Controlli automatici, parte 2 - Numeri complessi e trasformata di Laplace

2-NUMERI COMPLESSI E TRASFORMATA DI LAPLACE

2.1-DEFINIZIONE

Per studiare le equazioni differenziali lineari abbiamo bisogno di trovare le radici

caratteristiche dell’equazione (radici del polinomio) Le radici di un polinomio possono essere

reali oppure complesse. (,

= ), , ∈ ℝ

Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali con

,

Il primo numero della coppia prende il nome di parte reale di il secondo di parte

immaginaria: = [] = []

Dal punto di vista geometrico, un numero complesso è un punto del piano.

2.2-CAMPO ALGEBRICO DEI NUMERI COMPLESSI

OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI E PROPRIETA’

( ) ( ),

= , = ,

Dati i due numeri complessi e definiamo alcune operazioni:

1 1 1 2 2 2

ADDIZIONE ( )

+ = + , +

1 2 1 2 1 2

MOLTIPLICAZIONE (in realtà il puntino si omette quasi sempre)

∙ = ( − , + )

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

Valgono la proprietà commutativa della somma e la proprietà distributiva della

moltiplicazione: + = + =

1 2 2 1 1 2 2 1

( )

+ = +

1 2 3 1 3 2 3

ELEMENTI

ELEMENTO NEUTRO RISPETTO ALLA SOMMA

(0,0) = 0 → + 0 =

ELEMENTO NEUTRO RISPETTO AL PRODOTTO

(1,0) = 1 → ∙ 1 =

ELEMENTO OPPOSTO RISPETTO ALL’ADDIZIONE

(−,

− = −) → − + = (0,0)

ELEMENTO INVERSO RISPETTO ALLA MOLTIPLICAZIONE

−

−1 −1

= , , ≠ (0,0) → ∙ = (1,0)

( )

2 2 2 2

+ +

CONCLUSIONI

Grazie alle operazioni, alle proprietà delle operazioni e all’esistenza degli elementi neutri,

opposto e inverso, possiamo concludere che i numeri complessi formano un campo

algebrico.

2.3-PROPRIETA’ UTILI

I numeri reali che conosciamo sono casi particolari dei numeri complessi?

= (, 0) :

Il numero complesso coincide con il numero reale i numeri reali sono numeri

complessi con parte immaginaria nulla e, geometricamente, si trovano sull’asse

orizzontale del piano (di A.Gauss).

Per dimostrarlo:

(+) ( ( ( ]

, 0) + , 0) = + , 0 + 0) → [ + è

1 2 1 2 1 2

(∙) ( ( ( ]

, 0) ∙ , 0) = − 0 ∙ 0, ∙ 0 + 0) → [ è

1 2 1 2 1 2 1 2

Si definisce Unità Immaginaria il seguente numero complesso:

= (0,1)

Tale numero gode delle seguenti proprietà:

1. Moltiplicando per un numero reale, il risultato ottenuto è un numero complesso con

parte reale nulla (si sposta il valore di dalla parte reale alla parte immaginaria)

(, (0,1) (,

∙ 0) = ∙ 0) = (0, )

2. Moltiplicando per un numero complesso con parte reale nulla, otteniamo un

numero complesso con parte immaginaria nulla (numero reale):

(0, (0,1)(0,

∙ ) = ) = (−, 0)

3. Quadrato di 2 (0,1)(0,1) (−1,0)

= = = −1

Vediamo ora come ci si riconduce alla classica notazione, data sempre per buono, del tipico

= + …

numero complesso

Consideriamo che: (, (,

= ) = 0) + (0, )

:

Per la proprietà di (,

= 0) + (0,1) ∙ (, 0)

Poiché: (, (0,1) (,

0) ≡ = 0) =

Possiamo osservare che: (,

= ) = +

ℂ

Ogni polinomio di grado ha radici in

ESERCIZIO

Dati i due numeri complessi: ( )

= , = +

1 1 1 1 1

( )

= , = +

2 2 2 2 2

( )( ) ( )( ),

, , + +

Calcolare sia come sia come usando la

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2

= −1,

proprietà e verificare che i risultati ottenuti sono identici.

2.4-GEOMETRIA DEI NUMERI COMPLESSI

(,

= ) = +

Dato allora il complesso coniugato di sarà:

(,

̅ = −) = −

Tra le proprietà:

• + ̅

La somma è un numero reale:

(, (, (2,

+ ̅ = ) + −) = 0) = 2 + 0 ≡ 2

• Si può dimostrare che:

2 2

(

∙ ̅ = + , 0) ( ù )

≠ 0,

Vediamo la Divisione tra numeri complessi. Questa, tenendo conto che la si può

2

calcolare come:

̅

1 1 2

2−1

= = ESERCIZIO: DIMOSTRARLO

1

̅

2 2 2

Moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore,

trasformiamo la divisione tra numeri complessi in un rapporto del prodotto tra complessi

fratto numero reale.

