Chimica fisica - parte 3

M

FG

Rapporto G gg Kaer

pe 40

31

11 27.9.12.10

967110 1,67

me

Gma 10 10

4,40

pare 19,2

99.109 1,6 1

S

Principio di sovrapposizione

Principio di sovrapposizione per la forza elettrostatica:

dato un insieme di N cariche elettriche: q1, q2, ... qn, la forza risultante esercitata sull’i-esima carica qi è la

somma vettoriale delle forze di Coulomb esercitate a causa delle singole altre cariche.

È

È

È segni modulidistanze

rije

ai

attenzione I 92

i

delle cariche di

tra coppie

cariche

Campo elettrico

La forza elettrostatica, così come la forza gravitazionale, agisce a distanza, ovvero senza bisogno del contatto tra corpi.

Si introduce il concetto di (dovuto a Faraday):

campo elettrico

Ogni carica elettrica Q genera un campo elettrico che pervade l’intero spazio, ovvero una perturbazione dello spazio stesso tale per cui il suo

effetto si verifica quando una carica di prova q entra in tale spazio

Per essere tale, la carica di prova deve essere trascurabile rispetto alla carica che è sorgente del campo elettrico, in modo da non modificarlo

•

significativamente

Il campo elettrico è definito a partire dalla forza esercitata sulla carica di prova come

• V

N

C M

Il campo elettrico è indipendente dal valore della carica di prova, per definizione

• La direzione del campo è parallela a quella della forza vedi linee di forza

• —>

La forza esercitata su una carica di prova si ricava come

• Per una carica puntiforme Q, la forza esercitata su una carica di prova è data dalla legge di Coulomb. Dalla definizione di campo, il

•

modulo del campo elettrico risulta pertanto fa

Ko

o

Data una distribuzione di N cariche puntiformi q , vale il principio di sovrapposizione: il campo elettrico in un punto P è la somma vettoriale

dei campi elettrici generati da ciascuna carica in quel punto. i 0

questo si estende a distribuzioni continue di carica, in cui ogni elemento infinitesimo può essere considerato come carica puntiforme (vedi

—>

seguito)

Dimostrazione: campo elettrico generato da un dipolo

Un dipolo elettrico è costituito da una coppia di cariche di uguale intensità q, ma di segno opposto (+q,-q), poste a distanza 2a. Per calcolare il

campo elettrico in un punto P posto a distanza d lungo l’asse perpendicolare del dipolo: li

Ciascuna carica puntiforme del dipolo genera un campo elettrico y E'tot

È fa a

ko È cosa_air

È

È Ei È

È

E i

Ezy

Ely Ely già a

Poichè le cariche sono uguali

ÈN E ma di segno opposto campo

X campo

uscente entrante

eeee 92 0121312

1

2k09g

Eroi al Zitto oppio

01213 a

Linee di forza del campo elettrico 9

Il campo elettrico generato da una carica è rappresentato tramite le linee di forza: Linee di forza del

a campo elettrico generato da

La forza esercitata su una carica di prova è tangente alle linee di forza in ogni punto una carica puntiforme

• i i positiva

Una carica di prova positiva segue la direzione delle linee di campo (si allontana da

•

cariche + e si avvicina a cariche -) L.d.f. escono da cariche positive (sorgenti) ed

—>

entrano in cariche negative (pozzi)

Il numero delle linee entranti/uscenti in una carica è proporzionale alla carica

• Linee di forza del

i

Tanto più sono ravvicinate in una regione, tanto più è alta l’intensità del campo elettrico,

• campo elettrico generato da

e.g. vicino alla sorgente stessa Lentini una carica puntiforme

e negativa

Le l.d.f. non si incrociano

• nn

Linee di forza del campo elettrico generato da coppie di cariche puntiformi:

due e

b

2 due

a carichediverse

modulo

cariche cariche

in

uguali uguali

in

modulo

di di

disegno

dipolo

elettrica

segno

opposto segno

opposto

campo si

annulla perché

intenso le cariche si

respingono

intenso linee chiuse che entrano dalla carica meno ed

escono dalla carica +

le linee che escono dalla carica +2Q saranno

il doppio di quelli che entrano in - Q

Campo elettrico generato da distribuzioni continue di carica

Per distribuzioni di carica continue si intendono insiemi molto grandi di cariche, come nel caso di corpi macroscopici carichi.

La carica totale si definisce in funzione della densità di carica (lineare/superficiale/volumica a seconda della geometria

della distribuzione) : E

019

I

unfilo

les sottile Q

G les O

019 data

O da

caso 20 densitàsuperficiale a

discopiattosottile da V

019

3D densitàvolumica

caso sfera

esuna

Campo elettrico generato da distribuzioni continue di carica

Per calcolare il campo elettrico generato da una carica Q qualunque, distribuita in maniera continua usiamo il principio di sovrapposizione:

consideriamo gli di carica dq che occupano elementi infinitesimi di volume dV della distribuzione come di campo elettrico:

elementi in nitesimi sorgenti puntiformi

• infinitesimo

volume

carica f.jp

og

infinitesima di volumica

densità sonica

ciascuna sorgente puntiforme genererà in un punto P un campo elettrico (o una forza elettrica su una carica di prova posta in P)

• 90019

KI F

de K

o 2

In P, il campo elettrico totale (o la forza tot.) è la somma dei contributi infinitesimi, ovvero l’integrale sulla distribuzione di carica:

• Sole 019

E GdF ok

F

Lak volume

Il volume di un corpo continuo è la somma di

• superficie/area

La superficie infiniti elementi infinitesimi di (integrale)

• linea

La lunghezza

• massa/punti materiali

La massa

•

Esempio: campo elettrico generato da una barretta carica

Una barretta sottile di lunghezza L presenta una carica Q distribuita uniformemente, con densità di carica lineare λ.

