Dimostrazioni Fisica I

Ora analizziamo i quattro termini presenti nella relazione. Il primo termine:

⃗ × ⃗

Poiché e sono indipendenti dalla somma sugli indici i, possiamo raccoglierli fuori dalla

⃗ ⃗

sommatoria: ⃗

⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗ = ⃗ × ⃗

Ma la somma delle masse per la velocità del centro di massa è uguale alla quantità di moto totale, .

Quindi, il primo termine diventa: ⃗

⃗ × ⃗ =

Che è proprio il momento angolare del centro di massa. Vediamo adesso il secondo e terzo termine:

⃗ × ⃗

⃗ × ⃗ 18

Notiamo che entrambi questi termini contengono somme del tipo:

⃗ = 0

Perché la somma delle quantità di moto relative al centro di massa è nulla per definizione del centro

di massa. Quindi, entrambi i termini si annullano. Infine, il quarto termine:

⃗ × ⃗

Questo rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa, ovvero:

⃗

= ⃗ × ⃗

Che è la parte relativa del momento angolare.

Quindi, in base a quanto detto precedentemente, resta:

⃗ ⃗ ⃗

= +

Ovvero, il momento angolare totale è quindi la somma del momento angolare del centro di massa e

del momento angolare relativo rispetto al centro di massa. Questo conclude la dimostrazione del I

teorema di König per il momento angolare. 19

9 Teorema di König: II Teorema dell’energia

cinetica

L’energia cinetica totale di un sistema di punti materiali è data dalla somma dell’energia cinetica del

centro di massa e di quella rispetto ad un sistema di riferimento con origine nel centro di massa.

Consideriamo l’energia cinetica totale del sistema: 1

= ⃗

2

Dove, esprimendo la velocità in termini della velocità del centro di massa, , e della velocità

⃗ ⃗

relativa rispetto al centro di massa, :

⃗ ⃗ = ⃗ + ⃗

Sostituendo questa espressione nell’energia cinetica, otteniamo:

1 1

(⃗ )

= + ̅ = (⃗ + ⃗ )(⃗ + ⃗ )

2 2

1 1 1 1

= ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗

2 2 2 2

1 1

= ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗

2 2

Definiamo ora: 1

= ⃗

2

1

= ⃗

2

Sapendo che la quantità di moto totale del sistema è:

⃗ = 0 20

Segue che il termine misto: =0

Ovvero, questo termine si annulla. Quindi, l’energia cinetica totale può essere espressa come:

1 1

= + = +

2 2

10 Momento angolare per un corpo rigido

⃗

Consideriamo il momento angolare totale di un corpo rigido, , Composto da particelle, ciascuna

di massa , velocità e posizione . Il momento angolare totale è dato dalla somma dei momenti

⃗ ⃗

angolari delle singole particelle: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

= + + ⋯ +

Dove il momento angolare di ogni particella è definito come:

⃗ (⃗ )

= × ⃗

Riscrivendo in forma compatta: ⃗ (⃗ )

= × ⃗

Poiché per un moto rotazionale, attorno ad un asse fisso, la velocitò di ogni particella è data da:

⃗ =

⃗ × ⃗

Dove è la velocità angolare del corpo rigido. Quindi, sostituendo nell’equazione precedente,

⃗

otteniamo: ⃗ [⃗ ( )]

= × ⃗ × ⃗

Utilizzando l’identità vettoriale: ⃗ ⃗ ⃗

(⃗

⃗ × × ⃗ = ∙ ⃗) − ⃗ ∙ ⃗ 21

⃗

Con , e , si ottiene:

⃗ = ⃗ =

⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ [(⃗ ) (⃗ ]

= ∙ ⃗ ⃗ − ∙

⃗)⃗

Definiamo il momento d’inerzia come: =

Dove: = ⃗ ∙ ⃗

Se la rotazione avviene attorno ad un asse principale, allora il termine:

(⃗ ∙

⃗)⃗ = 0

Quindi, poiché questo termine si annulla, la formula che si ottiene è la seguente:

⃗

=

⃗

Ma è costante, quindi, si può portare fuori dalla sommatoria:

⃗ ⃗

=

⃗

La sommatoria è proprio la definizione di momento angolare d’inerzia scritta precedentemente.

Pertanto, si arriva alla conclusione che: ⃗

=

⃗ 22

11 Energia cinetica di un corpo rigido

Sappiamo che l’energia cinetica di una particella di massa e velocità è data da:

⃗

1

= ⃗

2

Consideriamo ora un corpo rigido composto da particelle, ognuna con massa e velocità .

