Elettrotecnica

ELETTROMAGNETISMO

OPERATORI VETTORIALI

gradiente ϕ → n

Il gradiente di una funzione in un punto, fornisce direzione e verso nei quali la funzione cresce più rapidamente.

u = ∇ϕ n = ∂ϕ/∂n

Se n: ∇ϕ allora n è CONSERVATIVO cioè l'integrale di u lungo una generica linea dipende unicamente dai valori che ϕ assume agli estremi di integrazione

∫_A^Bϕu dϕ = ∫_A^Bdϕ = ϕ_B - ϕ_A

se questa generica linea è chiusa allora la circuitazione di u lungo la curva chiusa è nulla

∮n·dl = 0

divergenza n → ϕ

La divergenza è una quantità scalare che determina la tendenza delle linee di flusso di un campo vettoriale a confluire verso una sorgente o a diramare da essa

∫_Δv ∇·u = lim ^Δu/_Δv

• = 0 Δu = sorgente di n
• > 0 Δu è carico singolare
• < 0 Δu è pozzo di n

Associato alla divergenza c'è il T.E. di Gauss: il flusso del vettore n attraverso una superficie chiusa è pari all'integrale della divergenza di n sul volume v racchiuso in S

∮u·n ds = ∫∇u dv

rotore

Il rotore è la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno ad un punto.

Associato al rotore c'è il Teorema di Stokes: il flusso del vettore rotore attraverso la superficie S è uguale alla circolazione di v lungo una curva γ.

1^o POSTULATO: Un campo conservativo ha rotore nullo

2^o POSTULATO: La divergenza del rotore di un vettore è un campo solenoidale

EQUAZIONI FONDAMENTALI ELETTROMAGNETISMO

CAMPO ELETTRICO E MAGNETICO

La forza esercitata su di una carica puntiforme q in moto nel vuoto, vale:

Pongo B=0 e trovo il campo elettrico E

Pongo E=0 e trovo il campo magnetico B e la forza esercitata dal campo magnetico su una qualsiasi carica elettrica in movimento nel campo si chiama Forza di Lorentz ed è pari a:

POLARIZZAZIONE ELETTRICA

Se applico un campo elettrico ad un materiale, si ha la formazione di dipoli elettrici nel materiale costituiti da 2 cariche q di segno opposto.

LEGGE CIRCUITALIZZIONE MAGNETICA (Ampere Maxwell)

La circuitazione lungo una curva del campo magnetico H è pari al flusso attraverso una superficie aperta S della densità volumetrica di corrente, più la derivata del vettore spostamento elettrico valutata su S.

∮_γ H · dl = ∬_S ( J + ∂D/∂t ) · m̂ ds =

In poche parole: La corrente genera campo magnetico

∬_S J · m̂ ds + ∬_S ∂D/∂t m̂ ds = I_c + I_s = I_totale [A]

La corrente di conduzione I_c è la corrente nei conduttori dovuta agli e⁻ che si muovono. La corrente di spostamento I_s è la corrente negli isolamenti dovuta non agli e⁻ che si muovono ma dalla loro propagazione e deriva dalla loro eccitazione da un estremo ad un altro.

LOCALE

∇ × H = J + ∂D/∂t

Applicando ad ambo i lati l'operatore divergenza, si ottiene: ∇ · ∇ × H = ∇ · ( J + ∂D/∂t )

∇ · ∇ × H = 0 perché è solenoidale quindi ∇ · ( J + ∂D/∂t ) = 0

Cioè il vettore densità di corrente totale è SOLENOIDALE

Data una generica sezione S orientata (e quindi dotata di normale) di un conduttore e sia ∆Q la quantità totale di carica elettrica che attraversa la superficie S nel verso individuato dalla normale, nell’intervallo di tempo ∆t, si definisce corrente, la quantità:

i = lim_∆t→0 ∆Q/∆t

ovvero il flusso di carica che attraversa la superficie S nell’unità di tempo nella direzione individuata dalla normale alla superficie S.