Determiniamo il campo elettrico in un punto P che disti a da un estremo della sbarretta lungo l’asse della barretta

stessa (vedi figura). yn

E pda

D toh

da a adda o Fine

a L

a

Kodak

HO

DE 2019 2 koELIYEK.gl at

S koxSFE

dx

JAE

E sullabavetta KOQ

la a

E

Ko LI ACOLI

ALA pccumasentriauniforme

avintern

i

E É È

siamman

Etero

Linee di forza del campo elettrico (2)

d) Linee di forza del campo elettrico generato da un lo sottile rettilineo:

Ogni elemento in nitesimo di lo può essere considerato come un elemento puntiforme di cui il lo ne è la somma P

je

i e

si

fuori

il lampo

anello

Flusso di campo elettrico

Consideriamo ora una carica Q sorgente di campo elettrico , ed una super cie

piana S.

De niamo il vettore super cie = , quale il vettore con modulo uguale al valore

dell’area della super cie, direzione perpendicolare alla super cie (o ‘’normale’’) e verso

uscente dalla super cie.

De niamo il usso ( ) del campo elettrico (vettoriale) attraverso la super cie

È

come il prodotto scalare del campo per la super cie:

È5

de SI COSO

ES

Il prodotto scalare, e quindi l’angolo, serve a tener conto dell’orientazione della

super cie rispetto alla direzione del campo elettrico. Il usso è quindi una quantità

scalare.

Flusso di campo elettrico: esempi

Flusso di campo elettrico

Nel caso più generale, il campo elettrico può non essere uniforme e la super cie può non essere piana. In questo caso, si può

immaginare la super cie come suddivisa in elementi in nitesimi di area, a ognuno dei quali è associato un vettore =

Si de nisce usso elementare il usso di campo elettrico attraverso l’elemento di super cie .

E

È Nds

È

le DI

d EdSoso

Il usso totale si ottiene integrando il usso elementare su tutta la distribuzione di carica

E

de DS

SI IO

Flusso di campo elettrico – teorema di Gauss

Nel caso di una super cie chiusa la porzione di usso corrispondente alle linee di

campo uscenti è positivo, mentre quello alle linee di campo entranti è negativo:

- poichè il vettore super cie è sempre diretto verso l’esterno della super cie chiusa

→ → →

θ=O

- linee uscenti parallelo a > O

E

→ →

θ=

- linee entranti→ antiparallele a < O

E

Il usso totale attraverso S è la somma algebrica dei ussi elementari d , i.e. tiene

conto del segno.

Il contributo di una carica esterna alla super cie chiusa al usso totale di campo

elettrico è nullo: tutte le linee che entrano escono anche dalla super cie chiusa.

Ogni carica interna alla super cie chiusa contribuisce al usso totale di campo elettrico

attraverso la super cie, secondo il teorema di Gauss:

d5

E Et

PE S

S

Qint rappresenta la carica totale all’interno della super cie, è la costante dielettrica del i

mezzo, S è una super cie chiusa (ma non necessariamente una super cie sica, può essere

ttizia)

int può essere costituita da un insieme di cariche discrete, che si sommano algebricamente,

oppure da una distribuzione di carica continua.

—> In quest’ultimo caso, il teorema di Gauss è uno strumento utile per la determinazione del

campo elettrico generato da una distribuzione di carica.

Applicazione

Sia Q una carica positiva puntiforme. Si vuole calcolare il campo elettrico ad una

distanza r da Q.

devo prendere in considerazione una geometria comoda se scelgo una sfera il campo

elettrico sarà sempre perpendicolare alla super cie

• . Disegniamo le linee di forza del campo elettrico generato da Q.

1

Qui, per una carica puntiforme, sono radiali.

• . Scegliamo una super cie chiusa ttizia (detta ‘’gaussiana’’) con una geometria

2 conveniente che circondi la carica sorgente. Suggerimento: sfruttiamo le simmetrie

geometriche!

Qui ad es. una super cie sferica, per cui = Inoltre, le l.d.f. sono

perpendicolari in ogni punto alla super cie scelta, quindi è parallelo a in ogni

punto I th.Guus

• . Applichiamo la legge di Gauss:

se

SE.ae s Itis

Sbs

QiI e ftp.Qfasieggeauomb humours

Dimostrazione: campo elettrico generato

da un lo carico agguati

Utilizzando il teorema di Gauss, si ricava il campo elettrico è

generato da un lo sottile lungo L uniformemente carico con

carica totale Q in un punto a distanza R dal lo. È

ID D E