Elettrotecnica

5,&+,$0, 68*/,23(5$725,9(7725,$/,

Gradiente ϕ

E’ un operatore differenziale del primo ordine che si applica ad una generica grandezza scalare , e

genera un vettore secondo la seguente definizione:

Q ∂ ϕ

Q

ϕ

∇ ⋅ = (1)

∂

Il prodotto del gradiente per il versore di una qualsiasi direzione è quindi pari alla derivata in quella

I

ϕ

direzione. Il gradiente di è quindi un vettore diretto secondo la massima variazione di e

ϕ

perpendicolare alle superfici su cui è costante.

X

X I

∇ϕ

=

Sia . L’integrale di lungo una generica linea dipende unicamente dai valori che assume

agli estremi di integrazione. Si ha infatti:

% % % % (2)

X O O O

∂ ϕ

∫ ∫ ∫ ∫

O

ϕ ϕ ϕ ϕ

⋅ = ∇ ⋅ = = = −

d d d d % $

∂

$ $ $ $

Si ha anche: X O

∫ (3)

⋅ =

d 0 FRQVHUYDWLYR.

Un campo vettoriale che goda di tale proprietà si dice In un dominio linearmente

connesso un campo conservativo può sempre essere espresso come gradiente di un opportuno

potenziale scalare, definito a meno di una funzione a gradiente nullo (quindi una costante).

Divergenza.

E’ un operatore differenziale del primo ordine, che si applica ad una generica grandezza vettoriale

X, ∆9

e fornisce come risultato una funzione scalare. Sia un volumetto delimitato dalla superficie

X

∆6,

chiusa in cui la generica grandezza vettoriale sia continua assieme alle derivate delle sue

X X

Φ(X) ∆6.

componenti. Sia inoltre il flusso di attraverso La divergenza di è definita come:

X

( )

X Φ

lim (4)

9 9

∇ ⋅ = ∆ → ∆

0

X

La divergenza di un vettore in un puntoS può quindi essere intesa come limite del rapporto tra

X S τ

flusso di attraverso la superficie che racchiude un intorno di ed il volume dell’intorno. Sia un

X

6 WHRUHPD GHOOD GLYHUJHQ]D GL *DXVV),

dominio delimitato dalla superficie chiusa in cui la grandezza vettoriale è continua assieme alle

X

derivate delle sue componenti. Vale allora il (o che si

IOXVVR GHO YHWWRUH DWWUDYHUVR OD VXSHUILFLH FKLXVD 6 q SDUL DOO¶LQWHJUDOH

esprime come segue: iO

GHOODGLYHUJHQ]DGLX VXO YROXPH UDFFKLXVRLQ6

τ Ovvero:

X Q X

6

∫ ∫ τ

⋅ = ∇ ⋅

d d (5)

X VROHQRLGDOH 6 X

τ

V

6 X 6.

Un vettore si dice su un dominio quando il flusso di è attraverso qualsiasi

∇ • =

superficie chiusa in è nullo, ovvero quando ovunque in

Rotore

E’ un operatore differenziale del primo ordine, che si applica ad una generica grandezza vettoriale

X, ∆6

e fornisce come risultato una funzione vettoriale. Sia una superficie aperta, avente come

X

Γ,

contorno la curva chiusa su cui la generica grandezza vettoriale sia continua assieme alle

X X

Γ.

derivate delle sue componenti. Sia inoltre C(X) la circuitazione di lungo la curva Il rotore di è

definito come: Elettromagnetismo - 1

X

& ( )

X Q lim

6 6

∇ × ⋅ = (6)

∆ → ∆

0 Xcontinua

6

Sia una superficie aperta qualsiasi, su cui sia definita la generica grandezza vettoriale

WHRUHPDGL

Γ.

assieme alle derivate delle sue componenti, ed avente come contorno la curva Vale il

6WRNHV: X

LO IOXVVRGHOYHWWRUH DWWUDYHUVRODVXSHUILFLH6qSDULDOODFLUFXLWD]LRQHGLX OXQJROD

∇ ×

FXUYDΓ. Cioè: X Q X O

∫ ∫

∇ × ⋅ = ⋅

d6 d (7)

Γ

V

Da ciò si deduce subito che:

X

∇ × Γ

- i flussi di attraverso due superfici qualsiasi che abbiano lo stesso contorno è uguale. Il

X

rotore è quindi un vettore solenoidale. Vale cioè l’identità:

∇ ⋅ ∇ × = ; (8)

0

X X

∇ × =

X X

- se in un dominio linearmente connesso su una dominio, il vettore è, su tale dominio,

∇ × =

anche conservativo. Viceversa, se è conservativo, ovunque. Vale cioè l’identità:

ϕ

∇ × ∇ = ; (9)

0

X

si dimostra inoltre che se è solenoidale in un dominio a connessione superficiale semplice, può

sempre essere espresso come rotore di un opportuno potenziale vettoriale, definito a meno di una

funzione irrotazionale (e quindi conservativa).

