Controlli automatici, parte 3 - Funzione di trasferimento e convoluzione

3-FUNZIONE DI TRASFERIMENTO E CONVOLUZIONE

3.1-CORRISPONDENZA REALTA’-FORMALIZZAZIONE MATEMATICA

La stessa equazione differenziale dei II ordine, a seconda dei poli (reali o complessi) può

presentare soluzioni diverse:

• →

Poli Reali Termini costanti e funzioni esponenziali tradizionali

• →

Poli Complessi Sinusoidi (seni e coseni)

Possiamo trovare una regione fisicamente comprimibile?

Consideriamo il solito sistema massa-molla-attrito:

Sappiamo che: ′′ ′ ()

+ + () = () , , > 0

Vogliamo vedere come i tre coefficienti di massa, attrito e costante elastica giocano nella

soluzione. () 1.

Ipotizziamo condizioni iniziali nulle e costante e pari a Trasformando:

2

() + () + () = ()

1

() = ()

2

+ +

1

[() = ℒ[()] = ℒ[1] = ]

1 1

() = ∙

2

+ +

Bisogna Antitrasformare e quindi dobbiamo spezzare in fratti semplici e quindi bisognerà

2

∆= − 4

ricavare le radici del denominatore. Bisogna calcolare il discriminante il quale

ci indicherà se:

• Le radici sono reali (e quindi la soluzione ha costanti ed esponenti reali)

• Le radici sono complesse (e quindi si ha una soluzione con esponenziali complessi,

che per le formule di Eulero possono essere trasformati in esponenziali reali e

sinusoidi) (∆>

→ : ℎ 0) ∎

2 2

∆= − 4 = − 4 =

(∆<

→ : ℎ 0) ∎

∎ Dalla rappresentazione possiamo intuire che, se c’è poco attrito (rispetto al termine

4 ), la massa viene continuamente spinta prima verso destra e poi richiamata dalla

molla verso sinistra (oscillazione e quindi funzioni trigonometriche)

∎ Se c’è grande attrito, viceversa, non si verificano oscillazioni ma la massa si sposta verso

destra

La presenza di alcuni termini nella soluzione, dunque, non è casuale, ma è legata alla

realtà fisica.

3.2-FUNZIONE DI TRASFERIMENTO DEL SISTEMA

Tutti i modelli visti fino ad ora sono descritti da equazioni differenziali lineari con coefficienti

costanti.

Trasformando la seguente equazione differenziale generale:

() (−1)

() (−1)

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

1 0 1

() ()

Attenzione: il secondo membro è noto perché noi conosciamo il termine noto e

quindi anche le sue derivate. Spiegheremo perché dovremo tenere in considerazione il

<

vincolo per cui e cioè il numero di derivate in ingresso deve essere più piccolo del

numero di derivate in uscita.

Si ottiene per linearità:

() (−1) () (−1)

ℒ[ + ℒ[ + ⋯ + ℒ[] = ℒ[ + ℒ[ + ⋯ + ℒ[]

] ] ] ]

1 0 1

Abbiamo necessità di conoscere condizioni iniziali e quindi possiamo assumere nulle

queste condizioni iniziali (dato che nella maggior parte può valere questa assunzione).

Se non fossero nulle si potrebbe sfruttare il Teorema della Derivata…

(1) (−1)

(0) (0)

(0) = 0, = 0, … , = 0

< 0,

Supponendo che la funzione di ingresso sia sempre nulla per questo implica che:

(1) (−1)

− − −

) (0 ) (0 )

(0 = 0, = 0, … , = 0

Allora il Teorema della Derivata si semplifica e quindi si ottiene:

−1 −1

() + () + ⋯ + () = () + () + ⋯ + ()

1 0 1

Raccogliendo i termini comuni:

−1 −1

( )() ( )()

+ + ⋯ + = + + ⋯ +

1 0 1

Infine, si ricava: −1

+ + ⋯ +

0 1

() = ()

−1

+ + ⋯ +

1

Abbiamo quindi ricavato la trasformata della soluzione in funzione della trasformata

dell’ingresso con condizioni iniziali nulle. ( < ) ()

La funzione razionale strettamente propria indicata con prende il nome di

Funzione di Trasferimento del Sistema (a condizioni iniziali nulle):

−1

+ + ⋯ + ()

0 1

() = =

−1

+ + ⋯ + ()

1

Per evitare di ripetere “a condizioni iniziali nulle” possiamo utilizzare l’espressione Uscita

Forzata al posto di Uscita.

