Domande esame Analisi matematica a

INSIEMI E COMPLETEZZA:

a. Dimostrare che sqrt{2} non è razionale: (1)

f) Enunciare il test di monotonia per funzioni reali, nel caso di funzioni monotone

crescenti.

b. Esempi di applicazione (criterio del confronto per integrali, esempi di

applicazione dello sviluppo in serie, Teorema della permanenza del segno): (2)

1. SUCCESSIONI:

a) Definizione di successione convergente e limitata, con discussione sulle

implicazioni tra i due concetti: (3) vale il viceversa?

a

b) Discutere il comportamento della successione n al variare di α quando n→+∞.

c) Enunciare e dimostrare il risultato sul limite del prodotto di successioni.

d) La definizione di limite finito e di limite +∞ per una successione.

d) Dare la definizione di maggiorante, massimo e estremo superiore per un

insieme. Fornire un esempio per ciascuno.

e) Enunciare l'assioma di completezza. Verificare se vale in Q, giustificando la

risposta. d) Enunciare l’assioma di completezza (o proprietà dell’estremo

superiore). Stabilire se in Q vale questa proprietà giustificando la propria risposta.

2. LIMITI DI FUNZIONE E TEOREMI:

b) Enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite per una funzione.

h) Enunciare il teorema di permanenza del segno.

a) Definire il limite di una funzione in un punto.

e) Dare la definizione topologica di limite di funzione e quella di continuità di una

funzione.

g) Dare la definizione di funzione continua in un punto.

α

g) Descrivere il comportamento della successione n al variare di α quando n→+∞.

h) Enunciare e dimostrare il limite notevole che riguarda seno e logaritmo.

3. PEOPRIETÀ DI FUNZIONI CONTINUE

a) Enunciare il teorema dei valori intermedi e dimostrarlo.

B) Teorema di Weierstrass

b) Enunciare il teorema degli zeri illustrandone graficamente il significato e

dimostrarlo. Verificare se la funzione ha uno zero nell’intervallo.

a) Invertibilita della funzione �

4. DERIVATE E CONTINUITÀ:

a) Definire il rapporto incrementale di una funzione in un punto e illustrarne il

significato geometrico: (2) Interpretazione geometrica della funzione derivabile

in un punto: (3)

b) Definizione di funzione continua in un punto: (4) Una funzione continua in un

punto è derivabile? Una funzione derivabile in un punto è continua? (4) La

continuità è condizione necessaria o sufficiente per la derivabilità? Giustificare

con esempi o controesempi: (3) Dimostrare che una funzione derivabile in un

punto è continua: (2)

c) Dare la definizione di funzione derivabile in un punto.

d) Descrivere i casi possibili di punti di non derivabilità, fornendo esempi a