Calcolo Integrale

Calcolo Integrale

Parte 1

• Osservazione: Antiderivazione. Applicazione inversa della derivazione. Data una funzione f in un intervallo, trovare F tale che F' è la primitiva di f, quando derivo F ottengo f (f'=F').
• Nell'antiderivazione si ottengono infinite funzioni, per cui bisogna inserire il termine noto.

Esempio:

2x³ - 3x² + C

• Osservazione: Calcolo delle aree

Per calcolare l'area si considera la parte che si trova sotto la curva e l'asse delle x con estremi (a; b).

A(t) = area

Calcolo dell'area: (derivata della funzione area)

A(t+h) - A(t) = A(t) infinitesimo

h > 0

A_h → 0 P(t)

min(P(ϵ, t)) < (A(t+h)-A(t))/h < max(P(ϵ, t)). x

min f(t, t+h) < A(t+h)-A(t) < max f(t, t+h)

Solo se la funzione è continua

CALCOLO INTEGRALE

PARTE 1

OSSERVAZIONE: ANTIDERIVAZIONE, APPLICAZIONE INVERSA DELLA DERIVAZIONE. DATA UNA FUNZIONE F IN UN INTERVALLO, TROVARE F TALE CHE F È LA PRIMITIVA DI F, QUANDO DERIVO F OTTENGO F

NELLA ANTIDERIVAZIONE SI OTTENGONO INFINITE FUNZIONI PERCIÒ BISOGNA INSERIRE IL TERMINE NOTO

ESEMPIO: 2x⁵ x² c

OSSERVAZIONE: CALCOLO DELLE AREE

PER CALCOLARE L'AREA SI CONSIDERA LA PARTE CHE STA SOTTO LA CURVA E L'ASSE DELLE x CON ESTREMI a, b

A(t) = AREA

CALCOLO DELL'AREA (DERIVATA DELLA FUNZIONE AREA):

A(t + h) - A(t) = A(t) INFINITESIMO

SOLO SE LA FUNZIONE È CONTINUA

- SE β È CONTINUA ALLORA:

ESERCIZIO 1

A(t) = ∫_α^t ρ(x) dx

ρ(x) = (1/2)^m x ∈ [2m-1, 2m+1]

m > 1

∫₁⁷ ρ(x) dx = ∑_i=1³ ρ(x₀) (x_i+1 - x_i)

SOMMA DELLE AREE DEI RETTANGOLI

ESERCIZIO 2

A(t) = ∫_-2^t x dx = x²/2 - 2

L'AREA SI PRENDE CON IL SEGNO

Funzioni discontinue:

- Valutate a tratti saranno continue

P(x) = { x se x è ε [-2, 0]

             x + 1/2 se x ε [0, 3]

∫_-2³ P(x) dx = {

                       t²/2 - 2    t ≤ 0

                       t²/2 + 1/2 t + C    t > 0

                      &uparrow

                                                  ↑

INTEGRALE DEFINITO → INTEGRALE IN CUI SONO DEFINITI GLI ESTREMI DI INTEGRAZIONE

INTEGRALE INDEFINITO:

∫ P(x) dx     → QUA SI CALCOLA SOLO LA PRIMITIVA O MEGLIO, TUTTE LE PRIMITIVE

→ ∫ 1/x = ln|x| + c

PERCHÉ:

x < 0, ln|x| + C = ln( - x) + C

        ↑ D

        1/x · (-1) = 1/x

→ RICORDA:

2^x = e^x log 2

→ ∫α f(x) + β g(x) = α ∫ f(x) + β ∫ g(x)

ESEMPIO:

∫ 2e^x + 3cos x dx = 2 ∫ e^x dx + 3 ∫ cos x dx = 2e^x + 3 sen(x) + K

ESERCIZIO:

∫ |x| dx

x > 0

• x²/2 + c,          x > 0
• -x²/2 + c,   x ≤ 0

ESERCIZIO:

∫ x cosx dx

USO PER PARTI:

x = f,     f' = 1

cosx = g',    g = sen x

∫ x cosx =

= x sen x - ∫ (cosx) + c

= x sen x + cosx

INTEGRAZIONE PER PARTI:

∫ ( fg' ) dx  = ∫ fg' dx + ∫ f'g dx

fg = ∫ g dp + ∫ p dg

∫ g dp = fg − ∫ pf dg

PARTE 2

• F è un primitiva a ∫ sud I se F(a) = g(a) ∀ x ∈ I
• ∫_ω^t f(x) dx = F(t) - F(a) = [F(x)]_ω^t

INTEGRAZIONE PER PARTI:

∫ f'g dx = fg − ∫ gf'dx

Esempio:

∫ x² e^-x dx

e^x x² - ∫ e^x x² dx

e^x x² - 2 [ ∫ x - ∫ e^x ]

x² e^x - 2 e^x x + 2 e^x + C

e^x (x² - 2 x + 2) + C

f' = e^x f = -e^x

g = x² g' = 2 x

x = f g' = 1

e