Didattica della matematica

LEZIONE 1

L’immagine della matematica nell’opinione comune

-univocità, rigore

-libertà, creatività

-una questione di predestinazione

L’importanza dell’educazione matematica

Secondo le Indicazioni nazionali la matematica ha:

-valenza strumentale: dà strumenti di spiegazione dei fenomeni nel mondo e anche

un valore etico (gioco d’azzardo). Interpretazione e comprensione della realtà e

à

previsione di eventi;

-valore formativo: le conoscenze matematiche contribuiscono ala formazione

culturale, allo sviluppo del pensiero (immaginazione, progettazione, ipotesi e

deduzione, controllo) Consapevolezza e capacità critica;

à

-valore culturale: le conoscenze scientifiche sono, al pari di quelle delle arti e delle

lettere, prodotti non statici della cultura umana matematica come

àattività

espressione di cultura e valori.

Le Indicazioni insistono su due rischi da evitare:

-frammentazione del sapere: manca l’idea di matematica integrata con le altre

discipline;

-impostazione didattica trasmissiva: il modello trasmissivo ha dominato in

matematica.

Quali sono le attività tipiche della matematica?

Fare esercizi, risolvere problemi, fare calcoli… MA ANCHE collegare conoscenze, fare

ipotesi, argomentare strategie.

Il laboratorio di matematica

In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il

laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo,

formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta,

discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere i dati, negozia e

costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la

costruzione delle conoscenze personali e collettive

L’ insegnamento è costruttivo, cioè lo studente non riceve passivamente la

conoscenza ma la costruisce, non è un contenitore ma un attore.

Inoltre l’apprendimento avviene nel contesto sociale, dove i significati si negoziano e

le proprie opinioni si argomentano.

E’ importante l’accento sui significati matematici: spesso quando ci si trova di fronte

alla complessità si cerca una scorciatoia che è quella di imparare procedure, ma esse

vanno sempre motivate alla costruzione di significati matematici. Il laboratori

comprende l’uso di strumenti e le interazioni tra le persone.

E’ anche un modello metodologico meta, cioè qualcosa che lavora sul modo di

lavorare che abbiamo.

Dalla trasmissione del sapere alla costruzione del sapere.

Lo studente deve essere protagonista e responsabile del proprio apprendimento,

deve rendersi conto del proprio coinvolgimento nell’apprendimento.

Il paradigma teorico: il costruttivismo sociale

L’apprendimento avviene per progressiva costruzione di conoscenze, di cui lo

studente è protagonista e responsabile.

L’apprendimento avviene nel contesto sociale: l’interazione tra pari è un processo

essenziale alla costruzione e alla interiorizzazione dei significati matematici.

Si afferma negli anni ‘80 e si basa sui lavori di Vygotsky. Tale impostazione si oppone

alla concezione tradizione di insegnamento come trasmissione di conoscenza, al

comportamentismo ma anche al costruttivismo radicale di Piget.

L’obiettivo dell’insegnante per il costruttivismo è ottenere dai propri studenti

risposte corrette. Lo studente va ricompensato se fa bene, logica stimolo-risposta.

Focus su obiettivi e performance misurabili.

Il costruttivismo radicale si basa sulla filosofia secondo cui ogni conoscenza deve

essere frutto di costruzione, ha un carattere convenzionale. Inaccessibilità della

verità. Conoscenza come progressivo adattamento all’ambiente.

Nel costruttivismo sociale la conoscenza va costruita ma è fondamentale

l’interazione con l’altro. (Vygotsky).

Insegnamento/apprendimento centrato sullo studente

Negli anni ‘90 si verifica lo spostamento dell’insegnamento centrato sull’insegnante

a uno spostato sull’alunno. Il triangolo didattico è un modello introdotto da

Chevallard in didattica della matematica. Secondo lui il sapere, l’alunno e

l’insegnante sono elementi dinamici, evolvono sia nella caratterizzazione singolare

sia nelle reciproche relazioni.

