Appunti completi Costruzione di macchine

Sistemi elastici e gradi di libertà

Abbiamo studiato Nora sistemi con limitati GdL. I sistemi che andiamo a trattare sono sistemi estesi (continui). Per descrivere la configurazione del sistema ho bisogno di una funzione: non tutti i sistemi elastici possono essere risolti in maniera analitica. Ad esempio, per una trave a sbalzo, imponiamo le condizioni al contorno: in genere la deformata di una trave caricata con carichi localizzati è descritta da una legge cubica, perché scrivendo l’equazione della linea elastica è pari a:

Se abbiamo una trave a sezione variabile caricata del peso proprio, non esiste una funzione che ci dà la configurazione deformata. Per poterlo risolvere dobbiamo introdurre dei gradi di libertà del sistema, cioè una serie di numeri discreti che ci permettono di trovare una soluzione approssimata in corrispondenza dei punti in cui abbiamo i GdL. I GdL vengono introdotti in maniera arbitraria cercando dei punti che siano significativi per rappresentare la struttura dal punto di vista dei vincoli, dal punto di vista geometrico, dal punto di vista dei carichi.

Esempio di alberi e gradi di libertà

Ad esempio, un albero può essere schematizzato come segue: per la tipologia di albero sappiamo che ogni punto può avere uno spostamento nella direzione normale all’asse dell’albero e una rotazione, quindi ogni punto ha 2 GdL. Alcuni spostamenti sono soppressi dai vincoli. Se riesco a correlare questi GdL con le caratteristiche elastiche e le forze applicate potrò trovare una configurazione deformata. Ipotizzo che ci siano delle funzioni in grado di rappresentare la configurazione deformata; il sistema potrà essere descritto tramite funzioni interpolatrici intermedie andando però a gestire un numero finito di variabili, di GdL. I GdL del sistema rappresentano una enuclea, un vettore, che permette di descrivere in maniera univoca il comportamento deformativo del sistema. Se conosco il comportamento deformativo, conosco anche il comportamento tensionale. Devo cercare una correlazione tra forze e spostamenti.

Sistemi a grado di libertà singolo (SDOF)

Nel sistema più semplice, ad un grado di libertà ho: il sistema è caratterizzato dalla rigidezza k della molla e dalla massa M del GdL soggetto a spostamento. Possiamo definire le equazioni che lo definiscono sia dal punto di vista statico che dinamico: questo visto è un sistema single degree of freedom (SDOF). Nel caso di sistema multi degree of freedom (MDOF), il sistema sarà: c’è quindi una relazione lineare tra forze e spostamenti. C’è anche un approccio alternativo: a = coefficiente di deformabilità, [A] = matrice di deformabilità. Possiamo applicare entrambi i metodi in egual maniera. Si ricorda che la matrice di rigidezza [K] è sempre possibile determinarla, mentre questo può non accadere per la matrice di deformabilità [A].

Significato fisico di K

Cerchiamo di chiarire il significato fisico di K. Se f=1 allora F=k. Quindi in un oscillatore semplice, la forza che devo applicare per avere uno spostamento unitario è proprio uguale a k. Questo ci dà anche una metodologia per determinare la rigidezza. Passiamo ad un sistema a 3 GdL. Avremo la matrice di rigidezza nella seguente forma: il sistema sarà ipotizziamo di avere la seguente configurazione di spostamenti. Andando a moltiplicare otteniamo: quindi se imponiamo una legge di spostamento con solo il primo GdL che si può muovere di spostamento unitario e tutti gli altri GdL sono tenuti fermi, otteniamo la prima colonna della matrice di rigidezza. Possiamo fare lo stesso anche con gli altri spostamenti.

Metodo fisico

Vediamo di derivare i coefficienti per il nostro caso. La matrice di rigidezza sarà: il metodo usato viene anche chiamato metodo fisico perché applichiamo la definizione di coefficiente di rigidezza. Possiamo notare che la matrice [K] è una matrice simmetrica. C’è un teorema che ci dice che la matrice deve essere simmetrica perché il sistema è conservativo (sistema indifferente alla sequenza di applicazione dei carichi). Inoltre, i termini della diagonale sono tutti positivi, quindi applicando una forza lo spostamento sarà nella stessa direzione della forza.

