Appunti Complementi di analisi e matematica

Domande teoriche per lo scritto di Complementi di Analisi Matematica

Ingegneria Industriale, a.a. 2021/22

Criteri della (1)radice e del (2)rapporto per serie di potenze.

- 1

(1) Sia data la serie di potenza Supponiamo che esista Allora: R=

+∞

∑ × . lim √ = .

=0

→+∞ |+1| 1

(2) Sia data la serie di potenza Supponiamo che esista Allora: R=

+∞

∑ × . lim =

=0 ||

→+∞

Derivazione e integrazione termine a termine di una serie di potenze (enunciato del teorema).

- Formula dei coefficienti della serie di potenze attraverso la funzione somma.

- Teorema di Abel.

- Sia x =0. Supponiamo che la (Sp) sia convergente in x=R. Allora la funzione somma f è

+∞

∑ ×

0 =0

continua da sinistra in R/x=-R con. a destra.

Definizione di curva, curva semplice, curva chiusa, curva regolare, curva regolare a tratti.

- C. semplice: sia una curva, essa sarà semplice se presi t , t in I, distinti t.c. almeno uno è

⃗ ∶ [, ] → 1 2

interno ad I, risulta . Non passa per lo stesso punto due volte, in instanti diff.

⃗( ) ⃗( )

≠

1 2

C. chiusa: sia una curva. Sarà chiusa se

⃗() ⃗().

⃗ ∶ [, ] → = ⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

C. Regolare: si dice regolare se è derivabile in I, è continua in I e

′ ( )

⃗: → ⃗ ′ ≠ 0 ∀ ∈ ↔

⃗⃗⃗⃗

′ ()‖

‖ ≠ 0.

Curva regolare a tratti: Data ⃗: →

si dice reg. a tratti se I può essere suddiviso in un numero finito di sotto-intervalli in ciascun dei quali

⃗ è regolare.

Teorema di rettificabilità delle curve regolari a tratti

- ⃗⃗⃗⃗

Sia ′

[, ] ()‖

‖

⃗ ∶ → una curva regolare. Allora ⃗ è rettificabile e la sua lunghezza è data da: ∫

Definizione di integrale curvilineo.

- Sia una curva regolare. Sia che

m

[, ]

⃗ ∶ → f: A ⊆ ℝ una funzione. Supponiamo ⊆

(⃗()) ℎ() [, ]

. Allora è ben definita la funzione composta = e risulta ℎ: →

′ ′

(⃗())‖⃗ ()‖

ℝ. Supponendo che sia continua, l integrale curvilieno sarà: =

∫ ∫

Definizione topologica di limite di funzione.

- Sia

Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera e di insieme aperto/chiuso/limitato/compatto/connesso.

- P. Interno ad E, se esiste un intorno di ⃗⃗⃗⃗⃗

contenuto in E.

0

P. esterno ad E, se ( ).

∃ ⃗⃗⃗⃗⃗

⊆ ℝ ∖ =

0

P. frontiera per E, se in ogni intorno di si trovano punti di E e punti di .

⃗⃗⃗⃗⃗

0

Ins. aperto se tutti i punti di E sono interni. Ins. Chiuso se E contiene .

⃗⃗)

Ins. Limitato se (0

∃ > 0 . . ⊆

Ins. Compatto quando è chiuso e limitato. Ins. Connesso

Teorema di Weierstrass in piu` variabili.

Teorema degli zeri in piu` variabili.

- Definizione di derivata parziale.

- Definizione di funzione differenziabile in un punto. Formula di linearizzazione.

- Condizioni necessarie alla differenziabilità.

- Teorema del differenziale totale.

- Definizione di derivata direzionale.

- Formula del gradiente (enunciato completo).

- Teorema di derivazione delle funzioni composte.

- Teorema di Lagrange in piu` variabili.

Teorema di Schwarz.

- Formula di Taylor del secondo ordine con resto in forma di Peano (enunciato completo).

Teorema di Fermat.

- Classificazione di un punto stazionario attraverso il segno della matrice hessiana.

- Formula di linearizzazione per funzioni vettoriali di piu` variabili reali.

Teorema di derivazione delle funzioni composte.

- Definizione di superficie.

- Definizione di superficie regolare.

- Definizione di insieme misurabile e della sua misura.

- Definizione di insieme x-semplice e y-semplice.

Formule di riduzione su insiemi semplici.

- Definizione di area di una superficie.

- Definizione di integrale di superficie.

- Formule di integrazione per fili e per strati.

- Coordinate sferiche e coordinate cilindriche.

-