Elettromagnetismo - 2

5,&+,$0,68//(12=,21,35,1&,3$/,',(/(77520$*1(7,602

Definizione dei vettori CAMPO ELETTRICO e

CAMPO MAGNETICO (INDUZIONE MAGNETICA)

Per una carica puntiforme in moto nel vuoto vale:

) ( Y %

( )

= + × (10)

q

)

dove:

= forza che si esercita sulla carica puntiforme (N);

Y

q = carica elettrica (C);

( = velocità (m/s);

% = campo elettrico (V/m);

= induzione magnetica (T).

Le due definizioni sono equivalenti (vedi nel seguito) e sono ampiamente utilizzate sia nel campo

ingegneristico che fisico.

Definizione del vettore POLARIZZAZIONE ELETTRICA

3

3 ∆

= (11)

lim ∆

V

∆ →

V 0

3

dove : 2

= polarizzazione elettrica del mezzo (C/m );

∆3 = momento di dipolo elettrico (C m);

∆V 3

= volume (m ).

• Il limite significa : per volumi sufficientemente piccoli da poter trascurare le variazioni delle

grandezze nella regione dello spazio considerata, ma allo stesso tempo sufficientemente

grandi per contenere un numero elevato di atomi, tale da poter trascurare le fluttuazioni delle

grandezze su scala atomica.

Definizione del vettore MAGNETIZZAZIONE 0

0 ∆

= (12)

lim ∆

V

∆ →

V 0

dove: Elettromagnetismo - 3

M = magnetizzazione del mezzo (A/m);

∆0 2

= momento di dipolo magnetico (A m );

∆V 3

= volume (m ).

Definizione dei vettori SPOSTAMENTO ELETTRICO e

INDUZIONE MAGNETICA (CAMPO MAGNETICO)

' ( 3

ε

= + (13)

0 %

+ 0

% + 0 (14)

( ) = −

= µ + oppure µ

0 0

'

dove: 2

% = spostamento elettrico (C/m );

= induzione magnetica (T);

ε -12

= costante dielettrica del mezzo (pari a 8.854 10 F/m);

+

0 = campo magnetico (A/m);

µ -6

= permeabilità magnetica del vuoto (pari a 1.256 10 H/m).

0 3 (

Spesso è possibile supporre che la polarizzazione elettrica sia proporzionale al campo elettrico:

= χ (15)

e

0 +

e che la magnetizzazione sia proporzionale al campo magnetico:

= χ (16)

m

χ χ

dove sono rispettivamente la suscettività elettrica e magnetica. In questo caso è possibile

e m ' (

riscrivere le 4-5 come segue: = ε ε ε = + χ

con 1 (17)

% +

0 r r e

= µ µ µ = + χ

con 1 (18)

0 r r m

Definizione di DENSITÀ VOLUMETRICA DI CARICA ELETTRICA

9

Si consideri un punto P dello spazio ed un elemento di volume centrato in P.

∆

Q

ρ= (19)

lim ∆

V

∆ →

V 0

dove:

ρ 3

= densità volumetrica di carica elettrica nel punto P(C/m );

9

∆Q = carica elettrica presente in (C);

9

∆V 3

= volume di (m ).

Definizione di DENSITÀ VOLUMETRICA DI CORRENTE ELETTRICA

Si consideri un punto P dello spazio ed una superficie piana passante per P.

Elettromagnetismo - 4

4

- Q ∆

6 W (20)

⋅ = lim lim

6 W ∆ ∆

∆ → ∆ →

0 0

-

dove: 2

Q = densità volumetrica di corrente elettrica nel punto P (A/m );

= versore normale alla superficie nel punto P;

∆S 2

= area dell'elemento di superficie considerato centrato in P (m ) Q

∆Q = carica elettrica che ha attraversato l'elemento di superficie nel verso individuato da (C);

∆t = intervallo di tempo considerato (s).

- -

La densità di corrente è quindi ascrivibile ad un moto di portatori di carica. Tale grandezza è, in

-

via del tutto generale, somma della densità di corrente di conduzione e della densità di corrente

cond

di convezione :

conv - - -

= + . (21)

cond conv

La corrente di conduzione è dovuta allo scorrimento relativo dei diversi portatori di carica, generato

da campi di forza. Nel caso di conduttori metallici gli unici portatori di carica portatori di carica

sono gli elettroni. Si ha pertanto: - Y

= (22)

.