⃗

L’energia cinetica totale sarà la somma dell’energia cinetica di tutte le particelle:

1 1 1

= ⃗ + ⃗ + ⋯ + ⃗

2 2 2

Scrivendo in forma compatta: 1

= ⃗

2

Poiché nel moto rotatoria la velocità di ogni particella è legata alla velocità angolare del corpo rigido

dalla relazione: ⃗ =

⃗ × ⃗

Ed il modulo della velocità è pari a: =

Sostituendo nella sommatoria, otteniamo: 1

=

2

Ma dato che è lo stesso per tutte le particelle, quindi è costante, possiamo portarlo fuori dalla

⃗

sommatoria: 1

=

2

Definiamo il momento d’inerzia come: = 23

In definitiva, l’energia cinetica del corpo rigido in rotazione è:

1

=

2

12 Teorema di Huygens-Steiner (o degli assi

paralleli)

Il teorema di Huygens-Steiner afferma che il momento d’inerzia di un corpo rispetto ad un asse

parallelo ad un asse centrale passante per il centro di massa è dato da:

= +

Dove:

 è il momento d’inerzia rispetto all’asse 1 passante per il centro di massa.

 è la massa totale del corpo.

 è la distanza tra i due assi paralleli.

24

Dove: : ( , )

( )

: ,

Definiamo il momento d’inerzia rispetto all’asse dove P appartiene, ovvero l’asse 2, come:

=

Dove è la distanza della i-esima particella dell’asse 2. Osserviamo che le coordinate del punto P,

appartenente all’asse 2, sono centro di massa ha coordinate La distanza di

( ).

( , ).Il ,

ogni particella dall’asse 2 può essere espressa come:

( ) ( )

= − + −

Sostituendo questa espressione nella definizione di :

[( ) ( ) ] [ ]

= − + − = + − 2 + + − 2

[( ) ( ) ]

= + + + − 2 − 2

Distribuendo la somma: ( ) ( )

= + + + − 2 − 2

Ora notiamo che, per definizione del centro di massa, le seguenti somme valgono zero:

=

=

Quindi, se scegliamo il sistema di riferimento con origine nel centro di massa, allora i termini misti

si annullano in quanto = = 0. 25

Pertanto, resta: ( )

= + + = +

Ma la prima sommatoria è proprio il momento d’inerzia rispetto al centro di massa, quindi, possiamo

scrivere: = +

In conclusione, abbiamo dimostrato che il momento d’inerzia rispetto ad un asse parallelo è uguale

al momento d’inerzia rispetto all’asse passante per il centro di massa più il termine , che tiene

conto dello spostamento dell’asse. 26

13 Statica dei fluidi

Quando si applica una forza su una superficie di un fluido, l’unica componente che agisce su di esso

è quella ortogonale alla superficie. Si definisce pressione il rapporto tra il modulo della forza

perpendicolare, , e l’unità di superficie:

=

Si definisce, invece, densità di un corpo il rapporto tra la sua massa ed il suo volume:

=

Principio di Pascal

Se in un punto di un fluido in equilibrio si verifica un aumento di pressione, tale variazione viene

trasmessa inalterata a tutti i punti del fluido ed alle pareti del contenitore.

13.1 Legge di Stevino (o variazione della pressione di un

fluido in quiete)

Consideriamo un contenitore di altezza h contenente un liquido di densità :

⃗

Il fluido è sottoposto alla forza peso ed alla pressione atmosferica esercitata sulla sua superficie.

27

Possiamo esprimere la massa del fluido in termini della sua densità:

= → =

Poiché il volume di un cilindro di base A e di altezza h è dato da otteniamo che:

= ℎ,

= ℎ

La forza peso esercitata dalla massa di fluido è:

⃗ = = ℎ

D’altra parte, la superficie superiore del cilindro è soggetta alla pressione atmosferica , che esercita

una forza pari a: ⃗ =

La forza esercitata sulla base inferiore del cilindro è dovuta alla pressione del fluido a profondità h,

ovvero: ⃗ =

Poiché il cilindro di fluido è in equilibrio statico, la somma delle forze agenti su di esso deve essere

nulla: ⃗ ⃗ ⃗

= +

Sostituendo le espressione precedenti: = ℎ +

Dividendo entrambi i membri per A e considerando solo i moduli, si ottiene:

= ℎ +

Abbiamo dimostrato che la pressione ad una profondità h in un fluido in equilibrio è data dalla somma

della pressione atmosferica, , e del contributo dovuto al peso della colonna di fluido

ℎ

sovrastante. Questa relazione mostra che la pressione in un fluido in quiete aumenta con la profondità

e dipende solo dalla densità del fluido e dall’accelerazione di gravità, indipendentemente dalla forma

del contenitore. 28

13.1.1 Legge di Stevino (dimostrazione alternativa)

Consideriamo una massa infinitesima di un fluido, con spessore e sezione trasversale

.

Su questa massa agiscono le seguenti forze dovute alla pressione:

⃗ =

&