Dimostrazioni analisi 1 + Elenco dimostrazioni da sapere

• Formula Binomio di Koestler Newton
• Dimostrazione per induzione
• Massimo, minimo
• Maggiore, minore Est. sup. Est. inf.
• Concetto di funzione: Dominio, Immagine, Codominio
• Grafici di funzioni: e ^x ln(x) x ² x ^{3 3}√x √x
• Traslazione di grafici: Dilatazioni, valore assoluto.
• Funzioni iniettive e inverse

LIMITI:

• Intorno di un punto, p. di accumulazione
• Concetto di limite: teorema di unicità, teorema del confronto
• Teorema lim funzione limitata con x → 0
• Limite di somma, prodotto, reciproco e funzioni composte.
• Limite destro e sinistro.
• Limiti notevoli: senx/x x → 0 e derivati (DIMOSTRAZIONE)
• Definizione di continuità Def. di limite infinito e limite all'∞
• Asintoti verticali e orizzontali. Asinto Obliquo
• Limiti per eccesso o difetto Funzioni Monotone
• Limite di una successione successioni monotone.
• Definizione di infinitesimi e infiniti e le gerarchie
• Definizione ed esempi di Asintotici e o piccoli.
• Teoremi di Weiestrass, degli Zeri e dei Valori intermedi (*)
• Classificazione punti di discontinuità.

CALCOLO DIFFERENZIALE:

• Def. derivata Prima e Seconda, retta tg ai grafici di funzione
• Derivate di funzioni elementari.
• Derivate implicite coi limiti Dimostrazione (*)
• Teorema di Fermat (*) Punti stazionari
• Test di Lagrange (*) test di monotonia
• Teorema di De l'Hospital (*), esempi
• Definizioni di convessità e concavità limite della derivata prima
• Def. flesso
• Formula di Mac Laurin con resto di Peano.
• Sviluppi di ^{e x}, log(1+x), f(x) ^±, sen(x), cos(x), arc tg(x), cos, u(x), sen(u(x))

Integrale di funzione:

• Definizione di integrale e significato geometrico
• Integrabilità di funzioni continue
• Proprietà dell'integrale: additività, linearità, monotonia, positività
• Teorema media integrale: (*)
• Teorema fondamentale integrale (*)
• Formula per calcolo di integrali definiti (*)
• Integrazione per parti (*)
• Criteri del confronto e del confronto Asintotico (Non visti a lezione)
• Esempi di criterio di sostituzione

Ripasso

Definizione di funzione:

Detti 2 insiemi A, B, una funzione f, di Dominio A e Codominio B è quellesa legge che associa a ogni valore di a uno e uno solo valore di b.

f: A → B

Seno iperbolico (x):

y = sinh x = (e^x - e^-x)/2

• Continua e derivabile in ℝ
• Derivate: cosh(x)
• Funzione dispari
• Sviluppo di Taylor:

sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! + σ(x⁷)

lim sinh(x) = ±∞

x → ±∞

Dominio: (-∞, +∞)

Coseno iperbolico (x):

y = cosh(x) = (e^x + e^-x)/2

• Continua e derivabile in ℝ
• Derivato: senh(x)
• Integrale: senh(x) + ʃ
• Sviluppo di Taylor:

cosh(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! + x⁸/8! + σ(x⁸)

limite notevole:

1. lim_{x → 0} (cosh(x) - 1)/x² = 1/2
2. lim_{x → ±∞} cosh(x) = ±∞

Dominio: (-∞, +∞)

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Polinomio di Taylor:

Tu. di Taylor col Resto di Peano:

Sia \( f : (a, b) \to \mathbb{R} \) derivabile n volte in \( x_0 \in (a, b) \) allora:

Si dice Polinomio di Taylor il seguente:

\( f(x) = T_n x + o(x - x_0)^n \)

Gli sviluppi di McLaurin sono sviluppi di Taylor calcolati in x=0

\( f(x) = f(x^0) + f'(x_0) x + \frac{f''(x_0) x^2}{2!} + \frac{f'''(x_0) x^3}{3!} + \frac{f^{IV}(x_0) x^4}{4!} + o(x^4) \)

\( f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \frac{f''(x_0) (x - x_0)^2}{2!} + \frac{f'''(x_0) (x - x_0)^3}{3!} + o(x^3) \)

Risoluzione integrali:

Es:

• \( \int \frac{-1}{x^2 + 2x + 4} \, dx \)
• \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 4 - 1 + 1} \, dx \)
• \( \int \frac{1}{(x^2 + 2x + 1) + 3} \, dx = \int \frac{1}{(x + 1)^2 + 3} \, dx \)
• Applicando la 1.1
• \( \frac{1}{\sqrt{3}} \arctg \left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right) + c \)

Usare il completamento di quadrati:

\( x^2 + 2x + ? \) \((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)

a = x

2ab = 2x \(\to\) a = b = x

Se a = x allora b = 1

\((a + b)^2 = (x + 1)^2\)

Quindi all’integrale aggiungo e sottraggo b

\( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 4} \, dx = \arctg \, x \)

• 1.1 \( \int \frac{-1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctg \left( \frac{x}{a} \right) + c \)

Con Sostituzione sarebbe uscito?

• \( \int \frac{1}{(x + 1)^2 + 3} \, dx \)
• t = x + 1
• x = t - 1 \; dx = dt
• No perché c'è il \( +3 \) al posto del \( +1 \)

Dimostrazioni Analisi I

Tu. di Fermat

Sia f D(f) ⊃ ℝ². Se x_o ∈ Df ed è un punto estremante di fallora Necessariamente

f'(x_o) = ∅ (se è derivabile in x_o)

Dimostrazione:

Per ipotesi è derivabile, quindi: lim x→x_o⁺ f'(x) = lim x→x_o f(x)

Dimostriamo secondo x_o è un punto di massimo relativo.

Quindi f(x_o) = M → f(x_o+u) - f(x) ≤ ∅

Dividiamo tutto per u:

f(x_o+u) - f(x) / u ≤ ∅

Se u > 0

{ f(x_o+u) - f(x_o) / u ≤ ∅

Se u < 0

{ f(x_o+u) - f(x) / u ≥ 0

Sono rispettivamente:

lim x→x_o⁺lim x→x_o

E per l'ipotesi iniziale devono essere uguali:

f(x_o+u) - f(x) / u ≤ 0 = f(x_o+(4u)) - f(x_o) / +u ≥ 0

Per il lim di f(x_o+u) - f(x_o) / u → 0= f'(x_o) = ∅ C.V.D