Teoria della trasposizione didattica

Il sapere sapiente è il sapere che esce dalle università. Il sapere del ricercatore è

inizialmente personale, ma poi viene depersonalizzato e comunicato alla comunità

scientifica. Esso si relaziona al processo di insegnamento con una doppia

trasposizione: una compete a chi fa i documenti ministeriali che scelgono quali parti

del sapere sapiente è da insegnare. L’insegnante se lo ritrova passivamente.

L’insegnante entra nella trasposizione che fa passare dal sapere da insegnare al

sapere insegnato. Lei lo personalizza in base al contesto.

L’insegnante: interviene nella trasposizione nel passaggio dal sapere da insegnare al

sapere insegnato, ripersonalizzando e ricontestualizzando il sapere da insegnare.

L’allievo deve assumersi la responsabilità del proprio apprendimento, sentirsi

coinvolto, relazionarsi col sapere grazie all’aiuto dell’insegnante ma facendo in

modo che non ci sia più bisogno dell’insegnante, allo scopo di creare una relazione

autonoma con il sapere. In questo senso il sapere deve essere ridespersonalizzato e

ridecontestualizzato dallo studente.

Il sistema didattico deve permettere di passare da uno stato iniziale chiamato

didattico a uno stato finale chiamato non didattico.

L’insegnante intrattiene un rapporto col sapere e l’alunno non ha relazione col

sapere o ha con esso una relazione inadeguata. Dallo stato didattico il processo

insegnamento/apprendimento deve far passare allo stato non didattico in cui lo

studente intrattiene col sapere una relazione autonoma, personalizzata.

Il sistema didattico deve operare per la sua stessa dissoluzione affinché non ci sia

più necessità della presenza dell’insegnante come mediatore culturale e

rappresentante del sapere.

Lo studente deve essere e sentirsi investito della responsabilità del proprio

apprendimento devoluzione.

à

Per un apprendimento significativo è importante far percepire allo studente la

necessità intellettuale della conoscenza e in particolare dell’introduzione di specifici

concetti matematici per risolvere problemi apprendimento per problemi;

à

problemi autentici, contesti significativi.

La costruzione di nuovi concetti dovrebbe ancorarsi a quello che gli studenti

conoscono cioè i campi di esperienza (ambiti specifici dell’esperienza culturale

dell’uomo riconosciuti come omogenei e unitari).

Tra le tipologie:

-campi d’esperienza extramatematici fortemente matematizzati : per la formazione

del concetto scientifico a partire dal concetto ingenuo e spontaneo dello studente

(tempo, scambi economici, rappresentazione spazaiale)

-extramatematici e poco matematizzati (ombre, scommesse, gioco d’azzardo) utili

per modellizzazione cioè costruzione di terminologie, concetti matematici per

comprendere e spiegare la realtà

-intramatematici (esplorazione di regolarità, giochi numerici)

Contratto didattico

Nonostante la devoluzione, spesso gli studenti di fronte a un‘attività matematica si

comportano in modo stereotipato, impegnandosi a soddisfare le aspettative

dell’insegnante. Il contratto didattico è un aspetto implicito dell’insegnamento/

apprendimento, che però ha una grande influenza sulle dinamiche del processo

educativo. E’ un insieme di abitudini che l’insegnante ha e lo studente si aspetta e

viceversa. Il contratto didattico porta alla sospensione di senso.

LEZIONE 2

L’argomentazione: i bambini devono essere stimolati sin dalla scuola dell’infanzia a

spiegare fenomeni, giustificare strategie, sostenere il proprio punto di vista. Ha

conseguenze trasversali come le competenze di cittadinanza:

-spirito critico

-consapevolezza

-capacità di interpretare situazioni reali e informazioni

Se i bambini si abituano a sostenere le proprie tesi, l’errore non è visto come

qualcosa da evitare e dove ognuno può mostrarsi per quello che è. Si forma quindi

una cultura di classe. In antitesi contro l’idea diffusa che in matematica non si parli

ma si fa. Invece così si dà importanza al processo più che al prodotto.

