Domande di Analisi 1, febbraio esami orali 2026

Derivate

Teorema di Lagrange (del valor medio)

Da f:₁(b) - 0 (limitata ordinatamente)

E continua su ₁ e ogni J = nome C tale che

f(b) - f(a)

Disegno

_a

Dimostrazioni

1. Prolungo il pol. P_n

Taylor

1. f(x) = ∑_. f^(v)(k) (x - x₀)^k
2. Taylor

f(c) = R(c)

f(x) = f(c) + (x - x₀) f₀(x - x₀)

P(x) = ∑_k=0 f^(k) (x - x₀)^k

Derivate

Enunciato del teorema (solo enunciato)

sia f: [a,b]-> R limite continuo

E consideriamo differenti indicho come _M

enunciato di weir ed Eco secondo un concerto che hd

1. Lagrange
2. Cauchy (del valore medio)

Dimostrazione

1. Teorema del valore medio
2. per p(x)

p(x) p(a) + ( f(b) - f (a))/ (y₀+y₀-a) - y₀ y₀f'(x)

f'(x) = ^{f(b) - f(a)} / _y₀f'(x)

Area numeros pre

f'(x)= f(c)

f(c₁) - f(c₀) = f(c₂)

Forme Varie Formulae Eclecticae

R_x = ^k (f(b) - f(a))

Per Weihomann

h_k(x) = ¹ / g = 0

h_n - f_in'(x) =^{f(x)(x - x₀)}R(x)

h(x) = f'(x) - R(x) - (f - R)

Teoria Calculi Integrale

Sia f: [-l,+-l->R converg in G⋋J C

Dominio in J⋋L+L e sotto f

1. Integr.sx

p'(x) = ∫^x_lF(t) fi_t - ^F'_x = ^fi_n(x)

Direzione x definiro c dimenzione

(^F) int' c

(e)

1. f(x) ∫^x_c^{l_{h(x) / (x - x0)f'0pi}} dx

^h_h = 2h²y^e

= perc. Fabpeza del P^f'(x)Sx / ^f'h(x)

Taylor

P(x) = ∑¹₁^{(K = 0) _{P' k(pe)}}

¹_k!

_{f(x - x0)}!

P(x) = ^{f(x)(k)/ K!F_{-oo y0Xx-y1}}f₀

(poco chiaro)

p(x) = ∑^P(x) _{φk=0 px(i)}^dx

(cot)

Php_tio

.

Teorema Formule calcolo integrale

f:[a,b]->R continuo in I ⊆ (a,b) ⊆ dominio.N = I-BI se G antider. di f in I: G(x) = F(x) + C∫_a^b f(x) dx = G(x)|_a^b = G(b) - G(a)

Algoritmo:

1. Scrivi ∫ f(x) dx = G(x)
2. G(b) - G(a) = G(x)|_a^b

Dimostrazione pratico del calcolo integrale

F'(x)= F(x); ∫_a^b F'(x) dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a) = 0

Costruzione su misura

f(x) = F(x) = F(a)

In w:

• G(x) = F(x) + C
• F(a) = F(x)

Condizione il cambio

F(x) = g(x) + C che F(x) descr. mapp. inf.

∫_a^b f(x) dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)

Teorema media integrale

b > a ∫f ∈ [0 - b - R converg. f(x)

Problema del "Teorema di continuità"

I=M ∈ R amtf-fxd

No limiti che contenuto, menz(a,b)

Problema integrale direzione un riflesso preferenza di punti noti - Pionieri visone

Punto di differenza e contributo intervento de T con assistenza

Considerazione ci scena

Continuità

f: (a, b) -> R e se f identità f' accorci del campo

Determinazione equazione del limite oltre 2 f(x) usg does

Banenkivich

Casit indicatore

2. f(b) se G (non-diff. f) negli distinti trasporto

1. Se la; Uguale irreversibilmente disarmenert del sistema shcc quadrupling

Chiurti legge maquin.

Estratto di piombo e i limiti estremo del pessimino - Tobisef - lime.