Proprietà della matrice di rigidezza

• Simmetrica
• Dominanza diagonale
• A banda
• Definita positiva

La matrice di rigidezza è una matrice a banda, cioè si concentra verso la diagonale principale. Questo perché i termini che non sono collegati direttamente da elementi elastici (ad esempio 1 e 3) hanno relativo coefficiente di rigidezza nullo. Supponiamo di voler trovare il prodotto di forze e spostamenti. Questo prodotto ci dà l’energia. Se andiamo a sostituire {F} otteniamo il doppio dell’energia di deformazione. Essendo la forma quadratica il doppio dell’energia di deformazione, questa deve essere maggiore di zero. Quindi la matrice [K] è definita positiva. Se il sistema è labile, ci può essere un sistema di spostamenti che non mi dà energia di deformazione, in questo caso si parla di matrice di rigidezza semi definita positiva.

Metodo di determinazione dei coefficienti

Osservando la matrice di rigidezza, c’è una proprietà fondamentale del metodo di determinazione dei coefficienti. C’è infatti una sovrapposizione dei coefficienti di rigidezza. Posso quindi considerare i singoli contributi elastici della struttura e sommarli in maniera opportuna. Consideriamo una singola molla che si può muovere solo assialmente. Anche se il sistema è labile, possiamo determinare la matrice di rigidezza, che sarà:

Considerando il sistema studiato, questo è costituito da tre molle. Introduciamo anche un GdL zero nella prima molla che, essendo vincolato, sarà nullo, quindi si potrà eliminare. La matrice di rigidezza sarà una matrice 4x4. Ci ritroviamo con il risultato sopra. Questo metodo viene definito per assemblaggio (o per ispezione). Questo ci dà un’altra caratteristica della matrice di rigidezza: infatti la matrice è additiva.

Esempi e applicazioni

Adesso possiamo risolvere degli esempi: vogliamo trovare gli spostamenti, le sollecitazioni (forse assiali) nelle singole molle e le reazioni vincolari. Risolvendo otteniamo: trovati gli spostamenti in 2 e 3 ho trovato anche le reazioni vincolari. Devo ora trovare le sollecitazioni: ripeto lo stesso procedimento per tutte le molle.

Sistema a tre aste di rigidezza diversa

Prendiamo ora un sistema costituito da tre aste di rigidezza diversa. Le aste si comportano come molle molto rigide. Vogliamo determinare la matrice di rigidezza di un’asta. Utilizziamo sempre il solito metodo applicando uno spostamento unitario. La matrice di rigidezza della singola trave sarà: per l’elemento asta teso-compresso abbiamo determinato la matrice di rigidezza. Fatto l’assemblaggio, posso conoscere gli spostamenti. Posso calcolare le forze applicate in estremità: le forze sono uguali e opposte. F2 coincide con lo sforzo normale N che coincide sulla trave.

Elemento di tipo trave

Supponiamo di avere un elemento di tipo trave. Per ottenere la rigidezza dobbiamo applicare la definizione, quindi devo risolvere un problema elastico. Se l’elemento è a sezione variabile si ha: se la sezione non ha variazioni brusche, possiamo considerare il seguente stato di tensione:

Dobbiamo fare quindi delle ipotesi sullo stato del sistema. La maniera più rapida per calcolare la matrice di rigidezza è presupporre che ci sia una teoria che ci permette di calcolare il legame forze-spostamenti in alcuni punti. La via più rapida è usare il secondo teorema di Castigliano. Il teorema ci dice che se riesco a determinare l’energia elastica in funzione delle forze applicate, lo spostamento nella direzione i-esima è pari alla derivata parziale dell’energia elastica fatta rispetto alla forza i-esima.

Energia potenziale elastica

Determiniamo l’energia potenziale elastica in un qualsiasi sistema: prendiamo l’esempio della trave a sezione variabile. Se lo spostamento è unitario, la forza F coinciderà con la rigidezza k. Nel caso si abbia torsione otteniamo:

Se soggetto a flessione abbiamo: se soggetto a taglio abbiamo: consideriamo il caso classico della torsione che viene usato nella schematizzazione dei motori a combustione interna. Il sistema è schematizzato con molle torsionali. Per trovare la rigidezza devo sempre applicare la definizione. Quindi il sistema di molle, l’asta teso-compressa e l’asta torsionale hanno una rigidezza in forma equivalente. Richiami oscillatore semplice.

Oscillatore semplice

Prendiamo un oscillatore semplice. Scriviamo l’equazione del moto del sistema: è un’equazione differenziale lineare (se ho delle soluzioni per certe storie di forze, la soluzione per una storia di somma di forze sarà la somma degli spostamenti). Con l’equazione scritta possiamo verificare se il sistema può avere configurazione di moto in assenza di forme applicate. Il secondo problema che possiamo affrontare è vedere se esistono delle soluzioni per particolari storie di carico, quindi quali sono le soluzioni a regime. Terzo problema: quando conosco la legge temporale delle forze e voglio trovare la legge temporale degli spostamenti, voglio quindi trovare una soluzione al transitorio.

