Calcolo integrale

CALCOLO INTEGRALE

Vogliamo calcolare l’area di una porzione di piano definita come sottografico di una funzione:

In realtà, calcoleremo l’area con segno

Definizione = sia I = [a, b] un intervallo di R. Definizmo partizione di I un insieme della forma:

Scriveremo e chiameremo somma della partizione il valore

per indicare

Graficamente =

Definizione = sia I = [a, b]; sia P una partizione di I . Sia f una funzione dfinita su I . Chiameremo:

Somma inferiore di Reimann =

Graficamente = Per definizione di inf e sup abbiamo:

e P due partizioni di I . Allora:

Proposizione = sia f una funzione su I = [a, b]. Siano P

Corollario = fissato I ed f:

Graficamente =

Definizione = sia f: [a, b] limitata, allora diremo che f è Reimann integrabile quando

e indicheremo il valore comune con il simbolo:

detto integrale definito di f su [a, b].

Teorema di caratterizzazione della integrabilità di una funzione = sia f una funzione limitata su [a, b]. Allora le seguenti proprietà

sono equivalenti: f è integrabile su [a, b] nel senso della definizione precedente

una successione di partizione

una successione di parrtizione

una partizione P di [a, b] t.c.

P partizione di [a, b] nel caso tutti i valori “c” coincidino con

Notazioni =

Proprietà degli integrali definiti = siano f, g: [a, b] R, limitate ed integrabili su [a, b]

Teorema sulle classi di funzioni integrabili = una funzione limitata. Se f verifica una tra le seguenti proprietà:

f sia monotona su [a, b]

f ammette al più un numero finito di discontinuità

Allora f è integrabile su [a, b]

Sia f una funzione crescente su [0, 1] dimostro che sia integrabile su [0, 1]

Dimostrazione = solo Poichè sono in R, la f è limitata

Verifichiamo che f sia limitata: per crescenza abbiamo

Per mostrare l’integrabilità della f usiamo il teo di caratterizzazione. Allora abbiamo:

Analogalmente:

Calcoliamo

Ovviamente:

Applicazioni = Le funzioni elementari:

sono tutte continue sul proprio dominio naturale. Allora ciascuna di esse è integrabile su ogni intervallo della

forma [a, b] che sia sottoinsieme del proprio dominio naturale

Dimostrazione alternativa per l’integrabilità delle funzioni elementari: uso il punto del teorema precedente.

Nel caso in cui non siano monotone su tutto il proprio dominio naturale suddivido l’intervallo di integrazione in

intervalli dove la f è monotona ed uso la proprietà

R limitata ed integrabile. Denotiamo Allora:

Teorema delle medie integrali = sia f: [a, b]

Se f è anche continua su [a, b] (cioè f Allora:

Geometricamente = Il teo della media assicura che le due aree siano uguali

Sappiamo Allora applicando due volte la proprietà 3 otteniamo

Dimostrazione = Divido tutto per (b-a) ed ottengo:

Abbiamo:

Supponiamo f abbiamo:

Dal punto Inoltre

Allora per un corollario del teorema dei valori intermedi, deve esistere almeno un c

Teorema fondamentale del calcolo integrale = sia f: [a, b] R. Una funzione limitata il integrabile. Sia f continua in x

Allora F è derivabile in x con

Introduciamo una nuova funzione

Dimostrazione = innanzitutto dobbiamo mostrare che la F è ben definita. In effetti: f integrabile su [a,b] (Proprietà

Quindi F è ben definita come funzione F: [a,b]

Dimostriamo: Dobbiamo mostrare:

Quindi donbiamo mostrare che:

Osserviamo: Sappiamo che f è continua in x cioè

Questo implica per la proprietà

Osservo che le funzioni integrande agli estremi sono costanti:

Sostituendo queste due uguaglianze otteniamo:

Allora dai due otteniamo:

Allora la funzione:

Corollario = se f verifica:

Basta applicare il teorema fondamentale

Dimostrazione = Abbiamo, per definizione di F: Ma inoltre poiché Quindi

Notazioni = E poi calcolare

Conseguenza = se voglio calcolare basta trovare una funzione

Definizione = sia I un intervallo. Sia f: I Allora diremo che F è una primitiva di f su I .

R una funzione derivabile con detto integrale indefinito di f

L’insieme delle primitive di f è denotato con il simbolo È un valore di R

N.B. = Integrale definito = area-con-segno di un sottografico

Integrale indefinito = insieme di funzioni F t.c. F’=f

Teorema = siano F e G due primitive della stessa funzione f sullo stesso intervallo I . Allora

(Cioè F e G differiscono di una costante su I ) abbiamo:

Dimostrazione = siano F e G come nell’enunciato. Allora:

Per il teorema di caraterizzazione delle funzioni costanti, deduciamo che H(x) è una

Quindi

funzione costante: al variare di c dove F è una qualche primitiva di f

Corollario = se I è un intervallo, allora:

basta trovare UNA primitiva di f e poi sommarle la costante

Conseguenza = per trovare

Tabella integrali indefiniti delle funzioni elementari =

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale (e sue conseguenze) abbiamo la seguente regola: per calcolare basta

dove F è una qualche primitiva di f cioè

calcolare

Integrazione per parti = sappiamo dal teorema sulle derivate del prodotto che vale quindi:

Quindi fg è una primitiva di quindi:

formula di integrazione per parti di integrali indefiniti

formula di integrazione per parti di integrali definiti

Integrazione per sostituzione = sia f R una sua primitiva (la cui è assicurata dal teo fondamentale).

