Controlli automatici, parte 1 - Introduzione su sistemi e modelli

CONTROLLI

AUTOMATICI

1-PANORAMICA SU SISTEMI E MODELLI

1.1-IL CONCETTO DI SISTEMA (NEL NOSTRO SPECIFICO)

Il Sistema è un insieme di elementi che interagiscono tra di loro e con l’esterno.

Il mondo esterno stimola il sistema (cioè esercita delle azioni sul sistema) e, a sua volta,

viene stimolato dal sistema.

Nel contesto che prenderemo in esame, studiare un sistema significa:

• Comprendere come il sistema reagisce a determinati stimoli, cioè ingressi (ANALISI).

Quindi, dato lo stimolo, si analizza qual è la reazione che ne consegue.

Ad esempio, cosa succede se dai termosifoni dell’aula faccio uscire 50 calorie al

secondo di potenza termica? Come cambia la temperatura dell’aula?

Si tratta del problema più semplice, perché è un problema diretto (tipico della

matematica e della fisica)

In modo approfondito…

Con la fase di analisi vogliamo determinare come le uscite variano nel tempo in

funzione degli ingressi assegnati (gli ingressi sono sempre noti). Bisogna quindi

individuare il legame analitico tra ingressi e uscite.

Riprendiamo l’esempio del riscaldamento dell’aula e indichiamo con:

(

() ≔ )

() ≔ ( , )

()

≔ ( , )

Sappiamo che le due potenze termiche provocano una variazione della quantità di

calore presente nella stanza (che dipende dalla temperatura)

Quindi, la variazione nel tempo della quantità di calore nella stanza è pari alla potenza

entrante meno la potenza uscente:

()

()

= () − = [ ]

Assumendo che la capacità termica della stanza sia costante, la quantità di calore

presente nella stanza sarà pari a: () = ∙ ()

Sostituendo all’espressione sopra ricavata e sapendo che è costante:

() ()

= () −

Ora sappiamo che:

o () è un dato

o () dipende dalla differenza di temperatura che c’è tra la stanza e l’ambiente

esterno, dalla geometria e dai materiali della stanza (se la porta fosse piccola, la

()

potenza termica uscente sarebbe piccola). Allora sarà proporzionale alla

differenza tra temperatura della stanza meno la temperatura esterna:

() )

= (() −

Si svolge il prodotto e si riordina l’espressione:

()

+ ∙ () = () + ∙

Abbiamo ottenuto un’equazione differenziale lineare del I ordine che descrive come

gli stimoli esterni (temperatura esterna e potenza termica dei termosifoni) sono legati

alla temperatura della stanza.

Con lo studio di questo problema di Analisi, data la temperatura esterna, data la

potenza termica dei termosifoni e data la temperatura della stanza, possiamo

determinare come evolve nel tempo la temperatura della stanza istante per istante e

scoprire ad esempio che dopo 2700 sec da una temperatura iniziale di 18° siamo

passati a 20,5°. L’altro problema più complesso (come vedremo sotto) è dato dal

determinare quale deve essere la potenza termica che bisogna sviluppare per portare

⇒

la temperatura della stanza da 15° a 21° in 30 minuti Problema del Controllo (qual

è l’azione che mi permette di raggiungere un determinato obiettivo e in che misura)

• Capire quali stimoli conducono alle reazioni desiderate (SINTESI O CONTROLLO)

Data la reazione che si vuole ottenere, qual è lo stimolo che bisogna dare al sistema

affinché si possa ottenere una determinata reazione.

Ad esempio, data la temperatura attuale dell’aula di 20°C, qual è la potenza termica

che bisogna sviluppare affinché si possa portare la temperatura dell’aula a 21° in 30

minuti?

Si tratta di un problema più complesso, perché è l’inverso del problema diretto visto

precedentemente, e solitamente non è univoco. Tuttavia, si tratta del vero problema

ingegneristico.

• Capire la “natura” del sistema, sulla base di uno o più esperimenti (IDENTIFICAZIONE)

1.2-MODELLI MATEMATICI

Si definisce Modello Matematico del Sistema o Sistema Astratto il legame analitico tra

ingressi e uscite del Sistema.

Sistema: legame che trasforma una certa grandezza in un’altra grandezza

Astratto: prescinde dalla natura fisica del fenomeno

Grazie al modello posso definire una teoria generale che poi posso particolarizzare alle

diverse realtà fisiche.

Cosa vogliamo da un modello?

• Predittività, ovvero la capacità di fornire predizioni coerenti con le osservazioni

sperimentali (previsioni con una certa approssimazione)

• Semplicità: un modello troppo complesso potrebbe essere addirittura inutile

Questi due obiettivi sono sempre in conflitto: non posso trascurare troppe cose (fare un

modello troppo semplice), altrimenti il modello non è predittivo (non tiene conto di fattori

importanti). D’altra parte, non posso considerare ogni singolo dettaglio altrimenti il modello

rischierebbe di essere inutilmente complesso.

Con l’esperienza e la competenza riusciamo a capire quali fattori sono trascurabili e quali

non lo sono.

PIU’ MODELLI PER UN SISTEMA

ESEMPIO 1-UNA STUFA ELETTRICA

Consideriamo un filo elettrico avvolto su una bocchettina.

Lo stimolo (ingresso) che questo filo riceve è la tensione che vi è alla presa a cui lo vado a

collegare. La reazione (uscita) è la potenza termica che il filo, riscaldandosi, rilascia nella

stanza. C’è un legame tra tensione applicata e potenza termica erogata.

Si sa che: 2

→ () = ()

ℎ → () = ()

E quindi il modello matematico sarà: 2

()

() =

Ma cosa stiamo trascurando?

• Induttanza del conduttore

Non vi è solo la resistenza che si oppone al passaggio di corrente, ma vi è anche la

forza elettromotrice, che sarà pari all’induttanza moltiplicata per la derivata della

corrente (se la corrente fosse continua, la derivata sarebbe nulla e la resistenza non ci

sarebbe). ()

() +

• Capacità verso la carcassa

• Dispersione lungo gli isolatori

• Energia irradiata nello spazio

• = ()?

La resistenza è costante o dipende da La resistività di un materiale non si

mantiene costante. Il valore della resistenza dipende dal passaggio di corrente

(misura diversamente quando è a freddo rispetto a quando è attraversata da corrente

e diventa incandescente.

Quanti modelli possiamo avere?

Un modello è una fra le molte possibili rappresentazioni approssimate della realtà

fisica a causa delle approssimazioni, che possono essere:

a) volute, allo scopo di ottenere un modello semplice

b) dovute alla nostra incapacità di scegliere gli aspetti del fenomeno fisico

c) nella maggior parte dei casi entrambe

Quando si è c