Soluzione prove esame: domande di teoria di Analisi matematica 2

A-

y)

SIANO EA

:

Aperto ,

, , , fyy(X fyx

78c0 f(x è (1)

Y)

Ig(XoYo

y) Derivabile e

supponiamo in

: inoltre

2 volte che

che supponiamo ,

, ,

Yo)

(Xo

SIANO CONTINUE in ALLORA :

,

,

fxy(x0 40)

yo) fyx(x0

= ,

, AE2 f(x CONft(2(A) (X3)

+ M

DATO UN APERTO E UNA FUNZIONE y) A

:

,

i) DEFINIZIONE MATRICE HESSIANA

ii) ALGORITMO PER LA CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI CRITICI E STAZIONARI MEDIANTE LO STUDIO DELLA MATRICE HESSIANA

i) si definisce matrice HESSIANA la seguente matrice fxy(x,

f 4)

y)

xx(x

-

Hf(x y) = fyy(

fyx(x

, 4)

7)

/

Cornice 4)

e fx( Jyy(x 40)

(x0 è

ii) relativo

>

7)

se punto

20

DETHo di

. un min

, ,

,

Cormance 4)

e fx fyy 40)

(xo è relativo

Max

(x >

7)

se < punto

0

Ho

DET di

· un

, ,

,

(X0 Yo)

Se

· è

DET Ho punto di sella

~ un

, f(x <R

y) +

DATA UNA FUNZIONE CONTINUA Con (X3)

COMPATTO, DESCRIVERE L’ALGORITMO PER LA RIERCA DEI

h

:

,

PUNTI DI MASSIMO E MINIMO ASSOLUTO

GR

Supponiamo che sia una curva parametrica regolare a tratti, allora si ha:

muf(x) for(x

f(x MXf(x) 4)

=

)

, =

DOVE ((x 0))

4 0f(x (0

y)

c y)

= : =

= , ,

, y)]

((x f(x

4 -

y)

I + =

= ,

, b))

(((t)

2u (x(t) (a

+

y(t) =

= = ,

,

,

DOPO AVER DATO LA DEFINIZIONE DI MAX E MIN ASSOLUTO, ENUNCIARE IL TEOREMA DI WEIERSTRASS

Y f(x

Sia di Y)

L'insieme Definizione Di

Compatto Si Ha :

, =

(yfx

minf(x

mif(x)

Mf(X Max f(x =

Y) Dove

E

4) =

=

, ,

(x CvIvSR

Y)t (x y)ECvIvEx y)]

[G(x

, , 78f(x

1

y) :

=

, , 07))

2x(((x) (x(t)

TEO te(a

se f é continua sull’insieme compatto X allora f ammette Max e min y(t)

: = ,

,

,

assoluti su X

EDO E R CONSIDERATA L’EQUAZIONE DIFFERENZIALE ORDINARIA: by

DATI a, b, c ay"

Fo

con a cy

+ 0

+ =

, A

DETERMINARE L’INTEGRALE GENERALE IN CUI 0

=

INFINE SI VERIFICHI CHE CIASCUNA FUNZIONE APPARTENENTE ALL’INTEGRALE GENERALE É SOLUZIONE DELL’EDO

aX 6 X 62-4ac

DATA d

CARATTERISTICA Si

L'EQUAZIONE + Ha

C 0

+ = =

%2

41 COINCIDENTI

REALI DEFINIAMO L'INTEGRALE

SE DISCRIMINANTE

1 SOLUZIONI

AVREMO

TALE E E NE

O DUE

= ,

* **,

" X(ze

Ge XER

P(x)

GENERALE +

: =

L’insieme S delle soluzioni di un’equazione lineare omogenea forma uno spazio vettoriale

y

y"

CONSIDERATA acy

a 0

+ + =

,

DOPO AVER DEFINITO L’EQUAZIONE CARATTERISTICA, ESPORRE L’ALGORITMO PER DETERMINARE L’INTEGRALE GENERALE

LINEARE DI SECONDO ORDINE IN FORMA OMOGENEA E A COEFFICIENTI COSTANTI ASSEGNATA

Si definisce equazione caratteristica (EC) associata all’EDO lineare omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti l’equazione

x

C X

x

algebrica a coefficienti reali di secondo grado nell’ incognita : + a

+a = 0

, 1 a

Studiamo successivamente il discriminante dell’EQUAZIONE CARATTERISTICA 400

+

= 12 a

Xz

-A 40

+ a

+

X . -

Se -

l'El . .

DISTINTE

REALI

SOLUZIONI

aso =

2

Ammette =

, 2

X

Se X2

l'el Coincidenti

Soluzioni

2

1=o reali e

Ammette ,, 400-an

-Eli

iB

di

Se l'el Soluzioni

110 2 complesse Coniugate

e

Ammette = 2

E l'integrale lineare la forma

De generale

Y(X)

DEFINIAMO dipende

DELL' DISCRIMINANTE

EDO cui DAL

: omogenea

A OVVERO :

, * " **,

PERx0 (e

(e

Y(x) Xei

+ ;

=

- * **,

" X(ze XER

PER (e

4(x) ;

1 +

0

= - = Ced"caspx (esempx

P(x) XeR

Per ;

10 +

=

- ,

DARE LA FORMULA PER L’INTEGRALE GENERALE DELL’EDO DEL PRIMO ORDINE y b(x)

a(x)y +

=

Ao(x)

-

4(x) CER

al (x)

ce e

olore Ao

= primitiva Ro(x)

di I

in

di

variare generica

una

, ,

INTEGRALi Doppi

ENUNCIARE LA FORMULA PER IL PASSAGGIO A COORDINATE POLARI

ya v

P(x y) 90 (0 2π)

yz =

, 9

. +

& = ,

o (x

-

↑ 0)