Le Hp. viste sono soddisfatte con buona approssimazione per molti sistemi elettrici reali descrivibili mediante il modello di circuito elettrico a costanti concentrate.

Per tali sistemi, la circuitazione del campo elettrico lungo una linea che congiunge due punti ha una dipendenza dalla linea scelta che è così piccola che risulta trascurabile. In questo caso invece di parlare di ddp, si parla di tensione tra i due punti (motivo per cui si scrive e_AB = B∫_A grad_i · dl = -(V_B - V_A) = V_AB e non)

V_AB = B∫_A e_AB

DEFINIZIONE CIRCUITO ELETTRICO

Un circuito elettrico a costanti concentrate è un insieme di componenti elettrici ideali descritto dalle leggi di Kirchoff. L’utilizzo delle costanti concentrate è valido solo se la lunghezza caratteristica del circuito è molto minore della λ del segnale presente nel circuito: L ≪ λ

Le espressioni delle resistenze equivalenti per le trasformazioni stella-triangolo e triangolo-stella sono le seguenti:

TRASFORMAZIONE TRIANGOLO - STELLA

• Ra = R_ac x Rc / R_ab + R_bc + R_ca
• Rb = R_ab x Ra / R_ab + R_bc + R_ca
• Rc = R_ab x R_bc / R_ab + R_bc + R_ca

NB G è la conduttanza cioè l'inverso della resistenza R

TRASFORMAZIONE STELLA - TRIANGOLO

• G_ab = G_a + G_b / G_ab
• G_bc = G_b + G_c / G_bc
• G_ca = G_c + G_a / G_ca

• R_ab = Ra x Rb + R_c / R_bc
• R_bc = R_ab + R_c x R_b + R_c / R_c
• R_ca = R_ab x R_c + R_b x R_b / R_c

INDUTTORE LINEARE

L'induttore lineare si oppone alla variazione della corrente i. L'induttore è costituito da un filo conduttore avvolto su di un supporto di materiale ferromagnetico.

Per la legge della circolazione magnetica, una corrente i che percorre l'induttore crea un campo magnetico e di conseguenza un flusso di induzione magnetica Φb. Se il campo magnetico è variabile nel tempo per la legge della circolazione elettrica, ai capi dell'induttore si genera una forza elettromotrice indotta dΦb/dt. Se il mezzo materiale è lineare, il flusso di induzione magnetica è direttamente.

- gen. corrente pilotato in tensione GCCPT

i₁ = 0

i₂ = g_m v₂

g_m viene detta transconduttanza

- gen. corrente pilotato in corrente GCCPC

v₂ = 0

i₂ = α i₁

α viene detto parametro di trasferimento di corrente [adim.]

- gen. tensione pilotato in tensione GTPT

i₁ = 0

v₂ = μ v₁

μ viene detto parametro di trasferimento di tensione [adim.]

Operazioni tra grandezze sinusoidali

Siano a(t) = A_M cos (wt+α) e b(t) = B_M cos (wt+β), allora:

• Somma: a(t) + b(t) = c(t)    c(t) = C_M cos (wt+ϒ)
• Prodotto: a(t) · b(t) = c(t)    c(t) = ^A_M·B_M/₂ {cos[2wt+(α+β)] + cos(α-β)}
• Derivata: da(t)/dt = ω·A_M cos (wt+α + ^π/₂)

Numeri complessi

I numeri complessi rappresentano un modo semplice per rappresentare le grandezze sinusoidali, cioè tensione e corrente.

a(t): A_M·cos (wt+α) = A_M·e^J(wt+α)

Esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i fasori.

• A = A·e^Jα Forma polare
• A = a+jb Forma cartesiana

• Somma o sottrazione: A + B = a+jb + c+jd = e+jf = C
• Scalare m per fasore A: m·A = m·A e^Jα = e^Jα
• Operatore immaginario J per fasore A: J·A = [0 + J·d] [A]·α; = [e^J3π/₂]·[A·e^Jα] = A·e^J(α+π/₂)