La discussione matematica

Le competenze argomentative possono e devono essere sviluppate attraverso

attività di classe orchestrate dal docente. La discussione matematica svolge un ruolo

essenziale nella costruzione delle competenze argomentative degli allievi

E’ una polifonia di voci articolate su un oggetto matematico che costituisce un

motivo dell’insegnamento/apprendimento.

E’ un momento nel quale il docente non solo colloquia con gli studenti e cerca di

portarli al suo obiettivo ma anche un momento che coinvolge l’insegnante in tutte le

fasi dell’azione didattica perché va progettata, condotta in azione e va analizzata a

posteriori. Le voci sono delle posizioni che vengono prese e quindi due persone

possono avere la stessa voce se hanno posizione simile.

Il laboratorio di matematica

Il laboratorio di matematica si presenta come una serie di indicazioni metodologiche

trasversali basate anche sull’uso di strumenti tecnologici e non, ma principalmente

finalizzate alla costruzione di significati matematici. La costruzione di significati, nel

laboratorio di matematica, è strettamente legata, da una parte all’uso di strumento

utilizzati nelle varie attività, dall’altra, alle interazioni tra le persone che si

sviluppano durante l’esercizio di tali attività.

Laboratorio di matematica: artefatti e strumenti.

Nel laboratorio di matematica si utilizzano artefatti cioè oggetti reali o virtuali che il

docente sceglie come mediatori didattici (elementi che si pongono tra l’allievo e il

sapere ma anche tra allievo e insegnante e che consentono di attraversare tra più

prospettive lo spazio tra soggetto che apprende e oggetto da apprendere o

sperimentare).

Il docente chiede di realizzare il compito con quell’artefatto. Es. tracciare una

circonferenza utilizzando il compasso.

Si sviluppano così gli schemi di utilizzo cioè modalità di utilizzo di quell’artefatto,

legate all’artefatto ma anche al compito.

L’insieme di artefatto e schema d’uso costituisce lo strumento. Gli allievi producono

dei segni, cioè manifestazioni che esprimono gli schemi d’uso. I segni evolvono.

Chiamiamo potenziale semiotico le relazioni tra artefatto, compito, sapere

matematico in gioco e schemi d’uso. Nel progettare l’impiego di un artefatto per

un’attività matematica, il docente deve analizzare a priori il potenziale semiotico.

I segni: il docente propone un compito e gli allievi producono dei segni a cui le

autrici aggiungono l’aggettivo situati. Significa che in questi segni ritroviamo la

natura dell’artefatto, cioè gli studenti fanno riferimento all’azione che hanno fatto.

La volontà del docente è far evolvere questi segni situati in segni matematici quindi

trasformare un’esperienza in una cultura condivisa. Es passa dall’esperienza del

misurare il banco col quaderno al concetto di misura quindi di quante volte il

campione è nell’oggetto da misurare. Questo passaggio deve essere guidato dal

docente e ha diversi step. I segni matematici non sono ancorati all’esperienza ma

accettati dalla cultura matematica. Es. il concetto di misura. L’allievo all’inizio

dell’azione intrattiene una relazione inadeguata col sapere e occorre passare verso

la cultura attraverso l’aiuto del docente.

Consapevolezza del docente: deve essere consapevole dell’artefatto e del compito

che assegna.

L’attività matematica avviene secondo cicli didattici. Si comincia con l’artefatto:

1.Gli studenti da soli o a coppie lavorano con l’artefatto per il compito assegnato.

2.Questo lavoro porta gli studenti a produrre dei segni. Es. se lavora da solo mi

aspetto che faccia segni grafici dove arriva il quaderno, se lavorano a coppie mi

aspetto anche segni verbali cioè loro che discutono su come misurare.

3.La produzione di segni deve evolvere verso una discussione collettiva: il docente

permette agli studenti di discutere collettivamente.