Ad esempio: (7

7 + 2 + 2)(15 + 9)

= (15

15 − 9 − 9)(15 + 9)

(7,2)(15,9) (7 (87,93)

: = ∙ 15 − 2 ∙ 9,7 ∙ 9 + 15 ∙ 2) = → .

2

(15, (9), (−9)) (306,0)

. : −9)(15,9) = − 9 ∙ 15 ∙ 9 + 15 ∙ = → .

(15

Consideriamo che:

•

Forma Cartesiana di (,

= ) = +

•

Modulo di

Si tratta della distanza di dall’origine

√ 2 2

||

= = + →= √ ∙ ̅

•

Argomento di

Si tratta dell’angolo formato col semiasse reale positivo

•

Forma polare di = cos () = sin ():

Sapendo dalla trigonometria che e

= (cos() + ())

̅

Il complesso coniugato è lo speculare di rispetto all’asse reale (stessa parte reale e parte

̅

immaginaria opposta. Il numero ed hanno lo stesso modulo (verificare).

[−, ),

Per quanto riguarda gli angoli, consideriamo l’intervallo che è aperto a perché

allo stesso punto non possono corrispondere due valori.

Ma come si passa dalle coordinate cartesiane a quelle polari?

Abbiamo già visto che: √ 2 2

= +

Per calcolare l’angolo un’idea potrebbe essere quella di calcolare il rapporto che sono i

(). ( )

due cateti di un triangolo rettangolo, ottenendo quindi la Si sfrutterà l’ per

ricavare l’angolo. = 5 + 7 = −5 − 7,

Tuttavia, se consideriamo i numeri e il rapporto tra parte

1 2

immaginaria e parte reale è uguale per entrambi i numeri:

7 −7

= → sin

5 −5

= ( )

In questo caso non basta calcolare perché la funzione arcotangente è

[− , ]

invertibile solamente nell’intervallo 2 2

La soluzione consiste nel tenere conto separatamente dei segni della parte reale e della

parte immaginaria:

• > 0 → [− , ] = +

( )

Se gli angoli sono compresi in e quindi

2 2

• < 0 → :

Se si hanno due sottocasi dipendenti dal segno di

o < 0 ≥ 0 → = +

( )

o < 0 < 0 → = −

( )

• = 0 → :

Se si hanno tre sottocasi dipendenti dal segno di

o =0 >0→ =+ 2

o =0 <0→ =− 2

o = 0 = 0 →

Per alcune operazioni, come il prodotto e l’elevamento a potenza, si ha maggior

convenienza ad utilizzare le coordinate polari.

2.5-PROPRIETA’ IMPORTANTI DI MODULO E ARGOMENTO

MODULO: | | | ||

= |

1 2 1 2

| |

1 1

|= , ≠ 0

| 2

| |

2 2

ARGOMENTO: ) ) )

arg( = arg( + arg(

1 2 1 2

1 ) )

arg = arg( − arg(

( ) 1 2

2 , ≠ 0

1 2

Di conseguenza, per moltiplicare o dividere due numeri complessi è più comodo usare la

forma polare: (cos( ) ))

= + + ( +

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 (cos( ) ))

= − + ( −

1 2 1 2

2 2

A tale scopo si ricorda che: ) ) ) )

sin( + = sin( cos( + cos( sin ( )

1 2 1 2 1 2

) ) )

cos( + = cos( cos( − ( )sin ( )

1 2 1 2 1 2

Dalla formula del prodotto si ricava la formula delle potenze (Formula di De Moivre):

(cos()

= + ()), ∈ ℤ

OSSERVAZIONE FONDAMENTALE ℂ

Una delle poche differenze tra l’insieme dei numeri reali e quello dei numeri complessi

consiste nel fatto che i numeri reali formano un insieme ordinato: tra due numeri possiamo

sempre dire quale dei due è il maggiore o il minore o se sono uguali.

I numeri complessi non formano un insieme ordinato: dati due numeri complessi ed

1 2

non ha senso chiedersi quale sia maggiore o minore.

Per convincersi si pensi alla interpretazione geometrica (individuano un punto nel piano).

I numeri complessi formano invece un insieme parzialmente ordinato: se giacciono sullo

stesso raggio (se hanno lo stesso argomento) possono essere ordinati rispetto al loro

modulo.

