Definizioni e teoremi Analisi 2

NO

d e cioè

effettivamente una distanza soddisfa seguenti condizioni

le :

,

d(x y)

1 - x

+

0 = y

= =

, d(y

d(x y) x)vx, Ru

2 - =

y

=

- - d(z

d(x y)vx

y) d(x z) Re

3 - = + z -

y

- ,

, ,

-

DEFINIZIONE 3 - palla aperta di centro x e raggio r -

O Exer Ix-toldm)

Un(to

er2

Dato raggio L'insieme

to to

si intor no

dice circolare e

di

200 e :

=

,

,

DEFINIZIONE 4 - punto interno, esterno, di accumulazione, isolati e di frontiera

-

· Un(to)

7

e CE

si punto

dice

to t

interno se

ad meo c .

. Crute

toertie Un(to)

j

· to si e t

dice punto ed

esterno ad c

eco

se .

.

Faro Jxo Un(to

en

E

· to punto t x

accumulazione

si dice se

di

di c .

.

E e e e f

to

· punto

si punto to

isolato e accumulazione per

dice non

di se di

e L'insieme

· ne

e ne ge

si e

to dice frontiera

punto interno frontiera

non

se

per esterno

di punti con

dei di indica

di si

. 26/02

-

DEFINIZIONE 5 - insieme aperto e chiuso

Ru

Ac

Sia

A A

è A

vuoto

· punti

dice Aperto oppure

si Se tutti

se di interni

i sono di

rela

A è aperto

chiuso

si

· dice se -

TEOREMA 4 - collezione !!!

DIM

NO

La cr aperto)

La è

A e

A r cioe proprietà

una

collezione una

topologia Insiemi

per con

collezione le seguenti

di

= : :

,

R

P A

1 - . A

a

2 - Arbitrarie

Unioni elementi elementi

sono

di di

di

3 A

a

finite

Intersezioni elementi

- elementi sono di

di

di -

DEFINIZIONE 6 - chiusura di E

cr e

Sia E e e e

l'unione

indica

chiusura con punti

di dei

si

la accumulazione

ed e sudi

di di

, -

DEFINIZIONE 7 - successione converge a Ru

* E (*

Si Re se lim

er

*, a

Ker

che

dice successione

una =

converse

in , -

DEFINIZIONE 8 - insieme limitato e compatto

Re

E

Sia c Ixem ExeE

7

si dice Meo

· Se

Limitato T c

. .

è

· Limitato

e

chiuso

compatto

si dice se -

TEOREMA 5 - compatto (Heine-Brel) !!!

DIM

No

Ecr e

è ke he

Xee

compatto estrarre

possibile una *

Se da

se ogni successione

solo

e sottosuccessione i

, f

lim

cioe

e Xkz

convergente Xe

punto x

un

ad =

, h = x

-

DEFINIZIONE 9 - insieme connesso e sconnesso -

Sia cre

a 7 d

And

Ar a

Autz

Al

Al Aquay

Aperti

si dice

aperto sconnesso con

se =

=

, , , ,

/

A è

connesso non

se sconnesso

si dice -

DEFINIZIONE 10 - segmento e insieme convesso 1]}

[* te[0

)

t(k

siano (*

e e ,]

l'insieme + -

segmento

· estr mi te

il di :

te =

y .

2 ,

,

, [ 2] c A

freitaea

cr a

a

sia ha

· che

dice si ,

convesso +

se

si 1

-

TEOREMA 6 - connesso e convesso !!!

No DIM

A a

convesso connesso

aperto =

e

Se la

a

si

met ha aperto c o n n e ss o convesso

che

, -

DEFINIZIONE 11 - limite Vintorno

mu gegy livel n

I

ter le

f

DCru d-d

Sia d di se

dice che

punto al

: sia

accumulazione

di di .

, , VeUg(ro)

Uf(to) f(x) Il

exo

Esiste un intorno + e

ha

con

c si

. .

(linguaggio m

S

E

Traduzione , , =(a-f

ler Vaso 7800

1- caso c

t

: . . . Co

(rod

l= : 1800

Mer

-caso +o t c

. (x

(x +( d

(mro) + f(x)

: -

l -M

7650

3- Mer

caso c

+.

-0 =

=

= . + +

unicità

Valgono l'algebra

Teoremi confronto Limiti

Limite

del

di dei

del

i , , -

DEFINIZIONE 12 - funzione continua

DC RV f

Sia R

D =

: -

, f(x)

lim

f f(x)

foed to

per

1- in

accumulazione continua

punto se

sia d dice

si

di =

. x +p

=

- d

(che

f è

2- in tutti d

tutto punti

continua

continua in di accumulazione

dice se per

si suo di

dominio ,

il d sono

valgono sull'algebra funzione Continue

composte

sulle

Teoremi continue

I funzioni

delle di

e

DEFINIZIONE 13 - luf( -

(FMSO IOM) f le f(x)

DCR I ED lim l

R

SIA SIA e to

INSIEME D diret

ILLIMITATO C

T che =

.

. . . , (x) y 0

+

-

(si

flese

7 f(x

lin

le

l

V e

Ie M

meo se

c ed allora

, scrive

se Intorno anche

di .

