Determinante e rango

Dimostrazione

Idet's ananIcon Knee nge aecana an penneen amasspasanen acesa ag comingeoggruppoCaDimostrazioneA cutan Fissato iie ncu erv recutun vnAliCai aint council containai rejencustom atiidetca Eoneasa an.pcnpanaceas anpenspEonecpsapsnaz.pca ccupastauipcngig an via anaecpsai.penaz.pe paste'Ionea panaceaupon penacdet cacadet yt.im tiCaDimostracionehaASe duerigheogualidetcatoSiaB la daa scambiamomatriceoitenutale duerighe ogualiB A detaadetchPerla 3 retchdetersdetcadetcandetersadetcato cadetcatoDimostracione 3Be Adase ottenuta di detaindeterscambio righecoconuno colonneASia AciadaBottenuto scambiando con ÉAB bae open tape Siatripe easiesttape onanpen siapips.IE ohegg gge patioG hep'theget senti ii npintpatenteserciciogruppo pain semiG pasEggo gea setsCorollario paspatchABennSiano BAllora BdetcaB detcaldet can uIn AeGin AB B rearresttaintsatBentdetcalto ai tainparticolare se antsandDimostracione detCABdet tartstSe GinAe AA antsIn B andety.sianan tazza tm g facciamoanapestand

am scambit deglidi cheinmodorighediventi BEII anapas pens ecpsdetf.BEdetcB pas an.pcn detcadetcBEonecpaDeterminantsTeoremaSiaAeMnAllora GinaAe odetainDimostrazioneEl ristogiaEl AGinassurdoper suppongotear lea on linearmentesonorighe dependentFie i inAlka itanti duetanaa aµ µan amMinoriDefinizioneSia Ae ildiAéMm dionminor determinantn ABAciv B detdiA disoltomatriceuna minoreonequadrata x k delordine minoreCorollarioSia AeMmnAllora real kdiext nulloordineminor nonmaxDimostrazionereal xxxto invertibilemax soltomatriceIEEE I axeex non perilteoremanunominore precedentsBSe xxxdiAsoltomatrice AitBe BcadetB di toto ainvertibile associateminore eaCorollarioSia AeMnalloraa Se A ha onulla detcauna colonnarigase Be dica daA detertipo detentottenuta conoperazioniinDimostrazioneSeAhaa nonauna colonnarigaAreason detentinvertible ononCaDimostracione fare A tha odi a o comeSupponiamo

rigneugoalioperacione anthatMB detdiet Iffythai Tinearita InCalcolodeldeterminantCofaitoriDefinizioneSia é detIe diAeryn postociptieisencofaitore complement algebricai tini i nl gc detract inif es t1 too ttoAz 22.171its IDefinizione laAe diaMn écofaitorematriceafca Cai isTeorema diLaplaceSiaAeMnSiai.ie Essaia ndiAllora formula Laplaceait adetcal aai tainin t anjanA i zes Idetcal 2o.aato.azzti.az loonies 1 o1 YIIdea perla didimostrazione LaplaceAli estai tainendetentlinearita ai Yper ftp.t.itaindetg1lemma tinA datcandatesefH BDimostracione Idetcal zan nean anan nn detersecaiai.amEon n pecpsanpcnaz.caEneeplanpaaz panpeas uponpeon bn n npaspasbrainapemen am penian o pen nsepens painse2LemmaSiaAe A iNataleche certiEj Casatit.injeperA 1 ooDimostrazioneA CicniCon siteiticsiteanan nie nscambidirigheIi nnA idetCBA B a amtroviamo detcAl c connjscambiinai portiamoin g gamego1o ngym my inidetBdetail c cB jindef e0 oi jAliBMa matriceAconii nin esimaejesimarigarimosseAijiit i.in j nD

DitidetcBc cdetcaci i Aifit'idetas itpitiaic c detailc B cdet detcali i iiiinin Aiinidetaz critidet dAic Aic c Aic c iDimostracionedelteoremadiloplaceaitdetcal ai tainainle tabastacolonne areus super diDimostracioneA'laneAbbiamo t tainenEasitidet et ina a t taingetIg AinAiai tintainainCorollario diAcalcoloSia A oHenn detainToecapAllora fetchdetoaIn HeGlnparticolareise theA calldefyremaSia V ale sianoevettoriunospazio diVVi vna generatorb vw wmese wmwmon linearmente dipendentisonoDimostracione1 w Wncaso linearmente dipendentisonowmwanche linearmentedipendentisonoperunaproprietaprecedente w waw wmse fossero linearmentesarebberolinearmentedipendenti indipendentiil econtraddicendo casowmw sonolinearmentedipendentinel t it éteorema dimostratocasowna wcaso sonolinearmente indipendentié aca wAllora ownveroa vTeorema wasawwme saierwitawon tannin townum townwit ta tanwné ai wumWm line w wmare linearmentecombinacione sonoProposizione dipendentiitAbbiamo

teorema dimostrato:

Dimostrazione:

Idea da cui si parte è quella di sostituire uno con uno, mantenendo sempre l'uguaglianza.

Si assume che i vettori siano linearmente dipendenti.

Proposizione: nel caso contrario si arriva a una contraddizione.

Si ordina il vettore meno potente per primo.

Supponiamo che i vettori siano linearmente indipendenti.

Dimostrazione per ipotesi:

Si assume che i vettori siano linearmente indipendenti.

Si sostituisce uno con uno, mantenendo sempre l'uguaglianza.

Si arriva a una contraddizione.

Quindi i vettori non possono essere linearmente indipendenti.

wsusaunswsu ust wsa.vstz.vnwwsecwi.ws usavnwsu vstzunsws.wss svwsaecwmy aimostratows.wsa.usn vnvstzecwi.ws.ws usta sIneowws usavnwsu

Nel 2 vaw was awn dipcaso abbiamodimostrato

Corollario

Sia v basidueu vne siano euno wiveltoriale wonspaziodiv man

Allora

Deeinizione

Siav deche unauno veltoriale possiespazio div ilLa aibase

Anita é baseelementdimensioned unaavaisiasinumerose vnu é dimenAnitabaseunavse aimairo ooemooneha hase v so v dimevbase Anita toeoneeinitanon e diremo dimensionnonervavi

Dimostracione vnin w wmeparticolare

Peritteorema semanw wm linearmentedipendenti contraddicionesono wmw w linearmentebasewins e sonoperché indisendentimen

Analogamentevow wms senom contraddicioneenemainnervimmesempi Rina édim ene baseone unaperchesappiamoadim isi en baseiseis emmnMmn eperchesU3 rev dimer o nosespan veltoriale t rtoseRexa aim a teaferox aiMixed gradant Rex ataim xdson exbaseSia ca sistemaun menomogeneoca nai so ersaesi issowzioni sonospaziosia pi diaims da

Gauss-Jordan è un algoritmo utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari. Applichiamo questo algoritmo alla matrice dei coefficienti per ottenere la forma normale di Gauss-Jordan. Poniamo di avere una matrice di dimensione n x n e calcoliamo la matrice inversa come segue: Siano dati i parametri t1, t2, ..., tn e otteniamo la soluzione del sistema di equazioni con questi parametri. Allora un possibile vettore soluzione è dato da xp = (x1, x2, ..., xn). Definiamo una base per lo spazio vettoriale V come un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano V.