Economia e tecnica dei mercati mobiliari - Appunti/Excel completi

A B AB

Periodo Date UCG.MI BMPS.MI X(A)*r(A)+X(B)*r(B)

1 01/01/15 -8,395% 2,105% -3,1449%

2 01/12/14 -10,817% -32,424% -21,6203%

3 03/11/14 3,245% 6,351% 4,7984%

… … … … …

22 01/04/13 17,411% 14,425% 15,9179%

23 01/03/13 -15,590% -12,921% -14,2557%

24 01/02/13 -20,139% -15,415% -17,7768%

Totale 5,226% -116,575% -55,675%

Rendimenti attesi 0,218% -4,857% -2,320%

Deviazione standard 10,677% 17,912% 13,192%

Covarianza 1,30628%

Coefficiente di correlazione 0,68

Colonne per calcoli manuali e costruzione della frontiera efficiente

Per effettuare invece i calcoli manuali senza formula Excel bisogna costruire le seguenti colonne:

r(A)-r (A) r(B)-r (B) (r(A)-r (A))^2 (r(B)-r (B))^2 r(A)-r (A)*r(B)-r (B) r(AB)-r (AB) (r(AB)-r (AB))^2

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

-8,613% 6,963% 0,7418% 0,4848% -0,600% -0,8251% 0,007%

-11,034% -27,567% 1,2176% 7,5992% 3,042% -19,3005% 3,725%

3,028% 11,209% 0,0917% 1,2563% 0,339% 7,1181% 0,507%

… … … … … … …

17,193% 19,282% 2,9560% 3,7181% 3,315% 18,2377% 3,326%

-15,808% -8,064% 2,4989% 0,6503% 1,275% -11,9359% 1,425%

-20,356% -10,558% 4,1438% 1,1147% 2,149% -15,4571% 2,389%

Logicamente, è possibile ipotizzare dei pesi diversi da quelli equivalenti considerati per costruire la frontiera

efficiente. Identifichiamo un certo numero di combinazioni dei pesi la cui somma ovviamente è sempre pari

a 1 (-75% ad esempio significa vendere allo scoperto il titolo ovvero andare corto). La prima combinazione

la assegniamo arbitrariamente e progrediamo nello stesso criterio (nell’esempio riduciamo sempre di 5). A

questo punto dobbiamo costruire ulteriori due colonne ovvero:

• Rendimento del portafoglio: dato dalla somma dei prodotti tra peso di riferimento e rendimento

atteso del titolo;

• Scarto quadratico medio: che nel caso di due soli titoli in portafoglio è pari a:

2 2 2 2

√( ) ( ) √( ) ( )

= + + 2 = + + 2

, ,

A questo punto costruiamo un grafico a dispersione con all’asse x lo scarto quadratico medio e all’asse y il

rendimento del portafoglio. Qualora il grafico non venisse completo, potremmo contemplare ulteriori pesi

nella direzione desiderata o nascondere una porzione del grafico stesso (giocando con gli assi). In questo

modo abbiamo creato la frontiera delle combinazioni possibili tra Unicredit e Monte dei Paschi di Siena

tant’è che ad ogni punto corrisponde uno specifico portafoglio. Il punto di minima varianza è quello più

estremo verso sinistra e, i punti al disotto di tale valore sono scartabili mentre, i punti al di sopra,

rappresentano la frontiera efficiente e tra di essi non può effettuarsi una scelta oggettiva. Nel nostro caso il

0,106021457; 0,725%

punto è quello di coordinate ( ) e implica che, dai pesi attribuiti, si va corti di 10 su B

e lunghi su A (lo si può individuare mediante la funzione MIN impostata sugli scarti quadratici medi).

Il caso di tre titoli rischiosi in portafoglio

Le regole che analizziamo adesso valgono per un numero qualsiasi N di assets. Noti i pesi, o quote di

portafoglio, è possibile calcolare il rendimento atteso come somma pesata dei rendimenti medi:

)

( = × ( + × ( ) + × ( )

)

E, successivamente, lo scarto quadratico medio attraverso la relazione:

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

= + + + 2 + 2 + 2

, , ,

3 × 24

Partiamo come al solito da una matrice di rendimenti dei tre titoli. In questo caso è una matrice

(quindi si hanno 25 rilevazioni dei corsi su cui calcolare i rendimenti). A questo punto calcoliamo le

statistiche fondamentali:

• Rendimento medio: media del vettore dei rendimenti per tutti i tre titoli;

• Deviazione standard: con DEV.ST.P sempre per i tre titoli (utilizza .P altrimenti il grafico della

frontiera non ti verrà sovrapposto);

• Covarianza: con COVARIANZA (no .C) per tre ipotesi ovvero tra titolo 1-2, 2-3 e anche 1-3;

• Correlazione: con CORRELAZIONE per tre ipotesi ovvero tra titolo 1-2, 2-3 e anche 1-3.

Possiamo quindi adesso calcolare, combinando la ricchezza, il rendimento atteso di portafoglio e la

rischiosità ad esso associata. Calcoliamo quindi i pesi distinguendo:

• Senza vendita allo scoperto: individuiamo tre numeri casuali con la funzione

=CASUALE.TRA(0;100)/100. La impostiamo così in modo da ottenere un valore percentuale.

