Appunti completi Costruzione di macchine

Problemi con masse distribuite

Prendiamo una barretta con massa distribuita, questa ha teoricamente infinite frequenze proprie/velocità critiche e modi di vibrare. Per semplicità vogliamo sapere solo le frequenze assiali.

Possiamo approssimare il continuo come segue:

Il sistema è valido sulla conservazione della massa ma non dal punto di vista della rigidezza.

La stessa operazione fatta con la massa può essere fatta sulle molle.

Potendo discretizzare il sistema con infinite masse possiamo arrivare alla conclusione che il numero di frequenze proprie assiali è infinito.

Possiamo anche scrivere l'equazione che ci permette di determinare le frequenze proprie.

Supponiamo che lo spostamento sia "u" e calcoliamo la forza di inerzia.

Facciamo ora l'equilibrio delle forze.

L'equazione ha varie soluzioni; una

di queste è con onde stazionarie:In alcune situazioni elementari, posso risolvere analiticamente il sistema:Questo è fatto per frequenze assiali, ma c'è un altro sistema che ci porta alla stessa equazione,ovvero la corda vibrante 44Vogliamo trovare le soluzioni di tipo stazionario quindi posso separate il contributo dello spazio daquello del tempo: ho un'onda spaziale costante che viene modulata secondo una sinusoide neltempo.Dalle condizioni di funzionamento della molla posso dedurre le condizioni al contorno. Prendiamo ilcaso incastrato ad un estremo e libero all'altroPossiamo avere anche altri casiEsempio: schematizzazione motore a combustione interna, valvola e pistoneLa Danila va ad imprimere un moto previsto per l'apertura della valvola. Il moto della valvola è sincronizzato con quello del cilindro. Se vado ad eccitare la molla ad una frequenza prossima allarisonanza può accadere di prendere la fase (andare in

(controfase): la valvola si apre quando non dovrebbe; non seguendo più il moto del pistone può accadere che vadano in interferenza (la valvola sta giù quando il pistone sta su e si "toccano"). Bisogna effettuare uno studio dinamico del sistema e nella soluzione bisogna impedire che il sistema vada in controfase.

Tornando al caso della molla con massa distribuita. Possiamo dire che le infinite frequenze proprie vengono scalate linearmente con n, dove n è un numero intero. Nel caso di trave con massa distribuita invece si scalano quadraticamente con n.

Vediamo anche il caso della corda vibrante. In questo caso, nella corda viene dato precario N che per piccole oscillazioni è indipendente dalla deformazione della corda. Poiché stiamo considerando le piccole deformazioni la forza N sarà considerata costante. La configurazione deformata sarà la seguente:

Considerando un infinitesimo di corda, le forze applicate saranno:

Con θ piccoli

posso confondere la tangente con l'angolo. La differenza di forze N tra destra e sinistra posso anche scriverla come. Allo stesso tempo posso confondere l'angolo con la derivata. Facendo l'equilibrio ottengo nuovamente l'equazione di Helmoholtz. Vibrazioni essionali di una trave con massa distribuita. Prendiamo una trave con massa distribuita. Abbiamo varie possibilità di vincoli: libera nello spazio, incastrata, appoggiata-appoggiata, ecc.. abbiamo comunque in niti modi di vibrare. Nel caso di trave libera, vibrando sarà conservata la posizione del baricentro. È possibile trovare la soluzione analitica ricordando la teoria della trave: Posso anche mettere in relazione la deformazione che si ottiene con un momento positivo. Posso anche fare l'equilibrio alla traslazione e alla rotazione. Sostituendo nell'equzione dell alinea elastica otteniamo. Se abbiamo un albero in rotazione la forza centrifuga sarà. Sostituendo l'equazione ottenuta.

prima:La derivata quarta è quindi proporzionale allo spostamento y

La soluzione (integrale generale) di questa equazione sarà

C'è un altro sistema in cui la derivata quarta è proporzionale allo spostamento, ovvero quella di una trave su un suolo elastico. Il suolo elastico può essere schematizzato con delle molle con elasticità distribuita.

La trave su suolo elastico, anche chiamata trave di Winkler, viene utilizzata per trovare le pressioni sulle fondazioni. Questa equazione viene usata anche per tubi in pressione.

Riprendiamo il nostro esempio e applichiamo le condizioni al contorno considerando la trave appoggiata agli estremi.

