Calcolo Integrale

8. CALCOLO INTEGRALE

L'integrale, storicamente, nasce dall'esigenza di MISURARE AREE.

L'approssimazione vale se la funzione è continua:

\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)

DEF

Sia \([a, b] \subset \mathbb{R}\) intervallo chiuso e limitato. L'equisuddivisione di \([a, b]\) di cardinalità n ∈ N è l'insieme

1. \( x_k = a + \frac{b-a}{n} k; \, k \in \{0,1,\ldots,n\} \)

\( x_k+1 - x_k = \frac{b-a}{n}\)

OSS

L'equisuddivisione di cardinalità n ∈ N di lunghi esterni. suddivisione (partizione) di \([a, b]\) in n intervalli di lunghezza \(\frac{b-a}{n}\).

DEF

Dato \([a, b] \subset \mathbb{R}\) chiuso e limitato e data l'equisuddivisione di cardinalità n ∈ N chiamiamo somma di Cauchy-

Riemann di f: \([a, b] \to \mathbb{R}\) continua la quantità:

1. \( S_n (f) = \sum_{k=1}^{n} f(z_k) \cdot (x_k - x_{k-1}) \) dove \( z_k = \frac{x_k + x_{k-1}}{2} \)

Chiamiamo \( (S_n (f))_{n \in \mathbb{N}} \) successione di Cauchy- Riemann.

TEOREMA

INTEGRABILITÀ DELLE FUNZIONI CONTINUE

Data f: \([a, b] \to \mathbb{R}\) continua, in base alla successione di Cauchy- Riemann \( (S_n (f))_{n \in \mathbb{N}} \) ed essa esiste

associata è CONVERGENTE.

Def: Sia f: [a, b] -> ℝ continua definiamo l'integrale da a a b di f la quantità

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{n \to +\infty} S_n(f)\]

Esempio 1: C: [a, b] -> ℝ

\[\int_{a}^{b} C \, dx = \lim_{n \to +\infty} S_n(C)\]

Dove \[S_n(C) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} C(z_k) = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{b-a}{n} \cdot n = b-a\]

\[\lim_{n \to +\infty} b-a = b-a\]

Esempio 2: id: [a, b] -> ℝ

\[x \longmapsto x\]

\[\int_{a}^{b} id \, dx = \lim_{n \to +\infty} S_n(id)\] dove \[S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{b-a}{n} z_k\]

\[= \frac{b-a}{2n} \sum_{k=1}^{n} x_k + x_{k-1}\]

\[= \frac{b-a}{2n} \left( \sum_{k=1}^{n} x_k + \sum_{k=1}^{n} x_{k+1} \right)\]

\[= \frac{b-a}{2} \sum_{k=1}^{n} a + \frac{b-a}{2n} \sum_{k=1}^{n} (k-1)\]

\[= \frac{b-a}{2n} \left[(b-a) \frac{n+1}{2} + (b-a)^2 \frac{n+1}{2n} \right] = S_n(id)\]

\[\int_{a}^{b} id \, dx = \lim_{n \to +\infty} S_n(id) = (b-a) \frac{(b-a)^2}{2} + \frac{1}{2} ab^2\]

N.B.

Nella costruzione delle somme di Cauchy-Riemann (v. definizione 23/4) NON è assolutamente necessario scegliere z_k come il punto medio di [x_k-1, x_k] ma può essere un PUNTO ARBITRARIO (!) di tutto l'intervallo.

esempio

∫_a^b x² → ℝ

q = lim_n→+∞ S_n(a)

1. dove S_n(a) = b-a/n ∑_k=1ⁿ q(z_k), in cui scegliamo un criterio diverso nell'individuazione dei valori z_k diciamo z_k = x_k (estremo destro) ∈ [x_k-1, x_k]

x= b-a/n k con k = 0,...,n

• ∑_n(a)= b-a/n ∑_k=1ⁿ (b-a/n k)²
• = b-a/n ∑_k=1ⁿ (b-a)^{2 n}k² + 2k
• = (b-a)² + (b-a)³ n(n+1)(2n+1)/6n³
• + (b-a)² n(n+1)/2n³
• -> (b-a)² + (b-a)³∑_k=6n
• ...

• ∫_a^b x² dx = 1/3(b³ - 1/3a³)

Verificare che il volume della sfera di raggio B si ottiene integrando il volume delle superfici sferiche delle sfere di raggio compreso tra 0 e B.