Tuttavia, questi numeri sommati non restituiscono 1 (non rispettano il vincolo) e, per risolvere ciò,

li relativizziamo ovvero dividiamo ciascun singolo numero estratto per la sommatoria dei tre

numeri ottenuti casualmente. Logicamente, la sommatoria di questi tre numeri casuali relativizzati

è ora pari a uno. Riportiamo ora in percentuale questi numeri che corrisponderanno ai nostri pesi.

Ora il passaggio è quello di calcolare il rendimento di portafoglio e lo scarto quadratico medio

attraverso questi pesi come nel caso a due titoli ma con le nuove formule;

• Con vendita allo scoperto: i passaggi sono gli stessi ma la funzione di estrazione sarà adesso

=CASUALE.TRA(-100;100)/100-0,000001 perché è anche possibile andare corti.

È possibile creare ora il grafico per entrambi i casi. Nel secondo caso, però, il grafico risulterà ambiguo

perché le combinazioni (dieci mila) si distribuiscono in un’area molto più grande e bisogna giocare con il

grafico riducendo i valori dell’asse x e dell’asse y (zoomiamo sul punto di minima varianza). È ora necessario

sovrapporre i due grafici. Per fare ciò, ci posizioniamo su uno dei due e aggiungiamo una nuova serie che

incorpora esattamente i dati dell’altro grafico:

Calcolo della frontiera efficiente

Partiamo dagli stessi dati considerati nell’esempio precedente e per ogni titolo calcoliamo media, varianza

e deviazione standard. A questo punto dobbiamo ottenere le seguenti matrici:

• Matrice degli scarti: data dalla differente tra ogni rendimento osservato e il valore medio

24 × 3)

(anch’essa sarà una matrice per ciascuno dei tre titoli;

• Matrice trasposta degli scarti: ottenuta tramite la funzione MATR.TRASPOSTA e selezionando tutti

24 × 3 3 × 24

gli scarti (essendo la matrice originaria di la trasposta sarà ovviamente quindi

dobbiamo assicuraci di avere lo spazio necessario). Ricorda sempre di premere CMD+SHIFT+INVIO;

• Matrice varianza-covarianze: ottenuta dal prodotto tra la matrice degli scarti trasposta per la

1

∑ =

matrice degli scarti e, il tutto, diviso 24. Questo deriva dalla formula ricordando che la

matrice R è quella degli scarti tra i singoli rendimenti e la loro media e è il numero delle

= 24

osservazioni, per nostro caso ovvero i rendimenti ritraibili da 25 osservazioni temporali,

cioè 25 mesi. Tale matrice ha questo nome siccome la sua diagonale contiene esattamente i valori

delle varianze dei singoli asset e, gli altri invece, sono le covarianze tra i vari rispettivi valori.

È possibile, a questo punto, passare alla definizione e all'identificazione della frontiera efficiente, ovvero il

luogo geometrico dei punti rappresentativi dei portafogli che, a parità di rischio, massimizzano il

rendimento o, equivalentemente, a parità di rendimento minimizzano il rischio. In virtù di tale definizione la

funzione obiettivo da minimizzare è rappresentata dalla varianza di portafoglio poiché ogni punto sulla

frontiera ha varianza minima a parità di rendimento:

1

• 2

min

Funzione obiettivo: : si inserisce ½ perché stiamo calcolando la derivata e semplifichiamo;

2

•

= 1;

Primo vincolo:

•

= ( ): = 0.

Secondo vincolo: i vincoli si inseriscono perché altrimenti si otterrebbe

Dove è il vettore unitario (trasposto perché di base i vettori sono verticali) in cui ogni elemento è "1" e

è il vettore delle quote di portafoglio (ovviamente e hanno lo stesso numero di elementi), ovvero:

1

2

[1

= 1 1 … 1] = + + + ⋯ + = ∑ = 1

1 2 3

3

… =1

[

]

La somma come detto in precedenza deve essere necessariamente pari a 1. Nel secondo vincolo, invece,

( )

è il vettore dei rendimenti medi, ed è il valore atteso del rendimento di portafoglio:

1

2

[ ]

( = … = ∑ =

)

1 2 3

3

… =1

[

]

Per risolvere si passa per il lagrangiano trovando un’esplicitazione che permette di individuare il portafoglio

di frontiera indicando un qualsiasi livello di rendimento atteso:

2

( − 2( +

) )

√

=

2

−

, ,

I termini sono scalari risolti tramite Lagrange. Si dà quindi in pasto alla funzione il rendimento atteso

ed essa restituisce la deviazione standard del punto lungo la frontiera. Essa dipende esclusivamente dal

rendimento atteso ed è l'equazione di un’iperbole il cui ramo crescente rappresenta la frontiera efficiente.

Individuazione dei coefficienti e rappresentazione grafica della frontiera , , :

Per poter rappresentare graficamente la frontiera è necessario calcolare il valore dei coefficienti

• Matrice inversa: prima di tutto è opportuno calcolare la matrice inversa della matrice varianze-

covarianze mediante la funzione MATR.INVERSA;

• ,

Riporto del vettore dei rendimenti medi vettore e loro trasposte;

• Calcolo dei coefficienti: attraverso le seguenti formule:



−1

o :

Coefficiente ovvero prodotto tra matrice varianze-covarianze e vettore unitario

non trasposto, successivamente moltiplicato ancora per il vettore unitario trasposto

(sempre con MATR.PRODOTTO);

 

−1 −1

o : =

Coefficiente ovvero prodotto tra matrice varianze-covarianze e

vettore dei rendimenti medi non trasposto, successivamente moltip