n e

cond e e

Y

dove n , e e sono rispettivamente la densità, la carica e la velocità media di migrazione nel

e e

conduttore dell’elettrone. Esistono conduttori nei quali più di una specie è responsabile della

corrente di conduzione. E’ il caso dei conduttori elettrolitici (conduttori di seconda specie), nei quali

sono presenti ioni negativi e positivi, o dei gas ionizzati, nei quali la corrente è dovuta al moto di

ioni positivi ed elettroni. In questo caso la corrente di conduzione totale è data dalla somma dei

contributi forniti da ogni singola specie. Ipotizzando un conduttore in cui siano presenti un portatore

di carica positiva ed uno di carica negativa, l’espressione della corrente di conduzione diventa:

- Y Y

= + (23)

.

n q n q

+ + + − − −

cond

Y

Q T

dove , , e sono la densità, la carica e la velocità media di migrazione dei portatori positivi,

Y

+

mentren , q , e sono le stesse grandezze riferite ai portatori negativi.

− − − 8.

La densità di corrente di convezione si verifica nel caso in cui un mezzo elettricamente carico sia

animato da velocità In tal caso la corrente assume la forma:

- 8

= ρ . (24)

conv -

La corrente di convezione è generalmente trascurabile, e quindi in seguito, salvo nei casi in cui sia

indicato diversamente, la densità di corrente verrà assunta come coincidente con la densità di

corrente di conduzione. Elettromagnetismo - 5

/((48$=,21,)21'$0(17$/,'(//¶(/(77520$*1(7,602

Legge Di Ampere-Maxwell

(o della Circuitazione Magnetica) Q

Si consideri una linea chiusa C ed una superficie S che si appoggia alla linea C. Sia il versore

normale ad S in ogni punto e orientato secondo la regola della vite destrogira con il verso di

percorrenza di C (vedi figura 1). Q

S C

Figura 1 G

'

+ GO - Q 6 ,

∂ Φ

∫ ∫  

W GW '

⋅ = + ⋅ = +

  d

∂ (25)

 

& 6

dove:

+ GO

∫ ⋅ = circuitazione magnetica relativa alla curva C;

C - Q

∫∫ ⋅

I= = corrente elettrica di conduzione attraverso la superficie S;

d S

S ' Q

∫∫

Φ = ⋅ = flusso del vettore spostamento elettrico attraverso la superficie S.

d S

D G G

S FRUUHQWH GL VSRVWDPHQWR.

Φ Φ

' '

GW GW

La quantità viene definita La quantità I + viene definita

FRUUHQWHWRWDOHconcatenata alla curva C.

SHU RJQLOLQHDFKLXVD&HSHURJQLVXSHUILFLH6FKHVLDSSRJJLD&

• La (25) è valida in ogni

punto delle quali risultino definite le funzioni integrande.

• L'integrale superficiale a secondo membro non dipende dalla particolare superficie S

LQWHJUDOH GHO

considerata, purché questa si appoggi alla stessa linea C. Ne consegue che l

'

YHWWRUH GHQVLWjWRWDOHGLFRUUHQWH HVWHVRDGXQDVXSHUILFLHFKLXVDTXDOVLDVLq

- - ∂

= + ∂

t

QXOOR. t

Applicando al primo membro della (25) il teorema di Stokes, con pochi passaggi si ottiene la forma

locale (o differenziale) della legge di Ampere-Maxwell

'

+ - ∂

∇× = + (26)

∂t

Applicando ad ambo i membri della (26) l’operatore divergenza, si ottiene:

'

- ∂

 

W (27)

 

∇ ⋅ + = 0

 

∂

 

Elettromagnetismo - 6

'

- GHQVLWj GLFRUUHQWHWRWDOH,

∂ W

+

Si riottene quindi il risultato che la quantità , che viene definita

∂

è ovunque solenoidale.

Legge Di Faraday, Newmann E Lenz

(o della Circuitazione Elettrica o dell’Induzione Elettromagnetica) Q

Si consideri una linea chiusa C ed una superficie S che si appoggia alla linea C. Sia il versore

normale ad S in ogni punto e orientato secondo la regola della vite destrogira con il verso di

percorrenza di C (vedi figura 1). G

%

( GO Q 6

∂ Φ

∫ ∫ W GW %

⋅ = − ⋅ = −

d

∂ (28)

& 6

dove:

( GO

∫ ⋅ = forza elettromotrice (f.e.m.) relativa alla curva C;

& % Q 6

∫

Φ = ⋅ d = flusso del vettore induzione magnetica attraverso la superficie S concatenato alla

% 6

curva C. SHU RJQLOLQHDFKLXVD&HSHURJQLVXSHUILFLH6FKHVLDSSRJJLD&

• La (26) è valida in ogni

punto delle quali risultino definite le funzioni integrande.