ESEMPIO g)

(x (( y))

lim x y x

Noo y

infatti +

fissato studiamo Dunque

-u

+a condizione

+ +,

la

= +

= :

, ,

,

y)

(x = -

-

, e)/sm

se l(x f(x g) en

+ +

N gian

yz m

ALLORA allora

v

Scelto

SE + = i ,

. ,

Il

M =

TEOREMA 7 - proprietà funzioni continue !!!

NO DIM

Rar

f

Sia seguenti

le affermazioni sono equivalenti

: ,

f è

1 continua

-

2- preImmagini Insiemi Aperti

Le Aperti

Insiemi

sono

di

3 Le chiusi

preimmagini insiemi chiusi

di sono

Insiemi

- (x =a)

f (a)

f(a) =m f()

acr

N B se =

= :

. ,

.

TEOREMA 8 - intervallo e teorema degli zeri -

f Re R R

a c

Sia allora

Continua connesso

sia

: :

, .

[f(x) xeaz (quindi intervallo

f(a) e e

convesso

- : un

= (teorema continue

f(x)

f(x)0 7 xyea

f(x)

7 t A

2 allora

so funzioni

desi zeri

e

se delle

+ c

c

+.

+ 0

=

. .

. CAPITOLO 2

DEFINIZIONE 1 - derivata parziale e gradiente -

(T

f A CR a)

R Ea

A

SIA Aperto fissato

x

Sia

: ...

= :

,

.

, ,

[1 why f è

e

1 SIA e punto

rispetto

parziale Variabile X

la t i

derivata alla nel da

di definita

- ,

..... Ax

df(x) +m) f(x f(x)

f(x

h 1

(0

2ei)

+)

Ta +

lim +

lim -

..... -

... . . . . . Ci o

=

= = ....

h

h

dXi h

h = 0

-

= p

- Dif

fri Dif

Se esso

Limite finito

Questo anche

indica

esiste si

, con / , NABLA (d( ...

df(x)

f Vi vettore f(x)

derivabile

2- gradiente

in in

dice se t al

in a esistono dice

si si

1 caso a

w il =

= ..... .

d + i do d(

f è A A

a R 1

Infine +

derivabile punti

derivable = +

tutti I in

se

in

dice funzioni

restano

si di tal le

caso definite

in :

, d + i

f

DEFINIZIONE 2 - f differenziabile - 0(12))

Acr e

f 2) f(x)

f 2

e 1f(x)

A R f(to

tea fi

Sia a si

aperto se

differenziabile vale

decivabile

che

dice seguente espansione

to

in e

in +

la

: to +

: =

+ =

-

, .

,

, h)

0) fla)

Che f) (to

+ h e

+...

(

f(x) 20 f

( l'iperdiano posto

Grafico

se tal tangente nel

in caso

. di

=

... il

= + ...,

, ,

,

ret (x-to) e

f

f(xd è

1f(x) a.

punti

a

l'iperpiano equazione

in differenziabile se

di la

che tutti

in i

de in

si

+ di

= . ,

TEOREMA 1 - calcolo del differenziale totale -

!!!

NO DIM

parziali

f f

a cra è

A-R

Sia i

tota

aperto esistono

a un intorno

derivate

se differenziabile

allora

continue to

1

le in

: sono in

tutte to

in e

di to

m

= ... ,

. ,

, ,

, e

a A.

a

particolare in differenziabile

esse esistono in

continue

in allora

sono

e

se Tutto

tutto ,

, -

TEOREMA 2 - relazione tra differenziabilità e continuità

f f f

e

a cra e

toca

Sia A-R in in

a to

aperto differenziabile

se

: continua

allora to

, .

,

,

DIMOSTRAZIONE - (f(xf(x (x

1)

(lx

A x) ( x)

(x

e f(x)

limf(f col

Xf(x) f(x)

f(x) +

differenziabile per

dimostrare che

sabbiamo xx0

+

.

= =

- ,

, (vf(x))(x

(3f(x) xd)) xo

(x-

lu f(xd (x

=

= =

Basta dimostrare o

che : .

- -

-

-

(1x-tol)

lim e !

ovvio

=

-

a 0

=

t =

- 0

DEFINIZIONE 3 - derivata direzionale - fott-fl

Acr

f Df(thim

nerm

R f

seo

ea

A aperto

sia chiama s

a to al

derivata rispetto

direzionale Limite

vettore nel punto to

si di il

n

: .

, ,

, ,

, t

FINITO

ESSO ESISTE .

TEOREMA 3 - formula del gradiente => =(

mertigoy

e allora

f f(to)

acr-tr

fi (4)

toea =

se differenziabile

sia Da

ha

si

in

aperto

a to w

.

,

,

DIMOSTRAZIONE -

fottf (t f) e

f(x) lim

Dr =

= t

y

f(x)

DEFINIZIONE 4 - , f continua in x, f continua in D, curva e sostegno,

in = S

ipersuperficie -

(fe era

dcr-r Am)

f

f

sia to punto accumulazione per

di d

: = ... ,

, ,

f(x) Vi

f(x)

y er se lu

lim

1- direro che gi

= =

x = x0

- e e

limfa

f fed fi Vi

ovvero

in to

continua

ted continua

2-se se

diremo se to

che = in m

...

,

e

e Vi

fi

f in

3- a

continua

continua

diremo 1

che se

d

in m

= ...

,

e f(d)

e f e

f me

4-sem re

un che immagine sostegno

una

si curva

1 dice

continua chiara

intervallo si

e d curva della

e la

di in sua

= ,

(ed aperto) (parametrica)

e