Risoluzione dei casi

Risolviamo il primo caso, cioè l’omogenea associata, si prova a trovare una soluzione del seguente tipo. Sostituiamo e otteniamo: se il sistema oscilla con pulsazione ω, può avere delle configurazioni vibratorie in assenza di forze applicate. Lo spostamento è indeterminato. Il sistema è definito dal punto di vista della pulsazione ma non dal punto di vista dell’ampiezza. Potremo avere un’ampiezza qualsiasi con la stessa pulsazione.

Sistemi a più gradi di libertà

Vediamo cosa accade per un sistema a più gradi di libertà. Vogliamo anche qui vedere le configurazioni vibratorie senza forze applicate. Possiamo ipotizzare che gli spostamenti siano modulati secondo una sinusoide. Otteniamo un sistema omogeneo: il sistema omogeneo ha soluzione se il suo determinante è nullo. Devo abbassare di rango e assumere uno spostamento (eliminare un’equazione). Ottengo:

Problema di due volani

Risolviamo ora il problema di due volani collegati da un albero centrale. La soluzione è analoga al caso precedente; avremo quindi due possibili soluzioni. Vediamo ora il secondo caso. Se arriviamo ad una risposta a regime che ha la stessa forma della forza abbiamo: possiamo graficarlo dividendo per la freccia statica. Fase con la forza: lo spostamento ha la stessa direzione della forza. Controfase con la forza: lo spostamento ha direzione opposta rispetto alla forza. Per ω molto elevata (tendenti ad infinito) il sistema tende a non muoversi, a rimanere fermo.

Matrice di rigidezza per elemento trave

Ricaviamo ora la matrice di rigidezza per un elemento di tipo trave. In generale la schematizzazione che abbiamo per gli alberi sono volani o ruote dentate (elemento che scambiano forze) collegati da tronchi elastici. Dobbiamo capire quale è il comportamento elastico dell’elemento elementare. Normalmente quando andiamo a fare un’operazione di discretizzazione dobbiamo capire quali sono i gradi di libertà importanti. Normalmente nei sistemi in essi introduciamo 2 GdL per nodo (traslazione e rotazione). Possiamo associare una configurazione deformata univoca ai gradi di libertà andando a definire una legge di spostamenti su ogni tronco elastico elementare.

Trave caricata alle estremità

Supponiamo di avere una trave caricata solo alle estremità. Se il sistema è scarico internamente, il diagramma del momento flettente sarà lineare. Andando ad integrare, avremo una legge cubica per gli spostamenti. Nella legge abbiamo quattro incognite (A, B, C e D) e per poter essere determinate abbiamo bisogno dei vincoli:

Esempio: lastra piana caricata a trazione

Possiamo pensarla come un’estensione della teoria della trave. Mettiamo ora un foro al centro della piastra. Anche per questo caso esiste una soluzione analitica. Consideriamo ancora un sistema, considerato infinito, con un carico concentrato. Anche per questo problema esiste una soluzione analitica (soluzione di Flamant) che sarà il campo radiale semplice (c’è solo tensione in direzione radiale e le altre tensioni sono nulle). La legge di spostamenti di questo problema è di tipo logaritmico. Un altro problema è quello delle cricche di bordo o interne.

Cricche interne e bordo

Per cricche interne esiste la soluzione analitica solo nel caso di piastra infinita, mentre per cricca di bordo non esiste soluzione analitica. La soluzione per cricca interna è caratterizzata dalla seguente legge: quando ho una cricca ho una singolarità (per r che tende a zero σ tende ad infinito) e se studio il campo deformativo nei dintorni della cricca scopro che questo determina una legge di apertura del tipo. Poiché la legge cambia a seconda del caso, quello che facciamo è utilizzare una schematizzazione con elementi molto piccoli con una legge scelta a piacimento:

Legge di tipo lineare

Se scegliamo una legge di tipo lineare avremo: se le deformazioni saranno costanti anche le tensioni saranno costanti. Se utilizzo una legge di tipo lineare le tensioni non avranno una legge di variazione ma saranno degli istogrammi: ogni triangolino avrà il suo valore costante di tensione.