ESERCIZI DI AUTOVALUTAZIONE

= + = +

Dati i due numeri complessi e , calcolare in forma simbolica:

1 1 1 2 2 2

1 1 1

| | | | ) )

+ arg( + arg( arg

| | ( )

1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

2 2 2

Quindi dare dei valori a scelta a ed e calcolare i valori numerici dei risultati

1 2

2.6-FUNZIONE ESPONENZIALE COMPLESSA

La funzione esponenziale è la funzione più importante da conoscere per lo studio delle

equazioni differenziali lineari.

La funzione esponenziale reale è la seguente (a noi interessa la parte positiva):

• = 0 < < 1

• = > 1

• = = 1

=

La funzione esponenziale si può estendere al campo complesso.

= (, ) ∈ ℂ ∈ ℝ

Consideriamo e (variabile reale che rappresenta il tempo), e

definiamo: (cos()

= + ())

= 0

Ponendo si ritrova l’esponenziale reale:

(cos(0)

+ (0)) =

L’esponenziale complesso gode delle stesse proprietà dell’esponenziale reale.

Tra le proprietà:

• 0 0+0 0 [cos(0)

= = + (0)] = 1[cos(0) + (0)] = 1

[ ]

•

=

1

•

=

∫

• 2 2 2 2 2

| | ( ()

√(

= cos()) + sin()) = (cos + sin ())

√

√ 2

= = → ′

•

Argomento→

Un numero complesso può essere espresso oltre che in forma cartesiana e polare anche in

forma esponenziale.

Ricaviamola: (+)

= = ∙

2.7-FORMULE DI EULERO DI SENO E COSENO

Le funzioni trigonometriche seno e coseno possono essere espresse in termini di funzioni

esponenziali complesse.

Consideriamo la funzione esponenziale complessa appena definita:

(cos()

= + ())

Calcoliamola in due casi:

=

1. Ponendo

= cos() + ()

= −

2. Ponendo −

= cos(−) + (−)

Sapendo che: cos(−) = cos ()

{

sin(−) = −sin ()

Si ottiene:

= cos() + ()

1. −

= cos() − ()

2.

Una volta sommando, e una volta sottraendo, membro a membro le due equazioni, si

ottiene: −

+ = 2cos ()

−

− = 2()

Da cui si ricavano le Formule di Eulero di seno e coseno:

−

+

cos() = 2

−

−

sin() = 2

PROBLEMA

lim ?

Esiste (eventualmente sotto qualche condizione) il Sappiamo che le funzioni seno

→∞

→ +∞ −1 1).

e coseno non ammettono limite per (oscillano tra e

(cos()

= + ()).

Ricordiamo che Distinguiamo diversi casi:

• 1 → = 0

CASO 0

= 1

Le funzioni seno e coseno vengono moltiplicate per e quindi il limite non

esiste

• 2 → > 0

CASO

In questo caso l’esponenziale è crescente: se moltiplichiamo la sinusoide, questa

diventa sempre più grande, tuttavia continuerà ad oscillare, non ammettendo limite

• 3 → < 0

CASO

In questo caso l’esponenziale è decrescente: se moltiplichiamo la sinusoide, questa

0

diventa sempre più piccola mentre oscilla fino a convergere a

2.8-TRASFORMAZIONE DI LAPLACE

La Trasformazione di Laplace ci permette di trasformare un’equazione differenziale lineare

in un’equazione algebrica.

In breve, dato un problema lo si trasforma, si trova la soluzione del problema trasformato e

poi si torna indietro alla soluzione del problema originario.

Consideriamo: +

: ℝ → ℂ

ℝ → ℝ

Avremmo potuto considerarla anche da ma non ci guadagneremmo nulla, anzi…

(), = + ,

Prendiamo la funzione prendiamo un numero complesso e

consideriamo la funzione che segue, dove è la variabile indipendente (che indica, come al

solito, il tempo): −

() ∙

A questo punto andiamo ad integrare rispetto alla variabile reale:

∞ −

∫ () ∙

−

0

Possiamo vedere questo integrale come:

∞ ∞ ∞

− − −

∫ () ∙ = ∫ () ∙ cos () + ∫ () ∙ sin ()

− − −

0 0 0

Si tratta di un integrale improprio e quindi possiamo scriverlo come:

−

lim ∫ ()

→+∞ 0

A seconda della funzione integranda può succedere che l’integrale esiste sempre, o può

succedere che esiste per alcuni valori di e per altri no, oppure potrebbe non esistere mai.