Netwon

Da coeff. binom.b= n! / (n - k)!^mn = i:∑x^k

T nam - indicazioni bi Drek - Relazioni: Yinzo 3 Il ete^y. B man N

∫_t^b f(x) dx = F(x) = F(t)

P.O. e distribuzione

1. f'(x) = R ∫_a^b f(x) dx = F(b) -f(a)

R = o f(x) max desiderati f ⁽⁴⁾

NB. costante DNA primo spont. petzlim

Conoscere integrale di una serie

Su una serie (9A):

S = Σn f(n) n∈ℕ/R

S1 = Σ f(n) = h N (SN) → (SN = a )

Sul fronte di (N) se N si sposta oltre ampio

Risulta:

S = lim SN = lim Σ f(n) (a±e, n→±∞)

la somma è finita solo se convergente

Se lim SN = So è a=∞ o a= -∞ diverge

∫somma = lim →∞ SN =⇒ Σ diverge

S = Σ=1∞ an xn

(serie geometrica)

n=0 Σ an xn = Σ xn

esaminata nel Write dall’istante x x=1

Serie esaminata = x se o/x converge 1 diverge

Teoremi calcolo integrale: Su funzione F additivo

Fx Dx/F è infettibile e inversamente Nx continuo

F (x) non fun infinif(x) = ∫f(x)dx

(per equilibrio volume Senti =0)

Partizione kalla mina integrale:

∫f(x)=cb(b)f(b-a) = 1/∫f∫a(x)dx

∫f(x)dx

F(c)=cb-a(x)f(b-a)

Oscillatore e minima integrale:

F(b-a) = ∫ c(a) F(c) = 1/2 ∫f(x)dx

∫f(x)=b f(x)= ∫a f(x)∫=C f(x)

F= ∫f(x)dx-S [∫F[= max]dx]

Derivate v, quest'operato almo bo finite di continuo e

fiele in olejk nel’t indicate

Ne fα lento = l αt, (+c * ml) (m=n-ont’k’)

F(v-b) - f(b) =vk-c(k0)

Tutte le definizioni a memoria no appunti

Successioni (con ENUM)

aₙ: a: ℕ → ℝ dove ℕ = ℕ0 numerata (dominata)

• a₀ = 0/1
• Per il solito casting

∀ ε > 0 |∃ index α st

Def successione (no in ℕ)

a: DOM → ℝ\{0,1} numerata con dom

• ∀ n ∈ ℕ, ∃ p < n in DOM at
• a(n) = -;a(p) = p MA, n etc.

Teorema archimedeo (Se Fisso)

∀ x ∈ ℝ ∃ y > x ⇔ y supp

Teorema del confronto de succissioni

{aₙ} storpi scu {bₙ}

Teorema (con limite finito)

• Se xₙ converge a 0 sup ...
• Se xₙ = d/div di una serie

Teorema successione monotone

Se {aₙ} ⊆ D-R converg allora esegue:lim sup {aₙ} = ilim inf {aₙ} = inf/sup

Su DOM convergenze e lim sup inferiori

Da teorema convergenze α β ∂ il ... (eseguire) di supr/inf.

(Criterio delle radici)

Se successione numeri con numero limite:

• {√_n a}_n {c_n = 0}
• ^lim_n→∞

Pratica numero convergente

Calcolare lim inf, e contare se converge a lim.0234

Da convergenza:

• Rigma e z di segmenta
• Comunque zero

Continuità derivate

Calcolo un php N → A^C = x

Accurato sine € successione chiusa

Se {aₙ} mola sec qua

• {bₙ} tend a e

Teorema Borchi - escludere

Siamo anche classe effettuale ardda esempio0^′, una est -- chiamatime errore

∀ es

Grafica infinita

(Lun quartieri)

• TR = |x| ...

Teorema Bolzano Hildbert

Da Elencovi schematizzare allora esegue_o

Teorema converge e limite

Se una successione reale è limitata tale che:

• Se a = {c_α - p_x}

Disegnare−prova − di limitePer ogni v ∈ Z^d s.

Fisso k − m=Ɣ_nm,ω(i+k ≠ 3)

• {z_fx} len diverge 0 di corone ξʷᵧ