Calcolo Integrale

CALCOLO INTEGRALE

PARTE 1

• OSSERVAZIONE: ANTIDERIVAZIONE, APPLICAZIONE INVERSA DELLA DERIVAZIONE. DATA UNA FUNZIONE f IN UN INTERVALLO, TROVARE F TALE CHE F È LA PRIMITIVA DI f. QUANDO DERIVO F OTTENGO f (RET). - NELL'ANTIDERIVAZIONE SI OTTENGONO INFINITE FUNZIONI PERCHÉ BISOGNA INSERIRE IL TERMINE NOTO

• ESEMPIO: 2x³ -> x² (C)

• OSSERVAZIONE: CALCOLO DELLE AREE

TRAPEZOIDE

A(t) = AREA

CALCOLO DELL'AREA: (DERIVATA DELLA FUNZIONE AREA) A(t + h) - A(t) -----------------                            INFINTESIMO           r R > 0

min p(t) < ------------------                 h ----------------- < max p(t) 0 , H -> 0

SOLO SE LA FUNZIONE È CONTINUA

- SE p è CONTINUA ALLORA :

A(t) = ∫ p(x) dx

ESERCIZIO :

INTERVALLO DI VARIAZIONE DI x

p(x) = (1/2)^m x ∈ [2m-1, 2m+1] m > 1

∫₁² p(x) dx

SOMMA DELLE AREE DEI RETTANGOLI

∑_i=1³ p(x_i)(x_i+1-x_i)

ESERCIZIO :

A(t) = ∫_-2^t x dx = x²/2 - 2

L'AREA SI PRENDE CON IL SEGNO

AREA NEGATIVA

FUNZIONI DISCONTINUE :

- VALUTATE A TRATTI SARANNO CONTINUE

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE:

∫f(g(x)) = ∫f'(g(x)) ∙ g'(x)

∫f(g(x)) d(g(x)) = F(t) d(t) = F(t) + c → F(g(x)) + c

t = g(x)

ESEMPIO:

∫tg(x) dx = ∫tg( _sen(x) /_cos(x) ) dx = ∫1 / cos(x) d(−cos(x))

= −∫1 / cos(x) d(cos(x)) = −∫1 / t d(t) = −ln|t| + C

cos x = t

= −ln|cos x| + C

ESEMPIO:

∫(2x)cos(x²) dx / (1 + sen(x²))² = ∫(cos(x²)) d(x²) / (1 + sen(x²))²

= ∫1 / (1 + sen(x²))² d(sen(x²) + 1) = ∫1 / t² dt = ∫t⁻² dt

QUANDO PORTO FUORI DENOMIN. E LE COSTANTI, SI ANNULLANO

= [ −1 / t⁻¹ ] + C = [ −1 / 1 + sen(x²) ] + C

ESEMPIO:

INTEGRAZIONE FUNZIONE RAZIONALE

∫^x dx / √x^{2 − 1} = ∫t ^x 2 tdt / (t^{2 − 1})

2∫t / (t^{2 − 1}) dt

dx / 2 0

_≥∫^+∞ e^x2 dx ≤₁ ∫^+∞ e^-x dx = 1/e

HO DIMOSTRATO CHE CONVERGE E CHE INTERVALLO SI TROVA.

PARTE 3

₀∫^+∞ ( ^ex/_e^x+1 )⁵ / x^a (log_e(1+x) )² dx

OVER PER QUALE α'è CONVERGENTE?

SUPPONGO:

_a∫^b p(x) dx

p(x) > 0 p continuo in (a,b]

g(x)>0 ->0

lim_x x-a ^f(x)/_g(x) = l ∈ (0.+∞

> p(x) ∼ l, g(x)

_b∫^p(x) x converge

Esercizio:

∫ ln(x/2) + ^x2 dx / (2x² - 8)

2(x² - 4)i

∫ ln(x/2) - u_v + x² / 2(x² - 4) dx

= 1/2 ∫ (x² + 4) / x² - 4 dx = ∫ ¹/₂ dx + ∫ ^x2 / (x² - 4) dx

1/2 [ x + ∫ ^A/_{(x + 2)} + ^B/_{(x - 2)} ]

A(x - 2) + B(x + 2) A + B = 0 A = -B 2A + 2B = 0 2B + 2B = 4 B = 1

1/2 [ x + ∫ ¹/_{x + 2} dx + ∫ ¹/_{x - 2} dx ]

1/2 [ x - ln|x + 2| + ln|x - 2| ]¹₁

1/2 [ -ln(3) + ln(1)] - ( ^-1/_-1 [ln 1) + ln(-3)])

1/2 [ 2 - 2ln(3) ] = 1 - ln(3)