoidale: A

Y W 9 W

( ) ( )

ω

= cos

0 U

v(t)

associata ad una corrente d’alimentazione:

L W , W B

( ) ( )

ω ϕ

= −

cos

0 )LJXUD

Si definisce potenza istantanea il prodotto :

S W Y W L W

( ) ( ) ( )

= (23)

L(W) L L

La corrente può essere scomposta nelle due componenti e , dette rispettivamente corrente

D U

attiva e reattiva. La corrente attiva è quindi la componente della corrente in fase con la tensione,

mentre la corrente reattiva è la componente in quadratura. Si può dunque scrivere:

L W , W

( ) ( )

ω ϕ

= cos cos

D 0

L W , VHQ W VHQ

( ) ( )

ω ϕ

=

U 0

L W L W L W

( ) ( ) ( )

= + (24)

D U

La potenza istantanea diventa quindi:

S W Y W L W Y W L W S W S W

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= + = + (25)

D U D U

dove: S W Y W L W 9 , W

( ) ( ) ( ) ( )

ω ϕ

= = 2

cos cos

D D 0 0

9 ,

S W Y W L W VHQ W VHQ

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 ω ϕ

= = 2

U U 2

Gli andamenti delle grandezze p e p , dette rispettivamente potenza istantanea attiva e potenza

a r

istantanea reattiva, sono mostrati nelle figure 15 e 16.

i, v, p i, v, p

p (t) v(t)

a P t

i (t)

r p (t)

r

t

i (t)

a v(t)

)LJXUD 3RWHQ]DLVWDQWDQHDDWWLYD )LJXUD3RWHQ]DLVWDQWDQHDUHDWWLYD

Regime sinusoidale -9

3RWHQ]DDWWLYD

Si riconosce che la potenza istantanea attiva non cambia mai segno, e rappresenta quindi un

flusso unidirezionale di energia. Il suo integrale su un periodo T è quindi, di norma, diverso da zero.

Si definisce potenza attiva P il valore medio in un periodo dalla potenza istantanea:

3 S W GW

7

∫ ( )

1

7

= (26)

0 7

E’ immediato verificare che il valore medio sul periodo della potenza istantanea coincide col

7/2 7,

valore medio della potenza attiva istantanea: infatti, la potenza reattiva istantanea è una grandezza

sinusoidale con periodo pari a e, di conseguenza, sul periodo ha valore medio nullo. Si ha

quindi: 9 , 9 ,

7 7

3 S W GW W GW

∫ ∫

( ) ( )

1 0 0 0 0

7 7 ϕ ω ϕ

= = =

2

cos cos cos

D 2

0 0

Introducendo i valori efficaci di corrente e tensione:

3 9, ϕ

= cos (27)

La potenza attiva è quindi valutabile come il prodotto del valore efficace della tensione, il valore

efficace della corrente e del fattorecosϕ, detto fattore di potenza.

3RWHQ]DFRPSOHVVD

La potenza complessa N è definita dalla seguente relazione:

1 9 ,

= * (28)

, ,.

dove è il complesso coniugato di Si ha quindi:

1 9H ,H 9,H

= =

α α ϕ

−

M M M

9 ,

e, ricordando la formula di Eulero:

1 9, M9,VHQ

ϕ ϕ

= + (29)

cos

Risulta così provato, ricordando la (27), che la parte reale della potenza complessa risulta essere pari

alla potenza attiva : 1 3 9,

( ) ϕ

ℜ = = (30)

cos

La parte immaginaria della potenza complessa viene chiamata potenza reattiva e nel caso di un

bipolo ha la seguente espressione: 4 1 9 ,

( ) ϕ

= ℑ = (31)

sH n

Dalla (31) si può notare che un bipolo assorbe potenza reattiva solo quando la corrente è sfasata

rispetto alla tensione (ϕ≠0), ed è quindi presente una componente reattiva della corrente stessa (vedi

eq. 21). Ciò avviene quando il componente è in grado di immagazzinare energia senza dissiparla,

come, ad esempio in un induttore od in un condensatore; la potenza reattiva è quindi un indicatore

di uno scambio di energia di tipo conservativo, che in alcuni casi, che saranno esposti nel paragrafo

1

relativo al problema del rifasamento, è necessario limitare il più possibile.