• L'integrale superficiale a secondo membro non dipende dalla particolare superficie S

LQWHJUDOH GHO

YHWWRUH LQGX]LRQHPDJQHWLFDHVWHVRDGXQDVXSHUILFLHFKLXVDTXDOVLDVLqQXOOR.

considerata, purché questa si appoggi alla stessa linea C. Ne consegue che l E’ quindi

possibile scrivere: % Q 6

∫ (29)

⋅ =

d 0

6

essendo S una superficie chiusa qualsiasi. Applicando al primo membro della (28) il teorema di

Stokes, con qualche passaggio si ottiene la forma locale (o differenziale) della legge di induzione

elettromagnetica: %

( ∂

∇× = − (30)

.

∂t

Il fatto che l’integrale del vettore induzione magnetica su una qualsiasi superficie chiusa sia nullo

può essere tradotto in forma differenziale, applicando il teorema della divergenza alla (29):

%

∇ ⋅ = . (31)

0

Principio di conservazione della carica elettrica Q

Si consideri una superficie chiusa S, che delimita il volume V; sia il versore normale alla

superficie in ogni punto ed uscente da essa (vedi figura 2

Elettromagnetismo - 7 Q

S V

Figura 2).

La legge di conservazione della carica elettrica assume la seguente forma:

G4

- Q 6

∫ GW

⋅ = −

d (32)

6

dove:

Q = carica elettrica totale racchiusa nel volume V:

4 G9

∫ ρ

= (33)

9

Applicando il teorema della divergenza alla (32) si ottiene la legge di conservazione della carica

elettrica in forma locale: - ∂ρ

∇⋅ = − ∂t (34)

Legge di Gauss Q

Si consideri una superficie chiusa S, che delimita il volume V; sia il versore normale alla

superficie in ogni punto ed uscente da essa (vedi figura 2).

' Q 6 G9 4

∫ ∫ (35)

ρ

⋅ = =

d

SHU RJQL VXSHUILFLH FKLXVD 6

6 9

• La 11 è valida in ogni punto della quale risulti definito il

'.

vettore spostamento elettrico '

Applicando il teorema della divergenza alla (35) si ottiene la forma locale della legge di Gauss:

ρ

∇ ⋅ = (36)

Relazioni di legame materiale

OLQHDUL

Per i mezzi risulta, come già accennato:

% + ' (

= µ = ε

; (37)

dove:

µ = permeabilità magnetica del mezzo (H/m);

ε = permittività elettrica del mezzo (F/m).

Nel vuoto e, con buona approssimazione anche in aria risulta:

Elettromagnetismo - 8

µ µ ε ε

-6 -12

= = 1.256 10 H/m, = = 8.854 10 F/m.

0 0

Legge di Ohm Locale - ( (

( )

= σ + (38)

i

dove:

σ σ 7

= conducibilità elettrica (S/m). Per il rame a 20° C: = 5.97 10 S/m.

( = campo impresso di natura non elettrica, ad esempio un gradiente di concentrazione negli

i

elettroliti. Elettromagnetismo - 9

7$%(//$5,$66817,9$

Si postula la validità delle equazioni di Maxwell in qualunque punto dello spazio ed in qualunque

mezzo materiale purché in quiete rispetto al sistema di riferimento assunto.

FORMA LOCALE FORMA INTEGRALE

' '

+ - + O - Q G6

∂ ∂

⇔ ∫ ∫∫  

W

∇× = + ⋅ = + ⋅

 

d ∂

∂t  

& 6

% %

( O Q

G G6

( ∂

∫ ∫∫

∂ ⇔ W

⋅ = − ⋅

∇× =− ∂

∂t & 6

EQUAZIONE DI CONTINUITA’ DELLA CARICA ELETTRICA 4

- - Q

L G6

∂ρ ⇔ ∫ d W

∇⋅ = − = ⋅ = −

∂t d

6

EQUAZIONI DELLA DIVERGENZA

' ' Q G6 4

∇⋅ = ρ ∫

⇔ ⋅ =

6

% % Q G6

∫

∇⋅ = ⇔

0 ⋅ =

0

6

EQUAZIONI DI LEGAME MATERIALE PER MEZZI LINEARI ISOTROPI E OMOGENEI

' (

= ε

% +

= µ

- ( (

( )

= σ + i

Elettromagnetismo - 10

ELETTROSTATICA

Si parla di elettrostatica quando, in ogni punto dello spazio ed in ogni istante risultano nulle tutte le

-

derivate temporali che compaiono nelle equazioni generali dell’elettromagnetismo, e la densità di

corrente è pure identicamente nulla. Sotto queste ipotesi, le equazioni per il campo elettrico

possono essere riscritte come segue: (

∇× = , (1)

0

'

∇⋅ = ρ (2)

a cui possono essere associate, in caso di mezzo isotropo e lineare, le equazioni di legame

materiale: ' (

= ε (3)

- (

σ

= = . (4)

0

La (1) e la (2) possono, come è già stato visto, essere espresse in forma integrale:

( O