Determinazione matrice di rigidezza

Supponiamo di avere una trave e di voler determinare la matrice di rigidezza. Utilizziamo la definizione imponendo volta per volta uno spostamento unitario e tutti gli altri nulli. Possiamo anche provare un altro metodo, usando il teorema di Castigliano. Possiamo anche utilizzare l’equazione della linea elastica. Sviluppiamo usando il teorema Castigliano. Il teorema ci dice che se ho un sistema di forze applicate ad un corpo elastico e riesco a determinare l’energia elastica immagazzinata nel corpo, la derivata parziale dell’energia rispetto ad una forza mi dà lo spostamento nella direzione di quella forza.

Energia di deformazione

Se invece ho sforzo normale, l’energia di deformazione deve tener conto anche di questo. Se la trave è a sezione costante si ha: se la trave non ha sezione costante si utilizza una media armonica. Se invece abbiamo momento flettente si ha:

Esempi di calcolo

Esempio: trave a forma circolare. Esempio: molla elicoidale a flessione. Il contributo della forza deve essere scomposto nelle due direzioni principali e dà luogo ad un momento torcente e flettente. Se l’angolo α è piccolo prevale solo il momento torcente, quindi posso trattarla come molla di torsione. Se invece voglio studiare come la molla di torsione si comporta nella flessione (esercizio a casa). Esempio: trave semicircolare. Calcoliamo i coefficienti della matrice di rigidezza di una trave usando un metodo rapido. Prendiamo un’asta incastrata e diamo uno spostamento di 1/2 all’estremo libero.

Equazione della linea elastica

Facciamo il caso dell’equazione della linea elastica. Per trovare le forze dobbiamo trovare i tagli. Avendo utilizzato la linea elastica, sia tagli che momenti seguono la convenzione dei segni di scienza delle costruzioni. Questa volta dobbiamo imporre. La matrice di rigidezza viene ricavata in assenza di ipotesi sulla tipologia di vincolo. La matrice di rigidezza può essere ricavata con qualsiasi vincolo applicato, anche per elementi labili. Dal punto di vista operativo, la matrice viene scritta sinteticamente attraverso dei coefficienti. Se conosciamo gli spostamenti di estremità possiamo conoscere le caratteristiche di sollecitazione del sistema. Le caratteristiche hanno però segni coerenti con la convenzione usata.

Conoscenza degli spostamenti

Supponiamo di conoscere gli spostamenti. Possiamo conoscere il vettore delle forze generalizzate. Le forze seguiranno il verso degli spostamenti. Abbiamo poi la convenzione di scienza delle costruzioni. A sinistra il momento deve essere cambiato di segno mentre il taglio è corretto; a destra il contrario, il momento ha stesso segno mentre il taglio ha segno opposto. Ricordiamo che quella vista è la convenzione italiana, la convenzione anglosassone vede momento positivo verso il basso.

Sezioni circolari e complessi

Se utilizziamo sezioni circolari, nel piano della sezione, ogni sistema di riferimento relativo ortogonale costituisce una coppia di assi principali di inerzia. In sezioni più complesse, come quella rettangolare, gli assi principali di inerzia sono univocamente definiti. Di conseguenza devo introdurre un sistema di riferimento che mi permetta di orientare la trave secondo i suoi assi principali di inerzia. La matrice di rigidezza cambia SOLO in alcuni segni a seconda del piano in cui la si ricava, questo perché bisogna seguire le varie convenzioni.

Considerazioni sui metodi introdotti

Possiamo ricorrere al metodo dei coefficienti di rigidezza individuando la matrice [K] oppure al metodo dei coefficienti di deformabilità, ricavando [A]. La formulazione è duale, perché se [K] è invertibile la matrice che si ottiene è proprio [A]. La matrice di rigidezza [K] si può sempre ricavare come da definizione, ma non sempre è invertibile, quindi non sempre si può ricavare la matrice di deformabilità [A]. Ad esempio non posso calcolarla quando il sistema è labile perché, applicando la definizione, non potrei calcolare gli spostamenti con forze unitarie e nulle.

Potrei usare più gradi di libertà, ma ha comunque più senso trovare la matrice di rigidezza [K], inoltre la matrice di deformabilità rimane invariata perché anche usando GdL in più la forza che dovrei applicare in questi per trovare a_ij è sempre nulla. La matrice di deformabilità ha senso essere usata quando ho sistemi di tipo isostatico in cui posso determinare in maniera semplice l’energia di deformazione e quindi gli spostamenti. L’utilizzo della matrice di deformabilità è riservata a problemi che possono essere risolti, dal punto di vista delle caratteristiche della sollecitazione, senza ricorrere ad equazioni di congruenza, in cui posso quindi determinare subito i momenti agenti. Il caso classico è quello di una trave appoggiata-appoggiata. In funzione di a e L si può ricavare la matrice [A].