ℂ,

Se l’integrale esaminato esiste almeno per qualche valore di nel piano complesso allora

il risultato dell’integrale è la Trasformata di Laplace della funzione e la si indica con

() = ℒ[()]: ∞ − ′

∫ () = () = ℒ[()]

−

0

Ci chiediamo quindi in quali punti del piano complesso quell’integrale avrà un valore finito

(quindi vogliamo conoscere la Regione di Convergenza della Trasformata, stesso concetto di

Dominio). Risponderemo a tale domanda prima attraverso alcuni esempi e poi in generale.

PROBLEMA

() = , ∈ ℝ,

Data la funzione determinare se esiste la Trasformata di Laplace

Proviamo a calcolarla dalla definizione:

∞ ∞ 1 1

→∞

(−) (−)

− (−)

]

ℒ[ =∫ = ∫ = = − 1)

[ ] (lim

−

− −

=0 →∞

− −

0 0 → ∞

Come abbiamo già visto prima, l’esponenziale complesso ammette limite per quando

la parte reale dell’esponenziale è minore di zero.

[ − ] < 0

Quindi, se è tale che allora il limite è nullo e quindi:

1

]

ℒ[ = ∀ : [ − ] < 0

−

[ − ] < 0, [] > [] = ,

La condizione ovvero geometricamente definisce i

punti del piano complesso a destra del punto

Dimostreremo più avanti che la regione di convergenza non è vuota, è sempre un semipiano

del piano complesso. ∈ ℝ ∈ ℂ,

Se invece di prendere avessimo preso non sarebbe cambiato nulla.

ESERCIZIO () = 1

Calcolare la Trasformata di Laplace della funzione

= 0

Basta porre nell’espressione della funzione di prima e ottenere facilmente che

1

ℒ[1] =

Si definisce ora la Condizione Necessaria (ma non sufficiente) per l’esistenza della

Trasformata. ∞ −

ℒ[()] = ()

Data se esiste, condizione necessaria ma non sufficiente alla

∫ −

0

convergenza della trasformata è che: −

() → 0

Non è una condizione anche sufficiente perché esistono funzioni che esistono funzioni che

1

0 () =

tendono a ma sottendono un’area infinitamente grande, come 1+

OSSERVAZIONE < 0 > 0

Si considerino due funzioni che sono diverse per ma coincidono in

Questa avranno la stessa Trasformata di Laplace, dato che si considera l’integrale che va da

0 +∞

a (e quindi a destra dell’origine).

Vediamo ora alcune proprietà fondamentali della Trasformata di Laplace

TEOREMA DELLA LINEARITA’

La Trasformata di Laplace è una trasformazione lineare:

()

ℒ[ + ()] = ℒ[ ()] + ℒ[ ()]

1 1 2 2 1 1 2 2

Dimostrazione

La trasformata è definita da un integrale, e l’integrale è un operatore lineare

Applicazione () = sin ( )

Si calcoli la Trasformata di Laplace della funzione e la sua regione di

0

convergenza. ∞ −

ℒ[sin ( )] = ∫ sin ( )

0 0

−

0

Utilizziamo la formula di Eulero per il seno: −

−

0 0

sin( ) =

0 2

∞ ∞ ∞

−

− 1

0 0 − − − −

ℒ[sin ( )] = ∫ = − ∫

[∫ ]

0 0

0 2 2

− − −

0 0 0

1 −

ℒ[sin ( )] = [ℒ[ − ℒ[

] ]]

0 0

0 2 ]

ℒ[e

Nel Problema visto precedentemente abbiamo già calcolato e in questo caso,

ℒ[ ],

guardando a la possiamo interpretare come la stessa funzione, andando a

0

=

considerare , tenendo conto di quanto già detto sul fatto che non ha importanza

0

che sia reale o complesso. −

ℒ[ ],

Vale lo stesso ragionamento per con la sola differenza che avrà segno opposto

0 1 1 1

ℒ[sin ( )] = −

[ ]

0 2 − +

0 0

Quindi: 1 + − +

0 0 0

ℒ[sin ( )] = ]=

[

0 02

2

( )( )

2 − + +

0 0

]

[] > [ = 0

Questa formula è valida solamente se (perché è solo la parte

0 0

[]

> 0

immaginaria del numero complesso). La Regione di Convergenza sarà

ESERCIZIO () = cos ()

Calcolare la Trasformata di Laplace della funzione e la sua regione di

convergenza (utilizzare formula di Eulero)

ESERCIZIO () = − 1

Calcolare la Trasformata di Laplace della funzione e la sua regione di

1 1

[() = − ]

convergenza (occorre integrazione per parti). Soluzione: 2

RECAP E ULTERIORI TRASFORMATE (ELENCO)

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