FUNZIONE

• xⁿ
• sin x
• cos x
• a^x
• 1/x
• 1/(1+x²)
• √(1-x²)
• 1/cos²x
• sgn x

PRIMITIVA

• xⁿ⁺¹/ (n+1)
• -cos x
• sin x
• a^x/ln a
• ln |x|
• arctan x
• arcsin x
• tan x
• |x|

NOTE

• n≠-1
• x≠0
• a>0 ∧ a≠1
• x≠0
• -1<x<1
• x≠π/2+kπ, k∈Z
• x≠0

METODO DERIVATA-INTEGRALE

1

∫ x² sin x dx

METODO PER PARTI:

f' = sin x

dunque

-cos x ∙ x² + ∫ 2x ∙ cos x dx = -x² cos x + 2 ∫ cos x ∙ x dx

NUOVAMENTE PER PARTI:

-2x cos x + 2 sin x ∙ -sin x ∙ sin x dx = -x² cos x + 2x sin x ∙ cos x - ∫ -x² cos x

METODO DERIVATA INTEGRALE

INTEGRALE DI PARTENZA

Otteniamo: -x² sin x + 2x ∙ sin x + ∫ -x² sin x + 2x ∙ sin x ∙ cos x - ∫

Quanto è lunga la tabella? Ci fermiamo.

1°STOP QUANDO IN UNA COLONNA COMPARE UNO 0

2

∫ x³ ln x dx

IN QUESTO CASO SI ANDREBBE AVANTI ALL'INFINITO:

2°STOP: QUANDO SAPPIAMO RISOLVERE UN'INTEGRALE DATO DA UNA LINEA

x⁴/4 ln x ⨀ ∫ -x³/4 dx = x⁴/4 ln x - x⁴/4 - x³/4 ∫ 3 ∫ dx = x⁴/4 ln x - x⁴/16 + C

x⁴/16 (4 ln x - 1) + C

-ln |x + 2|₀¹ + ln |x - 1|₀³ = ln 3/2 + ln 4/3 = ln 8/5

ES

¹∫_-4 1_/(x² - 2)² dx = ¹∫_-4 (x + √2)(x - √2) dx

Σ (x ∈ [-1; 1])

Campagno: ¹∫_-4 = A_{x + √2} + B_{x - √2}

= A(x - √2) + B(x + √2)

= (A + B) x + √2 (B - A)

A + B = 0

B - A = 1

A = ¹/_-2√2

B = ¹/₂√2

¹∫_-4 ^-1/2√2_{x + √2} dx + ¹∫_-4 ¹/2√2_{x - √2} dx =

= ¹/_4√2 ln |x + √2|_-4¹ + ¹/_4√2 ln |x - √2|_-4¹ =

= ¹/_4√2 (ln |√2 - 1_/√2 + 1|) - ¹/_2√2 ln |√2 - 1_/√2 + 1|

Cosa si può evincere dallo dell'integrale

⁶∫₃ p(x) dx dove p è un polinomio di grado 1 su z ?

ES

³∫₀ x + 3_/x² + 3x + 2 dx = ³∫₀ x + 2 + 1_/(x + 2)(x + 4)

= ³∫₂ (x + 1_/x + 2)(x + 1)

= ⁵∫₀ x + 2_/(x² + (x + 1)

= v. sopra

³∫₀ x + 3_/x² + 3x + 2 dx = ²/₃(2x + 3) + ²/₃ dx = ln |x + 1|

ES5: Studiamo l'integrabilità della funzione \([1,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}\)

\(x \mapsto x^a, a \in \mathbb{R}\)

Dobbiamo calcolare

\(\lim_{b \to +\infty}\int_{a}^{b} x^a \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[\frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_{x=a}^{b} = \)

\(= \lim_{b \to +\infty} \left( \frac{b^{a+1}}{a+1} - \frac{a^{a+1}}{a+1} \right) = \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{a^{a+1}}{a+1} & \text{se } a+10 \end{array} \right.\)

\(\lim_{b \rightarrow +\infty}\int_{a}^{b} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \rightarrow +\infty} \left[ \ln x \right]_{x=a}^{b} = \lim_{b \rightarrow +\infty} \ln b = +\infty \)

\(\Rightarrow\) la funzione in oggetto è integrabile su \([1,+\infty)\) se \(a