L’insegnante assegna un compito, chiede di agire con l’artefatto, analizza le

produzioni, interagisce con essi per farli passare dalla produzione di segni situati a

segni matematici possibilmente in modo collettivo, promuove discussioni

matematiche per validare collettivamente i significati matematici emersi.

Indicazioni nazionali

Impostazioni metodologiche: valorizzare l’esperienza e la conoscenza degli allievi

(campi d’esperienza), promuovere apprendimento cooperativo, favorire

l’esplorazione e la scoperta, attuare interventi adeguati alla diversità, realizzare

percorsi in forma di laboratorio, favorire lo sviluppo della consapevolezza e la

significatività degli apprendimenti.

Focus sul legame tra il pensare e fare.

Divise per nuclei tematici:

-numero,

-spazio e figure,

-relazioni, dati e previsioni

I sensi del numero:

-cardinale identifica la numerosità di un certo insieme

à

-ordinale la posizione di un oggetto in un ordinamento

àindica

-valore indica il valore convenzionale di un oggetto rispetto a un altro

à

-etichetta identifica un oggetto, un animale, una persona

à

-misura identifica quante volte una grandezza è contenuta in un’altra

à

Già dalla scuola dell’infanzia i bambini contano. Spesso sanno la sequenza dei

numeri, conoscono le parole-numero. L’insegnante deve portare i bambini a passare

dalle parole-numero ai concetti- numero.

Principio fondamentaleà necessità di coordinare due processi nella conta: la

ripartizione (suddivisione progressiva degli oggetti già contati da quelli ancora da

contare) e l’etichettamento (associare un’etichetta cioè indicatori diversi agli oggetti

che si contano).

Gli studenti devono integrare:

-la sequenza numerica: stringa di parole “unoduetrequattro”, tipicamente parte

sempre da uno, non è divisa in parole e concetti diversi

-corrispondenza uno a uno: associazione coordinata tra parole-numero e oggetti

contati. Si chiama anche corrispondenza biunivoca tra due insiemi che hanno lo

stesso numero di oggetti.

-il senso cardinale del numero: è l’ultimo valore che si nomina quando si contano gli

oggetti di una collezione. Rappresenta la numerosità della collezione. Dal punto di

vista matematico il numero è la caratteristica comune di insieme equipotenti.

Quando contiamo coordiniamo l’approccio ricorsivo (dinamico) e approccio

cardinale (statico).

Attività con il dado per la scuola dell’infanzia: i bambini sono disposti in riga lungo

una parete. Uno alla volta lanciano il dado e contano quanti pallini ci sono sulla

faccia in alto. Poi eseguono tanti passi quant’è il numero di pallini indicato dalla

faccia del dado. Poi eventualmente aiutati dalla maestra scelgono un cartellino

recante il numero ottenuto e se lo attaccano al petto-

Rappresentazione dei numeri nello spazio: a partire dalla precedente attività si può

introdurre la linea dei numeri. Come introduciamo lo zero? La posizione dei bimbi

che non hanno lanciato il dado ad esempio. La linea dei numeri è un artefatto

culturale cioè un mediatore didattico prodotto e rinforzato da pratiche culturali. E’

un utile modello per l’ordinamento dei numeri ma consente inoltre di rappresentare

e dare significato anche alle operazioni aritmetiche.

LEZIONE 3

Numeri e algoritmi

La linea dei numeri:

-da costruire (corda, scotch, sul quaderno, in palestra)

-già data e con cui lavorare

-per rappresentare (collocare le frazioni con stesso denominatore)

-per operare (svolgere addizioni, sottrazioni)

-per confrontare (confrontare la lunghezza di due oggetti)

-per scoprire proprietà

-linea dei numeri modificata

-schema additivo/schema moltiplicativo

-linea dei numeri e sue analogie (linea del tempo)

Quale consapevolezza serve al docente? consapevolezza didattica:

à

-delle possibili difficoltà degli studenti;

-dell’uso di mediatori o concetti (perché nel mediatore ci sono elementi ulteriori

rispetto a quello che voglio veicola