Il modulo della potenza complessa è detto potenza apparente:

Regime sinusoidale -10

1 3 4

= + (32)

2 2

Si consideri ora un generico ramo di circuito caratterizzato da un’impedenza Z. Tenendo conto della

legge di Ohm simbolica (5), la (28) può essere riscritta come segue:

1 = , , = , 5, M;,

= = = +

2 2 2 (33)

* .

Confrontando la (33) con la (30) e la (31) si ottiene:

3 5,

= 2 (34)

4 ;,

= 2 (35)

, 5,

In base alla definizione di corrente efficace si ricava subito che la potenza attiva è pari alla

media su un periodo della potenza dissipata per effetto Joule sulla resistenza unico componente

in grado di assorbire energia senza restituirla. La potenza reattiva dipende invece esclusivamente

dalla reattanza, cioè dai componenti in grado di immagazzinare energia conservativa (elettrostatica

nei condensatori, magnetica nelle induttanze) e di restituirla. =

4

Si noti che, mentre la potenza attiva assorbita dall’impedenza è sempre positiva, il segno della

potenza reattiva dipende dalla reattanza prevalente nel ramo. è quindi positiva per reattanze

/,

ω 2

prevalentemente induttive (4 per una reattanza puramente induttiva), e negativa per reattanze

, &

− ω

2

prevalentemente capacitive (4 / per una reattanza puramente capacitiva).

$GGLWLYLWjGHOOHSRWHQ]H

Il Teorema di Tellegen, visto precedentemente (03 circuiti-def, pag. 5), afferma che, per un qualsiasi

Y

circuito, avendo assegnato i versi positivi per tensione e corrente secondo la convenzione

dell’utilizzatore, preso un qualsiasi vettore di tensioni di ramo , che soddisfi le LKT, ed un vettore

L

di correnti di ramo , che soddisfi le LKC, allora vale la seguente relazione:

Y L

7 = (36)

0

2

Sia ora dato un generico circuito in regime sinusoidale, e su ciascun ramo di tale circuito siano

assegnati i versi positivi per tensione e corrente soddisfacendo la convenzione dell’utilizzatore.

In virtù della (1), il vettore V, costituito dai fasori associati alle tensioni di ramo, soddisfa la legge

di Kirchhoff per le tensioni. Per la (1.c), se il vettore I soddisfa la LKC, allora anche il vettore I*,

costituito dai complessi coniugati dei fasori associati alle correnti di ramo, soddisfa la LKC.

Applicando la (36) si ha quindi: 9 ,

( )

7 ∗ =

0

o, in altra forma: ∑ ∑

9 , 1

U

U ∗ ⇒

= =

0 0 (37)

D L

,

L

L U

= =

L

1 1

L

Per la (37), la somma estesa a tutti gli rami costituenti il circuito dato delle potenze complesse

assorbite è uguale a zero. Tenuto conto che la potenza erogata da un componente è pari alla potenza

1 1

= −

assorbita cambiata di segno ( ), supponendo che nel circuito considerato siano presenti

U U

H L D L

, ,

rami che erogano potenza ed che la assorbono, la (37) può essere riscritta come:

e a U U

1 1

∑ ∑

H D

= . (38)

H L D L

, ,

= =

L L

1 1

Quindi, la somma delle potenze complesse erogate nel circuito è uguale alla somma delle potenze

complesse assorbite. Esplicitando in parte reale ed immaginaria:

Regime sinusoidale -11

U U

3 3

∑ ∑

H D

= ; (39.a)

H L D L

, ,

= =

L L

1 1

U U

4 4

∑ ∑

H D (39.b)

= .

H L D L

, ,

= =

L L

1 1

In base alle (39), la somma delle potenze attive erogate nel circuito è uguale alla somma delle

potenze attive assorbite, e la somma delle potenze reattive erogate nel circuito è uguale alla somma

delle potenze reattive assorbite.

3RWHQ]DSHUFRPSRQHQWLDGQPRUVHWWL Q

Si consideri ora un generico componente U ad terminali schematizzato in figura 17. Il componente

Y Y Y

U, alimentato da un sistema di tensioni ai morsetti sinusoidali ed isofrequenziali (W), (W), (W),

Y L L L L 1 2 3

…&hellip