Sia F: [a,b] Allora è ben definita la funzione:

Sia una funzione

Per il teorema sulla derivata della composta abbiamo:

Allora abbiamo: è primitiva di

Quindi

Quindi Formula di integrazione per sostituzione degli integrali

indefiniti

Regole mnemoniche = Inoltre se Formula di integrazione per parti per integrali definiti

è invertibile abbiamo anche:

Infine, se

Integrazione delle funzioni razionali = vogliamo integrare una funzione della forma dove P(x) è un polinomiodi grado

e Q(x) è un polinomio di grado

Passo 1: se posso dividere i due polinomi ed ottenere: dove R(x) è un

polinomio di grado (n-m) (e so integrarlo) e N(x) è un polinomio di grado

Passo 2: dobbiamo integrare

Caso m=1: grado del denominatore è 1, il grado del numeratore è deve essere

Quindi denom = ax+b, num = c

Caso m=2: in questo caso il denominatore della forma

Il numeratore della forma

La casistica dipende da quanti zeri hai il denominatore Q(x) in R

Sostituzioni canoniche = INTEGRALI GENERALIZZATI

Integrali generalizzati (o impropri) = La definizione di funzione Reimann-integrabile richiede almeno: f limitata

Dominio di integrazione limitato

Adesso: voglio estendere questa definizione anche a casi di:

Funzioni illimitate

Domini di integrazione illimitati:

Quindi voglio calcolare l’area di porzione illimitata del piano

Sia f una funzione definita su (a,b]. Sia f integrabile su ogni intervallo della forma [c,b]

Definizione = sia a Allora diremo che f è integrabile in senso improprio (o generalizzato)

sull’intervallo (a,b]. E chiameremo integrale generalizzato il valore del limite

Analogamente per funzioni definite su intervalli [a,b) con b

converge quando il limite è finito e diverge quando il limite è

Infine diremo che l’integrale generalizzato

Proprietà degli integrali generalizzati = 1) La definizione di integrale generalizzato coincide con quella “classica” di integrale di

Reimann quando la funzione integranda è limitata e l’insieme di integrazione è un

intervallo chiuso e limitato

2) se f e g sono due funzioni integrabili in senso improprio su [a,b] allora anche

È integrabile in senso improprio su [a,b] e vale:

3) se f: [a,b] R è integrabile su [c,b] il carattere di

coincide con quello di

1º generalizzazione = siano a R Sia f: (a,b) R una funzione integrabile su ogni intervallo [c,d] (a,b).

Diremo che f è integrabile in senso improprio su (a,b) quando: preso arbitrariamente x (a,b), la funzione f

è integrabile in senso improprio su (a, x ] e su [x ,b) separatamente. In questo caso scriveremo:

N.B. = sono due integrali impropri: quindi

Osservazione = il valore di NON dipende dalla scelta di x

Sia f una funzione definita su (a,b) con a=x

2° generalizzazione = siano a

Diremo che f è integrabile in senso improprio su (a,b) quando essa è imntegrabile in senso improprio su

ciascun intervallo e scriveremo: sono tutti integrali in senso

improprio come nella generalizzazione 1

Definizione = sia f: (a,b) R una funzione. Diremo che f è “assolutamente integrabile” su (a,b) quando la funzione |f(x)| è

integrabile su (a,b). In questo caso diremo che è assolutamente convergente

Criterio della convergenza assoluta = sia f: (a,b) R. Se f è assolutamente integrabile su (a,b), allora è integrabile su (a,b) cioè:

Criterio del confronto = siano f, g: (a,b) R due funzioni integrabili su ogni intervallo [c,d] (a,b) e t.c. :

Allora:

Osservazioni =

Criterio del confronto asintotico = siano f, g: (a,b] R due funzioni integrabili su ogni intervallo [c,b] con c (a,b) e positive.

Si abbia inoltre . Allora:

coincide con quello di

Il carattere di

dove I è intervallo anche illimitato:

Strategia = per studiare il carattere di

Passo 1: individuare tutti i punti di integrazione impropria di f sulla chiusura di I .

Passo 2: studio il comportamento di f vicino a ciascun pt di integrazione impropria usando:

- criterio del confronto asintotico con sviluppi di Taylor

- criterio del confronto asintotico confrontando la nostra funzione iniziale con una “funzione campione”

Funzioni campione = R, allora sicuramente

Osservazione = se f è prolungabile per continuità in x=a

Proposizione: derivata di una funzione integrale = sia f una funzione continua. Siano g, h due funzioni derivabili, allora la funzione

è derivabile e verifica:

Dimostrazione = sia f una primitiva di f. Allora per il teo fondamentale del calcolo integrale, abbiamo:

Allora per il teo sulla derivata della composta:

Ricordo che F è primitiva di f quindi F’=f ed ottengo:

Integrazione delle funzioni razionali con denominatore di grado 3 = vogliamo integrare

dove P(x) è un polinomio di grado n e Q(x) lo è di grado 3

dove R è un polinomio di grado n-3

Passo 0: se n 3: procedo con la divisione. Quindi: P è un polinmio di grado

Ci siamo ricondotti a

Passo 1: decompongo Q(x) in fattori irriducibili. Poichè Q(x) ha grado 3 e coefficienti reali, un corollario del

teorema fondamentale dell’algebra assicura che Q(x) ha almeno uno zero reale. (Gli altri due possono

essere o entrambi reali o complessi coniugati)

Caso 1: Q(x) ha 3 zeri reali coincidenti:

Esempio: Ha 3 zer reali coincidenti

Il denominatore è

Dobbiamo trovare A, B, C R t.c.

Quindi:

Coeff

Allora

Caso