Determinante

IL DETERMINANTE

IL DETERMINANTE È DEFINITO SOLO SULLE MATRICI QUADRATE

DEFINIZIONE

Il DETERMINANTE di A = det A = ad - bc

Se nel caso di matrice 1×1 A = [a] è elemento: in questo caso, se A = [a] => DET(A)=a

PROPRIETÀ

1. det A^T = det A A^T = ^{[a   c]}_{[b   d]}

2. Scambiando due righe di A, o due colonne di A, il determinante CAMBIA SEGNO.

   Es.:

   Scambiando le righe di A, otteniamo B = _{[c   d]}^{[a   b]}

3. Moltiplicando una riga o una colonna per un numero, il determinante viene moltiplicato per lo stesso numero.

   Es.:

4. Aggiungendo ad una riga/colonna un multiplo di un'altra riga/colonna il determinante NON cambia.

   Es.: Aggiungiamo alla prima colonna un multiplo della seconda

5. Il determinante di una matrice triangolare superiore è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale.

   Es.:

Interpretazione Geometrica del Determinante

A =

• a c
• b d

A₁ =

• a
• b

A₂ =

• c
• d

det A = Area (P)

Il segno si determina percorrendo il bordo di P partendo dal vertice lungo il vettore A₁.

• Se il bordo è percorso in senso
  • Antiorario => det A > 0
  • Orario => det A ≤ 0

I determinanti di matrice 2×2 sono Aree Orientate

Esempi Particolari

A =

• 2 0
• h w

A₁ =

• 2
• h

A₂ =

• 0
• w

det(A) = 2·h - w·0 = 2·h

Vogliamo dare una formula per l'area (orientata) di un POLIGONO ARBITRARIO conoscendo le coordinate dei vertici.

Notazione

A, B sono vettori colonna (2 elementi), indico con [A, B] la matrice 2×2 con colonna A, B

Es:

• A =
  • 4
  • 2
• B =
  • 1
  • 8

• 4 1
• 2 8

Proposizione

Dati: P₀, P₁, ..., P_n i vertici di poligono P in (R² il piano), l'area (orientata) del poligono P è data dalla formula

Area (P) = 1/2 (det [P₀, P₁] + det [P₁, P₂] + det [P₂, P₃] + ... + det [P_n-1, P_n] det [P_n, P₀])

MATLAB: det(A)

Maxima: determinant(A)

3)

x y 1

x₁ y₁ 1

x₂ y₂ 1

= 0

Sostituendo le coordinate di P₂ otteniamo:

| x y 1 |

| x₂ y₂ 1 | = 0

| x₂ y₂ 1 |

(perché ci sono due righe uguali ( r₁ = r₃ ))

(sottraiamo r₃ = r₄, ottengo una riga di tutti zeri)

Una formula analoga vale nello spazio: se P_i (x_i, y_i, z_i) i = 1, 2, 3 sono 3 punti non allineati

un'equazione del piano passante per P₁, P₂, P₃ e

| x y z 1 |

| x₁ y₁ z₁ 1 |

| x₂ y₂ z₂ 1 | = 0

| x₃ y₃ z₃ 1 |

Nel piano un'equazione della retta, passante per P₁ (x₁, y₁) e //al vettore v (u, v) è:

| x y 1 |

| x₁ y₁ 1 |

| u v 0 |

(gli 1 coefficienti di x, y e z sono le coordinate di un punto)

(gli 0 nullo indicano una direzione)

Esempio

P (4, 2)

v (3, -1)

| x y 1 | | x - 4 y - 2 0 |

| 4 2 1 | = | 4 2 1 |

| 3 -1 0 | | 3 -1 0 |

| x - 4 y - 2 |

| 3 -1 |

= x - 4 + 3 (y - 2) = x + 3y - 10

Equazione: x + 3y - 10 = 0

v (3, 1) // alla retta

u (3, -1) ⊥ (1, 3) => v // u

Nello Spazio

1. Piano per 3 punti (già fatto)
2. Piano per due punti e // ad un vettore
3. Piano per un punto e // a due vettori (indipendenti)

| 1 x 1 | = 0

| 5 2 4 |

| 4 1 2 |

• = 0

| 5 |

| 2 |

| 4 |

• =_> EQUAZIONE DELLA RETA CERCATA

| 3 y - 3 z + 9 |

• det. = 3y - 3z + 9 = 0

| 3 y - 3z + 9 |

• det. = 3y - 3z + 9 = 0

• =_> y - z + 3 = 0

{

x - 1 = 0

y - z + 3 = 0

}

TEOREMA DI BINET

Siano A, B due matrici n x n.

Allora det (AB) = det (A) det (B)

CONSEGUENZA

A è invertibile _=> det (A) ≠ 0

Infatti se 3A^-1 : A A^-1 = I dove I =

| 1 0 0 |

| 0^-1 |

det (I) = 1

=_> det (I) = det (AA^-1) = det (A) det (A^-1)

= det (A) det (A^-1) = 1 _{BINET =>} det (A) ≠ 0

=_> det (A^-1) =

1

det (A)