Domande d'esame Tecnica delle costruzioni M

ANALISI MATRICIALE

DIRETTA

[k]{_x} = {F₀} - {F}

1. Blocco tutti i movimenti possibili
2. Capire quali sono le forze che causano i movimenti che ho bloccato
3. Sblocco un movimento alla volta e ci ragiono
4. Assemblo la matrice k.
5. Scrivo il mio sistema

AUTOMATICA

[k]{_x} = {F} {S}

1. Isolo l'asta ed esplicito le reazioni incastro perfetto
2. Ragiono su β e s
3. Scrivo [k]
4. Passaggio dal sistema locale a quello globale con la matrice di rotazione.
5. Matrice d'incidenza
6. Scrivere quadratini colorati che testimoniano relazione tra x e k
7. Assemblaggio matrice finale gdl x gdvr

gdl = nodi x 3

gdvr: quanti movimenti indipendenti

SCHEMI NOTEVO

a) 4R

H 4EJ

b) _{qL 4PEJ} q

4R

3) Hambo

c) P _{FL2 8EJ}

32R

3/16 L

5/16 L

d) H 2 _{qL2 8EJ}

e) q

12) H

3HL 2

_{qL2 8L}

f) P _{pL 8} P

P/2

_{H L 6EJ}

8) 6R

M/M

H _{HL 2EJ}

11) 2R

12) M _{HL 3EJ}

3R

T=0

Passaggio da riferimento locale -> globale

β₁ = β₁ ⋅ cos α + β₂ ⋅ sin α

β₂ = -β₁ ⋅ sin α + β₂ ⋅ cos α

β₃ = 1

Se i sei rotazioni, valore del coefficiente uguale ad 1 non deve essere proiettato

La matrice qui sopra dipende dall'inclinazione delle aste

• BC -> sistema congruente
• AB e CE -> cosa

Passaggio dal riferimento locale -> globale

Passo dalla matrice 6×6 -> 15×15

Matrice d'incidenza -> Pongo tutti 1 e 0 nelle matrici

B = [R] {βℓ}

matrice trasposta passaggio da sapere

k = matrice rigidezza globale semplice asta

Metodo Diretto

valore intero

• d₁=1
• d₂=0
• d₂=1

1^a colonna

2fEJ_L

2^a colonna

incastro scorrevole

k = _EI/^l3

Importante disegnare la deformata

U = _EI/^l3

Shear Type → Struttura

Qui di fatto io ho 5 marimoti indipendenti.

• _α1=0
• _α2=1
• _α3=1
• _α4=0
• _α5=0

k₁₁= ^2EI/_L       ^GEI/_L³

k₂₂= ^12EI/_L³

k₃₃=0

k₄₄= ^12EI/_L³

k₅₅=^2EI/_L

K 12 = ^-12EI/_L³

(3) Spostiamo indietro il primo: K₁₃ = 4

μ₃ = μ₂ = 0

Equazioni di equilibrio

^3EI⁄_L ∼ ^6EI⁄_L²

Costruzione della matrice di rigidezza per assemblaggio dei marchi degli

¾ ↔ Bi-retticolo ↔ Incastro scorrevole

Matrice di rigidezza di una travi inflessa con TBD i momenti di nodo vincolati

{K_B ∼  A}

{G

Esecuzione delle equazioni della macchina delle equazioni del nodo

{G ¾ ↔ 1} &size; (1,2)

3. Ottima

1. Hd_a {^{(ΨΨΨΨΨΨ) |-2|}} ^{(2 ΨΨΨΨΨ)}} 62EI
2. T_A 6E₃ {60¹ -12₁₂ 2E³⁵}
3. H_DB {μ₃ -1H _e0}

A

D3

• B
• C

FASE I)

• B
• C
• D
• E_F
• L/2

1/2

3/2

4

5

1/2F

2F

3/2L

4/2

5/6F

T

H

def

• C
• D

FASE II)

M=E2/16

H

4/2

2H

[K]

[K₁₁ K₁₂]

[K₂₁ K₂₂]

8/2

2R

K_L 7K

2R

7K

H_B2R

H_C7R

α₂ = 1

α₂ = α₆ = 0

1° COLONNA DI K

4EJ/l

GES3/l

• K₁₁ = 4EJ/l + 4αEJ/l
• K₂₁ = +GES3/l
• K₃₁ = GES3/l

20 COLONNA DI K

GES/l

+GES₃/L²

K₃₂ = GES/l

GES/l - 12GES

K₁₁ = GES/l

2° COLONNA DI K

4EJ/L²

K₃₂ = GES/l

2GES/l

• K₂₃ = 2EJ/l
• K₂₃ = 4EJ/L²

K₃₃ = +GES₃/l

K = EJ/e³

[

22e² 6e 22e²

+6e 24 6e

22e² 6e 8e

]

Scansionato con CamScanner

91.

L₀ = e/senα

k₁₂ + α₁ = 0

1^a colonna

k₁₂ + α₃ = 0

2^a colonna

• k₁₂ = -2 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα
• k₂₁ = 5 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα
• k₃₁ = 3 ^16EJ/_e³ - 2α₂ cosα

Aste Tirose

• k₁₂ = 2 ^16EJ/_e³ + α₂ cosα
• k₂₁ = -2 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα
• k₁₃ = 0

Aste compresse

• k₁₃ = 0
• k₂₃ = -3 ^16EJ/_e³ - (α₂/e) cosα
• k₃₃ = 7 ^16EJ/_e³ + 2(α₂/e) cosα

k = [ [2 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα, -α₂ cosα, 0], [-α₂ cosα, 6 ^16EJ/_e³ + 2α₂ cosα, -3 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα], [0, -3 ^16EJ/_e³ - α₂ cosα, 8 ^16EJ/_e³ + 2α₂ cosα] ]