Costruzione del diagramma del momento-curvatura (semplificato)

La valutazione di tali rotazioni, ed in particolare della parte plastica, è argomento di

estrema importanza per le costruzioni in zona sismica.

Esistono diverse formulazioni che ne consentono la valutazione, dal punto di vista

applicativo e normativo si utilizzano formulazioni semplificate che in genere si

basano sulla definizione di ''lunghezza della cerniera plastica''.

La curvatura di una sezione inflessa o pressoinflessa è immediatamente riconducibile

al diagramma delle deformazioni assiali. Infatti nella sola ipotesi della conservazione

delle sezioni piane, considerando un concio elementare si ottiene quanto

rappresentato in figura (Fig. 1.1).

Le facce opposte del concio di trave ruotano attorno al punto C e la distanza tra C e

l'asse neutro è proprio il raggio di curvatura della sezione, mentre il suo inverso è la

curvatura della sezione.

(Fig. 1.1) Curvatura di una sezione pressoinflessa

Se si assume la lunghezza infinitesima del concio pari a 2, è lecito confondere

deformazioni ed allungamenti. Pag. 3

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Dalla similitudine dei triangoli che la sezione deformata crea si ottiene

immediatamente che: ∆ ∶ = ∶

2

∆ = 1

Essendo per ipotesi si riscrive:

2 1 +

= = =

−

Il raggio di curvatura r si definisce anche retta delle deformazioni.

In pratica la curvatura della sezione rappresenta la pendenza del diagramma delle

deformazioni della sezione.

Per esempio in condizione ultime la crisi della sezione avverrà sicuramente a causa

del raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo compresso, in quanto

la capacità di deformazione nell'acciaio è molto elevata e pertanto non può essere

raggiunta prima di quella del calcestruzzo. Pag. 4

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2 CALCOLO DEL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA

SEMPLIFICATO PER SEZIONI INFLESSE

Si considera una sezione rettangolare inflessa.

Il diagramma momento curvatura si può costruire in modo eccellente studiando la

sezione in due condizioni: all’innesco dello snervamento dell’acciaio e allo stato

limite ultimo per collasso del calcestruzzo a compressione.

Si inizia con lo studio della condizione ultima, ossia quando il calcestruzzo ha

raggiunto il limite a compressione. Da questa analisi si ricaverà il momento resistente

della sezione e si ipotizzerà che sia la stessa resistenza offerta dalla sezione

all’innesco dello snervamento.

CONDIZIONE ULTIMA PER IL CALCESTRUZZO

La curvatura ultima della sezione si ricava attraverso la seguente relazione:

1 1

= ( ) = = 0,8

− ′

ω

Dove è la percentuale meccanica di armatura in zona tesa:

=

ω’

e è la percentuale meccanica di armatura in zona compressa:

′

′ =

Per definire il momento resistente si usa la relazione semplificata:

= 0,9

( )

;

Si ottiene così la coppia di valori Pag. 5

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INIZIO DELLO SNERVAMENTO

Nel caso degli elementi inflessi la curvatura allo snervamento si può ricavare con la

seguente relazione:

1

= ( ) = ≅ 1,4

−

= 1,86‰

Dove è la deformazione a cui corrisponde lo snervamento dell’acciaio

sul legame elasto-plastico e rappresenta la posizione dell’asse neutro della sezione

≅ 0,25

inflessa in condizioni elastiche. Poiché si definisce la formula

semplificata per il calcolo della curvatura allo snervamento.

Inoltre si fa l’ipotesi che all’innesco dello snervamento dell’acciaio la sezione abbia

raggiunto il momento resistente valutato per la condizione allo stato limite ultimo.

( ; )

Quindi si ottiene la coppia di valori

Si osserva che l'armatura compressa influisce poco sulla resistenza, mentre interviene

molto sulla duttilità. Infatti la Normativa Italiana per la zona sismica impone una

percentuale di armatura compressa pari al 50% di quella tesa nelle zone critiche e al

25% in tutte le altre zone.

I risultati di laboratorio di parecchi sperimentatori hanno permesso di definire un

insieme di regole progettuali che permettono di conferire duttilità alle sezioni in c.a.:

o Per una sezione rettangolare, la duttilità aumenta al crescere della resistenza del

dell’acciaio

calcestruzzo e diminuisce al crescere della tensione di snervamento

(e questo di solito non è correttamente valutato);

o Per una sezione rettangolare diminuisce al crescere della percentuale di armatura

tesa e aumenta al crescere della percentuale di armatura compressa;

dell’area delle ali;

o Per una sezione a T aumenta al crescere

o Per una sezione rettangolare soggetta a sforzo normale costante diminuisce al

crescere dello sforzo normale stesso;

o Per una sezione inflessa aumenta se si infittiscono adeguatamente le staffe. Pag. 6

