Formulario Controlli automatici

SCHEMI A BLOCCHI

Configurazione in serie: =

! " ( )

Configurazione in parallelo: = + = +

! " ! "

Sommatore: = +

! "

Comparatore: = −

! " # $

!

Retroazione con comparatore: = !%# #

! "

# $

!

Retroazione con sommatore: = !&# #

! "

NUMERI COMPLESSI '(

Definizione di numero complesso: ∈ ℂ, = + =

|| " "

Modulo di numero complesso: = = 1 + )

Argomento di numero complesso: = arg() = arctan 9 :

$ )

arctan ≥0

9 :

|$|

(,

Arcotangente 4 quadran9: arctan() = arctan ) = ;

" )

arctan ± <0

9 :

|$|

arccos(0) >0

(,

N.B. arctan 0) = B

" −arccos (0) <0

&'(

Complesso coniugato: ∗= − =

Operazioni: #$ %#$

+ &+

• sin() = "'

#$ %#$

+ %+

• cos() = "

, $

• = (cos() + (sin())

• ln() = ln(||) ∙ ∙ arg() '( '-

• Siano :

, ∈ ℂ . . = + = , = + =

'((%-)

∙ =

o 0 2 '((&-)

=

o 1 3

TRASFORMATE DI LAPLACE

%5 &,4

{()}

Definizione: con di ordine esponenziale e ovvero

ℒ = () ≔ () () ∃, ∈

∫

6

34

|()| per

ℝ . . ≤ → ∞

{ }

Dominio di (semipiano a destra dell’ascissa di convergenza )

(): = ∈ ℂ . . () ≥

7 7

PROPRIETÀ

{ ()}

• con

ℒ () + = () + () , ∈ ℝ

! " ! " ! "

84

{ ()}

• ℒ = ( − )

&,4

{(

• )} )

con segnale ritardato

ℒ − = () ( −

&

6 6

• vale se e se

lim () = lim () ∃ lim () ≤ 0

7

4→5 ,→6 4→5

• (0) = lim ()

,→5

• (∞) = ()

→

<= & &

• )

con

ℒ l m = () − (0 ) (0 = lim ()

<4 %

4→6

4 >(,)

{()}

• () = () ⟹ ℒ =

∫

6 ,

4 ℒ{ ()}

• con f, g funzioni convolute

∗ () = ()( − ) ⟹ ∗ = () ∙ ()

∫

6 !

5 {

• () ∑ ()}

= ( − ) ⟹ ℒ = () ∙

? ?

#@6 %'()

!&+

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

• ) () ( ) ()

Dove

( = ⟹ = () () = + = −

CALCOLO DI TRASFORMATE:

NOME DEFINIZIONE TRASFORMATA

!

ℒ{()} se con

= > 0,

,

0 <0

Gradino unitario () = l = 0

7

1 ≥0 ℒ{()}

Se < 0 ⟹ ∄

!

ℒ{()} se con

= > 0,

,

Gradino di 0 <0

() = l = 0

7

≥0

ampiezza A {()}

Se < 0 ⟹ ∄ ℒ

Impulso finito &,4

1 1 1 −

ℒ{Δ ()}

∆ = () − ( − ) =

B B

di durata T

∆ ()

B () =

( ) ()

= 0 ∀ ≠ 0 = lim ∆ () ℒ{()}

Impulso di Dirac = 1

B

B→6

x %5 ()

=1

∫

&5 1

84

Esponenziale 84

() = () { ()}

ℒ = −

Rampa !

C C

() = () ℒ{ ()} = C%!

a=inclinaziome 1

Rampa unitaria () = () {()}

ℒ = "

2

"

Parabola () = () "

ℒ{ ()} = D

Seno

{sin() ()}

ℒ =

() = sin() () " "

+

ℒ{cos() ()}

Coseno =

() = cos() () " "

+

N.B. per calcolare periodo, pulsazione e fase iniziale di un segnale

sinusoidale:

= ( − ) ∙ 4

"E

= B )

sin( + = → = arcsin() −

6 6

) ) )cos

() = ( + = sin()cos ( + sin( ()

6 6

N.B. nelle rampe l’inclinazione a è data dal rapporto tra l’ampiezza e il tempo

=

EQUAZIONI DIFFERENZIALI CON TRASFORMATE DI LAPLACE:

)

Teorema della derivata generalizzata: ℒ(̇ = () −

6

"

)

ℒ(̈ = () − − ̇

6 6

D "

ℒ(⃛) = () − − ̇ − ̈

6 6 6

F&'&!

F&!

(F) F ∑

trasformata della i-esima derivata: ℒ’ “ = () −

'@6 6

CF@! G

(F) (F)

∑

equazione differenziale:∑ con condizione di realizzabilità fisica

= ≥

F F

F@!

*

< ) (F)

valore iniziale: • =

6

*

<4 %

6 *%#%!

- *%! #

+ ∑ ∑

* 8 , )

∑ I , *

*,& #,& &

*

() = () +

*,!

- -

* *

∑ ∑

8 , 8 ,

* *

*,! *,!

= ()() + ()

K

= () + ()

> K

In () ≥

Metodo alternaQvo:

considero l’equazione differenziale di partenza e calcolo le trasformate delle derivate che poi molQplicherò per

i coefficienQ, infine raccolgo ().

Esempio: ̈ + ̇ + = ̇ +

"

AnQtrasformo tuVo: () − − ̇ + () − = () + ()

6 6 6

̇

,%! ) %) (,%!)

& &

Raccogliendo () = () +

" "

, %,%! , %,%!

̇

,%! ) %) (,%!)

& &

()

Da cui: e

() = =

K

" "

, %,%! , %,%!

Risposta libera: ho solo condizioni iniziali, gli ingressi si annullano

RICAVARE EQUAZIONE DIFFERENZIALE DALLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO:

(,)

M .

sapendo che la funzione di trasferimento è definita come: essa è una funzione razionale cosQtuita

() = N(,)

dal rapporto di due polinomi, ovvero:

(,)

M O(,)

.

() = =

N(,) P(,)

Perciò, semplicemente, la trasformata di Laplace dell’equazione differenziale sarà:

()() = ()()

ANTITRASFORMATE DI LAPLACE

+ +%! !

I , %I , %⋯%I , %I ?(,)

+ +%! ! & dove

() = = degš()œ ≤ deg (())

- -%! !

, %8 , %⋯%8 , %8 R(,)

-%! ! & 3%F5

!

&!{>(,)} ,4

Definizione: con

() = ℒ = () ≔ () >

∫ 7

3&F5

"EF

FORMULA DEI RESIDUI:

%

[( ()]m

)

= l ∙ − ∙ con i=1, …, h e l=1, …, r

%

(&)! @

FORMULA DEI RESIDUI PER POLI COMPLESSI CONIUGATI DI MOLTEPLICITÀ 1:

]\ %^ ]\ %^ ]3%^%']_

{( ()} ! !

)

= − ∙ = l m = =

!! ! ,@\ ∗ ∗

! ,&\ \ &\ "'_

!

! !

,@\

!

>

ANTITRASFORMATA CON :

• Trovo i poli di F(s) e riscrivo il denominatore Q(s): n=numero di poli distinti, r=molteplicità della i-esima

radice, h=numero di radici distinte

?(,)

() = 4 4 4

(,&\ ) ) )

∙(,&\ ∙…∙(,&\ -

! "

! " -

• Decompongo in fratti semplici: b b

b b b b b

!4 "4

!! !" "! "" -!

() = + + ⋯ + + + + ⋯ + + ⋯ + +

! "

4! 4!%!