Domande orali di Analisi 1 di gennaio 2026 con risposte dagli interrogati

Derivate

• Derivata di Lagrange (o del valor medio)

Se ^f ∈ [a,b] M Lfunzioni continue

∃ almeno un ξ ∈ ]a, b[ : esona g ^f(b)-f(a) = f′(ξ)

b-a

^{f(b) - f(a)}

b → a

Derivabilità

Definizione 1

Derivazione per incremento

dF = F(x + h) - F(x) = ∫ f(t) dt.

Taylor

(x-x₀) = x. (x-x₀)

P(x)

CVD

Derivate

Equazione della tangente (della variabile x₀)

Si posiziona all'istante di un certo incremento

E si approssima y₀ = y(x₀)

E imponiamo W.L.F. essendo j ancora da caldre.

Dimostrazione

Teorema di Lagrange

f(a) f(b)

a b c

Teorema del valor medio delle derivate.

Dimostrazione

1. Per il Corollario del Pea (1.2)

P(y /a,b)

P([/,f(b)[/],[f(a)/])

g(y) g(a) g(b)

y₀(x – x₀) _{x – x0}

R = f(a) + y₀ (x - x₀)

Comp. con funzioni continue

f(x) = f(y₀)

y(y₀)_{(x – x0)} substituento k

g(x)

f(a) = g(a) = 0

f(c)

h(x) = f(c) - f(c) => f(c) = f(v - f(c))

Teorema calcolo integrale

Sia f: [a,b] _-> R continua un G(1) c

Dominio in [a,b] ⊂ sup

Allora f: G

Poniamo x = _x

f(a)

F(a)=∫ f(t)dt

F(c) – F(x)= F(n)

Dimostrazione + definizione di derivata:

(F(x+h) – F(x)) / h causalità commutativa

∫ x ^x+h (1 F(x) dt)

a - a + F(x) = f(x) + (f(x+h)) / (f(c))

Per il teorema dimostrato proponiamo perotropo tra CC[Cx] & A

(n(usinge))

Per il discorso nel dominio x= x

F(x) = f(x)

Taylor

T_n (x) = _k-0

F(k) x (x - xo)ⁿ / k!

Σ (x – x₀)^y

Pn(x)

x_y – Σ_k=0 P^k (x) (x-x₀)^{r} ^k

P(x) =_n-r

∑ f^k! (x-x₀)^r _n-0

Teorema Fondamentale Calcolo Integrale

Sta: F : [a, b] → R continuo in I ∈ [a, b] ⇒ ammette N ∫_a^bf(t) dt = G(a) funzione di F(x) : G(x) = F(x) + C

Allora: ∫_a^b F(x) dx - G(a) = G(b) - G(a) = ∫_a^b f(x) dx

Dimostrazione Pratica del Calcolo Integrale

F'(x) = F(x) = ∫_c^xf(t) dt ∫_b^xf(t) dt = F(x) - F(x)

F(x) - G(x) = F(x) ⇒ F(a) - F(a) = 0

F(x) = G(x) + C in (c, a) F(a) = G(a) + C ⇒ F(x) = G(x) in (x, b)

Teorema Medio Integrale

sia f : [a, b] → R ammette G(x) = lim_x→af(x) allora ∫_a^bf(x) dx = F(x)

Dimostrazione con 'Teorema de Bolzano'

I = M ∈ C [a, b] → f(a) < F(x) < f(b) ∫_a^bf(x) dx ≤ ∫_a^bf(a)xdx dove m^* = min f(x) ∀c ∈ (a, b)

funzione f = max f(x) contenuta contenuta = sup_J∈IF(x) = max (αy)

Problema in (ysm_a, α) ⇒ (F(x)-a)

∫_f(a)^bf(x)dx = F(x) = (x) ∫_c^∞ f(x)dx = F(x)

Punto di Derivate

D ⊂ R ∈L¹ se y tale intorno di T

D ⊂ Z ⊂ L se a=T su [A, D]

V_δδ x D, ∀x ∈ F : ∃x ∈ D : h(x) - x = ∅

Continuità

∫_d^d(0 - r) = ∫_t^∞f - x = 0 Determinare ∀d ∈ ⊂0 f(x) dx

NETWON

Coefficienti Binomiali (M) = (n-1)! / k!(n-1)!

∫_n-1^∞∑_k=0f - xk Integrale N=0 (1) ∫_n-1 0 ^∞∫2 E(N) = ∫_∝∫4_∝

Esempio ∑_k=1 = (N-k)(σ) (infinito)

Relazione di Newton aru_n=0∝_x/^∫0

Dimostrazione

1. ∫_x→∞g - (a→b) = (N-1)GN 2. Criteri per determinare convergenza di integrali 3. Relazione tra integrali generali detti (a→c)

Equivalenti il limite esatto (a→b)f(x) → uguale

Considero integrale finito per serie generalizzata di Riemann

Sia r maggiore di zero:

S_n = ∑_k x^r = ∑ sinα = α

Dato un insieme tale che N si possa scrivere almeno essendo:

x se lim S_n = lim S_n f_k (n,n-1,n-2)

• x lim ∑ k se f espanso serie numerica x
• se lim S_n - S_k < m - > 0 - 1 < Σ S_n = S_k ∈ n
• se x lim S_n - (S_n - 1) convergente

Converge se

Teorema calcolo integrale semplicemente generale

se funzione F integrable:

F(x) = Σ S pat(n+1)

(F(x+n+1) - F(x₀))

si somma f corretta con:

f_u Σ f_k per x derivata di F

x

• ∫_c f(x) dx
• lim F(x) dx

Per univocità del calcolo integrale:

• ∫_a^b (f(t)) (ab) dt = ∫_a^b f(t) dx
• f_c(1;0) 1 = ∫_a^b f(x) dx

dimostrazione di una equazione di relazione continue e

definito integraledx definibile se:

[f continuous in c in I]

e convergente

Dimostrazione: x quest'insieme di overlap di calcoli che contenga e

relazioni I per il calcolo di denti della f

• Definiamo la f_c in forma di domando scrittiformulata tale che:
• per calcolare limiti
• sin e cos ∫= b

M_max ≤ f(x) ≤ M

M è la condizione

f è una non convessa seguente disegua

• per ogni c [teorema] ∫_a (f_x) ≤ M
• M ∫_a^∞∫∀ sin(S_n) (f - fx) ∫_c f dx
• M_max ≤ f(x) ≤ M + condition of x:
• evolution [minore F(x)]
• induzione che estende
• la scrittura precedente prodotti ∫π([fract - fx] [cose])

Tutte le definizioni a memoria no appunti

Successioni

Definire successione reale (caso di numeri)

a: ℜ → ℜ - NN vocabolo numerico successione reale

lim_n→∞

Teorema esistenza maggiorante e minorante

a: ⊃⊂a∈A

A ≠ ∅ e minorata m ∈ ℜ a č^{m∈A ∀a∈A → a ≤ ⊃ a}

A ≠ ∅ e maggiorata M

∀a∈A → a ≥ inf a

Def. Sup e inf

1. a ⊃⊂a∈A se ∀a∈A, a ≤ m
2. inf

Criterio della radice

• se successione reale con termine generale _n
• a_n < 0lim^1/n _n→∞
• √_n ^a_n - a