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–

Per una sezione semplicemente inflessa, il diagramma momento curvatura è lineare

nel tratto iniziale e la relazione tra il momento M e la curvatura è data dalla

= ∙

classica equazione elastica dove EI è la rigidezza a flessione della

sezione. Con l’incremento del momento, la fessurazione del conglomerato riduce la

rigidezza flessionale e conseguentemente la pendenza del diagramma, fino allo

snervamento dell’acciaio. Quando l’acciaio snerva, si nota un elevato incremento di

curvatura a momento flettente pressoché costante. In sezioni fortemente armate lo

snervamento dell’acciaio è preceduto da elevate deformazioni anelastiche del

calcestruzzo ed il cedimento è fragile, tranne nel caso in cui il nucleo non sia

confinato da adeguata staffatura.

Per assicurare un comportamento duttile, vengono usate per le travi quantità di

acciaio minori di quelle corrispondenti ad una “rottura bilanciata”, in cui la crisi è

provocata contemporaneamente dallo schiacciamento del calcestruzzo e dallo

snervamento dell’acciaio teso. in cui l’acciaio teso giunge a snervamento può

La relazione momento-curvatura

essere idealizzata con una trilatera (Fig. 2.1 a), però è sufficientemente accurato

Infatti, l’idealizzazione

rappresentare la curva anche con una bilatera (Fig. 2.2 b).

trilineare meglio rappresenta l’effettivo comportamento della sezione nel suo primo

−

caricamento, ma, una volta che la fessurazione si è stabilizzata, la relazione è

approssimativamente lineare fino all’inizio dello snervamento. Dunque, le relazioni

bilineari sono idonee a rappresentare travi già fessurate.

(Fig. 2.2) relazione momento-curvatura trilineare (a) e bilineare (b). Pag. 7

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Il diagramma bilineare descrive eccellentemente la legge di variazione del momento

in funzione della curvatura. Inoltre essendo costituito da due rette risulta immediato

operare in modo semplificato per ottenere tale diagramma.

Infatti con l’ausilio di tre punti noti è possibile diagrammare la relazione momento-

curvatura ottenendo così un diagramma seppur semplificato ma che descriva bene il

reale comportamento della sezione.

I punti di interesse sono:

L’origine

o degli assi;

o Il gomito del diagramma, che corrisponde al contemporaneo snervamento delle

armature tese e c compresse. Il punto è stato ricavato in precedenza è

( ; );

corrisponde a ,

L’ultimo

o punto che corrisponde allo stato limite ultimo per il calcestruzzo, di

( ; ).

coordinate ,

La duttilità della sezione risulta:

=

1/

Pag. 8

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3 CALCOLO DEL DIAGRAMMA MOMENTO CURVATURA

SEMPLIFICATO PER SEZIONI PRESSOINFLESSE

Si considera una sezione rettangolare pressoinflessa con doppia armatura simmetrica.

Anche in questo caso il diagramma momento curvatura si costruisce studiando la

sezione in due condizioni: all’innesco dello snervamento dell’acciaio e allo stato

limite ultimo per collasso del calcestruzzo a compressione.

Si inizia con lo studio della condizione ultima, ossia quando il calcestruzzo ha

raggiunto il limite a compressione. Da questa analisi si ricaverà il momento resistente

della sezione e si ipotizzerà che sia lo stessa resistenza offerta dalla sezione

all’innesco dello snervamento.

CONDIZIONE ULTIMA PER IL CALCESTRUZZO

La curvatura ultima della sezione si ricava attraverso la seguente relazione:

1

= ( ) = = 0,8

∙

Il termine indica lo sforzo normale adimensionalizzato, rispetto alla tensione di

calcolo del calcestruzzo e alle dimensioni della sezione.

=

Si calcola ora il momento resistente della sezione pressoinflessa.

L’equilibrio alla traslazione impone: ′

− + + =

′ ′

 = ∙

 = ∙

 = ∙ ∙ ∙ ∙

1 Pag. 9

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Poiché si sta valutando la condizione ultima per il calcestruzzo si deve ipotizzare che

ambedue le armature siano snervate (Fig. 3.1).

(Fig. 3.1) sezione nella condizione ultima per il calcestruzzo.

Quest’ ipotesi conduce a riscrivere: =

∙ ∙ ∙ ∙ =

1

=

∙

∙

=

∙

1

= 0,810

1

= 0,85

A questo punto occorre calcolare il momento resistente della sezione attraverso

alla

l’equilibrio rotazione attorno al baricentro della sezione pressoinflessa:

′′ ′′

ℎ ℎ

′

∙ + ∙ + ∙ ( − ∙ ) =

2

2 2 2

= 0,416

2

( )

;

Si è ottiene così la coppia di valori Pag. 10

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