(y y(0

0)

D'

* 0)

(0

= ,

, ,

, /la

0)

x(p 970

DETj >

pcoso

=

, 1/p10s0 sino) opolo

p q

,

0)

y(0 0 so

=

, DEIR2

DOPO AVER DATO LA DEFINIZIONE DI DOMINIO NORMALE RISPETTO ALL’ASSE DELLE X, ENUNCIARE LA

FORMULA DI RIDUZIONE

" +yXh(x)]

((x (12)a

y) DOMiNiO

D 6 Rispetto

Normale

g(x)

= ascisse

= all'asse

x delle

>

= , ,

((/hf(x

(pf(x y)ay)dx

y)dxdy =

, ,

DEIR2

DOPO AVER DATO LA DEFINIZIONE DI DOMINIO NORMALE RISPETTO ALL’ASSE DELLE Y, ENUNCIARE LA

FORMULA DI RIDUZIONE )

ya ((x h(x))x (

m2 g(x) 3y

a y) a

=

+

= ,

, ,

- ())

f(x

( y)ax)dy

f(x 2)axdy =

-

* -

SI DIANO LE DEFINIZIONI DI CAMPO VETTORIALE, CAMPO CONSERVATIVO E CAMPO IRROTAZIONALE

L’irrotazionalitá è condizione necessaria per la conservaticitá

=- - of

Motf É

Mot irrotazione

Se = =

DARE LA DEFINIZIONE DI DERIVATA DIREZIONALE ED ENUNCIARE IL TEOREMA RELATIVO ALLA FORMULA DEL GRADIENTE

PER LA DERIVATA DIREZIONALE

f(x X

(X0 Yo nella direzione del VERSORE X

ammette derivata direzionale nel punto 11

y) 11 1

Ovvero =

, ,

,

f(xottx

lim Yottx2)-f(x

Y

se ESISTE FINITO il seguente limite ,

(x0 40)

In tal caso, definiremo derivata direzionale nel punto lungo la direzione (individuata dal versore) il precedente limite

, &1

8 Yotx)-fX

f(xX,

che in simboli indicheremo con Li

(xoiYo)

NoYo) .

CON

o

TEOREMA GRADIENTE

DEL # fy

7fy(xoo) fy(x0

Xa)

(X Vf(x

(X0 Yo) X

X

Se f(x,y) é DIFFERENZIABILE in allora X11

11 40)42/

2 Si Yo) 40)

(x +

A =

con =

= =

, 0 +

,

, ,

,

R2

Dove denota il prodotto scalare in

7

...

Richiamiamo la definizione brevemente 1 Il

Xc)

(X X Xi i

x

ER2

Siano aperto tale che

f(x X

ACIR Yo

Ac (x0 EA 2

y) = + =

=

: =

, ,

, ,

dethem f(xottxs Yotx)-f(x

= ESISTE FINITO

(o Yo) ,

x , Ex

In tal caso si pone uguale al precedente limite

Yo

(X0 ,

Inoltre si aveva il seguente teorema:

TEO 1 (formula del gradiente) (a Xz)EIR"con X

f(x fy(xo

Se è DIFFERENZIABILE in , allora fx

VX Jfx

(Xo (0f(x Yol

(X0

Yo Yo) Yo)

y) Xc

Xz

40)

(x

Si na

1 +

= = =

,

, =

, 0 , ,

, ,

R2

dove < . , . > denota il prodotto scalare in

ENUNCIARE IL TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE

f(x

AER2 supponiamo che valgano le seguenti ipotesi:

(X0

SIANO -R EA

Yo)

Y) A

Aperto : ,

,

,

,

f(x

: f(x y) EA

Y) DERivabile in

, ,

e fy(x

fx(X

(i) (Xo Yo)

CONTINUE

y) SIANO

Y) in

, , ,

f(x) e differenzialibe (x0 40

in

allora

> ,

Yo elc

XR2 (X0 IR

f(x PUNTO DI ACCUMULAZIONE PER

y) X-R DEFINIRE ANCHE ANALITICAMENTE

X

SiANO : ,

,

, ,

him f(x l

COSA SI DENOTA CON y) =

,

40)

(x0 ,

La l

(o converge)

f(x Yo

(X (x0

Y)

Funzione y) Tende Se

Tendente

per

a a

, , , 11 2011/12

old

X-G(xo

/f(x el13f(x)

-230760 (x 20

4) -

x) ,

con

: ,

=

-

, S

X

V (x xok

40) (X (y

(x 40)

y)

> 4)

(x

equivalente =

>

= +

-

- 0

, -

, ,

,

,

FDL y)dx

a(x 6(x y)

W dy

DATA FDL +

= ,

, y)eb(x y)

a(x

I CUI COEFFICIENTI SONO FUNZIONI DEFINITE SU UN APERTO SEMPLICEMENTE CONNESSO

, , (5(t)

R2 ESATTA IN A

A SI DIA LA CARATTERIZZAZIONE DELLE FDL DI CLASSE

di AER2 6(x Y)

SiANO y)d(x

aperto b(x

y) a(x

a(x - Si dice che la FDL é esatta in A se

Sia y)dy

W

A

: +

=

, , ,

,

, , ,

Zf(x) A differenziabile tale

A offe

in che

: ovvero

,

, fy(x

fx(x fy(x y)efy(x X(x

b(x y)

b(x A

y)dx a(x y)

y)dy

a(x y)dx

y)dy -

y) y)

+ +

= = = ,

,

,

, ,

, , ,

,

,

La funzione f(x,y) prende il nome di PRIMITIVA (o potenziale) di W in A