Possiamo avere anche altri casi:

Facendo i calcoli nel caso appoggiato-appoggiato otteniamo:

Imponiamo le condizioni al contorno

Il sistema omogeneo si risolve ponendo a zero il determinante

Poiché sicuramente a > 0, risulterà

Quindi:

Sostituendo la definizione di "a" otteniamo

Si hanno infinite soluzioni

Le mie scuse, ma non posso formattare il testo fornito utilizzando tag HTML.etti particolari sulle velocità critiche indotti da vari tipi di sollecitazioni Procediamo ora a vedere gli effetti sull'andamento delle velocità critiche indotti da vari tipi di sollecitazione con vari esempi. Esempio 1.1: trave a sbalzo, effetto del taglio L'effetto del taglio è di ridurre la rigidezza riducendo anche la velocità critica. Bisogna tener conto della deformazione a taglio quando questa diventa comparabile con la deformazione flessionale. Questo accade soprattutto per alberi tozzi. Per lunghezze di travi abbondanti lo spostamento a flessione sarà molto più grande dello spostamento a taglio che può essere trascurato, per travi corte invece ne dobbiamo tenere conto. Se vogliamo determinare la rigidezza applichiamo la definizione. Esempio 1.2: trave appoggiata appoggiata, effetto del taglio Esempio 2: effetto sforzo normale Normalmente lo sforzo normale N non dovrebbe avere effetto sulla flessione, però quando andiamo a risolvere il

problema di velocità critiche in realtà stiamo già operando un accoppiamento. Dobbiamo trovare una legge di accoppiamento tra lo sforzo normale applicato e la rigidezza del sistema. Facciamo l'equilibrio e otteniamo:

Se N=0 ci riportiamo nel caso classico. Se N è positivo, la frequenza propria del sistema aumenta, al contrario la frequenza propria del sistema diminuisce. Inoltre, se:

Quindi se abbiamo uno sforzo normale, per effetto di questo possiamo avere un accoppiamento tra sforzo normale e deformazione che viene denominato stress-stiffening ed esiste una matrice di stress-stiffening che accoppia la configurazione deformata del sistema allo sforzo normale. Questa va correggerne con un termine dipendente da N la matrice di rigidezza della trave.

Effetto inerzie trasversali e peso proprio

La scorsa volta abbiamo introdotto l'effetto dello sforzo normale e di taglio dicendo che quello di taglio riduce la velocità critica e le frequenze proprie

perché aumenta la deformabilità della struttura. Normalmente questo sforzo viene trascurato, ma nelle travi tozze l’effetto diviene comparabile con quello flessionale. Lo sforzo normale, invece, in generale è disaccoppiato dalla flessione, però nel caso delle velocità critiche consideriamo un accoppiamento tra forze e spostamento non possiamo trascurare l’effetto dello sforzo normale rispetto alla deformabilità flessionale. Vediamo ora altri due effetti da tener conto: inerzia trasversale e peso proprio. Iniziamo vedendo l’inerzia trasversale: possiamo esaminare questo caso prendendo in esame una trave incastrata con un volano all’estremo libero. È permesso solo il grado di rotazione intorno all’asse. La maniera più semplice per risolvere questo problema è introdurre due GdL in estremità (spostamento e rotazione) e per questi GdL possiamo determinare la matrice di rigidezza e delle masse.generale tra problema di frequenze proprie e velocità critiche non c'è nessuna differenza se associamo al volano una velocità di rotazione arbitraria. Nel caso generale possiamo utilizzare i vecchi schemi e usare una diversa matrice delle masse nei due casi: per il caso di frequenze proprie l'inerzia trasversale coinciderà con l'inerzia diametrale, nel caso di velocità critiche l'inerzia sarà quella giroscopica (diametrale meno polare). Come al solito per risolvere il problema dobbiamo invertire una matrice e trovare autovalori e autovettori. Programmando possiamo scrivere la matrice delle masse in funzione dell'inerzia così da poter spaziare sia nel campo positivo (frequenze proprie) sia in quello negativo (velocità critiche). Plottiamo quindi le pulsazione quadrate e otteniamo: Dal grafico possiamo vedere che se siamo nel campo dell'inerzia positiva abbiamo due soluzioni positive, al contrario, se siamonel campo dell'inerzia negativa vediamo che abbiamo una soluzione negativa e l'altra positiva. Facciamo quindi la radice quadrata e otteniamo: Nel campo positivo otteniamo due frequenze proprie positive. Ovviamente dobbiamo considerare solo l'inerzia maggiore di zero. Per I=0 ho una frequenza propria infinita, se l'inerzia è diversa da zero appare una seconda frequenza propria. All'aumentare di I la frequenza propria si abbassa quindi l'effetto dell'incremento dell'inerzia diametrale (a parità di massa riduco lo spessore del disco e aumento il diametro) è quella di ridurre la frequenza propria. Nel campo negativo, il problema matematico è lo stesso, ma cambia il segno dell'inerzia: troviamo una parte immaginaria e una reale. La parte immaginaria diminuisce con l'aumentare, in valore assoluto, dell'inerzia, però l'effetto stabilizzante giroscopico fa aumentare la velocità.