Vediamo la nomenclatura delle funzioni di trasferimento:

Grado del Polinomio al Denominatore

Radici del Denominatore

Radici del Numeratore

Differenza tra grado denominatore e grado numeratore

= 0

Valore della funzione in se calcolabile

Grado relativo maggiore o uguale a 0

0

Grado relativo maggiore di

Le Funzioni di Trasferimento, tranne una che sarà oggetto di analisi a fine corso, saranno

sempre funzioni razionali proprie (a volte non strettamente proprie).

Quindi, volendo, sapremmo antitrasformarle; ad esempio

′′ ()

+ 4() = 3()

Trasformando con condizioni iniziali nulle:

2

() + 4() = 3()

3 3 2

() = () = ∙ ()

2 2

+ 4 2 + 4

3 2 3

−1 −1

[()]

() = ℒ = ℒ ∙ = sin(2) , ≥ 0

[ ]

2

2 +4 2

−1 [()]

() = ℒ

La funzione ottenuta, che è l’antitrasfromata della funzione di

trasferimento si chiamerà Risposta all’impulso del Sistema.

3.3-SISTEMI IN SERIE () ()

Consideriamo due sistemi lineari, con e funzioni di trasferimento:

1 2

Il collegamento più semplice tra di loro è quello che viene chiamato Serie o Cascata: l’uscita

del primo sistema coincide con l’ingresso del secondo:

Chiudiamo il tutto in una “scatola” e concentriamoci solo sui segnali e : qual è il

1 2

legame tra di loro?

Abbiamo già affrontato un problema simile: il sistema idrico formato da due serbatoi posti a

cascata.

Immaginiamo se quei due serbatoi, invece di essere descritti da un’equazione del primo

ordine, fossero stati descritti da un’equazione del secondo ordine e immaginiamo se i

serbatoi, invece di essere due, fossero stati 19: riuscivamo a ricavare un’equazione di ordine

2 ∙ 19 = 38?

Non avevamo un metodo: avevamo risolto il problema senza un metodo preciso, lavorando

in modo “rozzo” dal momento in cui utilizzavamo uno strumento che non era adatto alla

risoluzione di quel problema. Andremo a vedere cosa succede con le funzioni di

trasferimento.

() ()

Conoscendo e possiamo fornire una descrizione alternativa alle equazioni

1 2

differenziali: () ()

= ()

1 1 1

() ()

= ()

2 2 2

() () () [ () ()

= = = ] = ()

2 2 1 2 1 1

() ()

Abbiamo fatto sparire le variabili e e abbiamo ottenuto un legame diretto tra

1 2 ()

() ():

e

2 1 () () ()

= ()

2 2 1 1

Abbiamo ottenuto la funzione di trasferimento del sistema complessivo come prodotto

delle due funzioni di trasferimento dei “sottosistemi”:

()

() = ()

1 2

In alcuni contesti si preferisce lavorare sulle funzioni di trasferimento e non sulle equazioni

differenziali perché è più semplice studiare la connessione dei sistemi.

Nell’esempio dei serbatoi avremmo potuto prendere il modello del primo serbatoio e cioè

un’equazione differenziale, che avremmo poi trasformato secondo Laplace per ottenere la

Funzione di Trasferimento del primo serbatoio. Allo stesso modo si poteva ricavare la

Funzione di Trasferimento del secondo serbatoio.

I due serbatoi sono collegati in serie e quindi moltiplicavamo tra di loro le funzioni di

trasferimento, ottenendo la funzione di trasferimento del sistema complessivo.

Se i serbatoi fossero stati 19 avremmo avuto 19 funzioni di trasferimento da moltiplicare tra

di loro ottenendo la funzione di trasferimento del sistema complessivo.

3.4-SISTEMI IN PARALLELO

Un secondo modo utile a collegare i due sistemi (lo si può fare anche per sistemi) è il

seguente:

Ai due sistemi si è fornito lo stesso ingresso: ()

() = = ()

1 2

Nel contesto dei controlli il punto in nero viene chiamato Punto di Diramazione e la sua

logica di funzionamento consiste nel fatto che prende il segnale e lo duplica sui due rami e

quindi non c’è una suddivisione (come si potrebbe pensare per similitudine ai sistemi in