Calcolo integrale

Calcolo dell'area sottesa

Data una funzione g(x) continua in [a;b] e g(x) > 0 ∀ x ∈ [a;b], vediamo come calcolare l'area sottesa A [a;b].

Problema geometrico: calcolo dell'area

Procedo per approssimazioni:

Metodo di approssimazione con il teorema di Voulli

Partiziono (divido) l'intervallo [a;b] in n sottointervalli ordinati numerandoli in modo crescente tra a e b, i.e. i = 1, 2, ..., n + 1. Il generico intervallo sarà denotato per il f-esimo sottointervallo (xi, xi+1). All’interno di ogni (xi, xi+1) seleziono un punto d’ascissa θi (arbitrario). Costruisco trapezi o rettangoli con base (xi, xi+1) e altezza g(θi). Ne risulta una serie detta somma di Riemann:

ⁿ∑_i=1 Ri (Area-god) → Sn = ⁿ∑_i=1 (xi-xi-1) • g(θi)

N.B.: La somma di Riemann dipende dall’ampiezza di detti intervalli, detta partizione scelta, e dai θi scelti. La funzione p.g è R-integrabile su [0,1] se lim n→∞ ^∑m_i=1(xi-xi-1) • g(θi) è un numero finito ed è indipendente dalla partizione e dalla scelta dei θi purché tenda a 0 l’ampiezza del massimo intervallo.

N.B.: La definizione anche se più pratica, è utilizzabile sempre, ma necessaria quando per punti calcoliamo positivi.

Verifica di non R-integrabilità

Esempio: Verifico che g(x) non è R-integrabile.

Funzione di Dirichlet:

• 1 se x è razionale
• 0 se x è irrazionale

Studiato su [0,1], I = [0,1] a fianco delle divisioni - x₀ (mezzo) g(x₀) = 0 ; lim g(x₀) x^*/ (mezzo) g(0) = 1 ; lim g(x).

Passaggi di calcolo per l'area A

1. Come si può calcolare l'area A? Procedo per approssimazioni. Partizione di [a;b] in n sottointervalli equidistanti individuando n+1 punti equidistanti tra a e b. i.e. i = 0, 1, 2, ..., n.
2. a) _{x0 x1 xi xi+1 xn} x₀ = a x_i = x_i-1 + δ di tale partizione otteniamo il i-esimo sottointervallo [x_i; x_i+1].
3. All'interno di ogni (x_i; x_i+1) seleziono un punto che chiamo Θ_i (arbitrario).
4. Costruire un trapezoide con base (x_i; x_i+1) e altezza g(Θ_i).

Da somma di tali aree si ottiene: somma di Riemann (SdR)

∑₌₀ ⁿ R_i (Aureogob) = S_n = ∑₌₀ ⁿ (x_i - x_i-1) • g(Θ_i)

N.B.: Le somme di Riemann stipulano dei limiti di intervalli detti partizioni scelte e punti Θ i scelte.

Definizione di R-integrabilità

f è R-integrabile su [0, 1] se lim_n→∞ ∑₌₀ ⁿ (x_i - x_i-1) • g(Θ_i) è un numero finito ed è indipendente dalla partizione e dalla scelta dei Θ i purché tendano a 0 ampiezza del massimo intervallo.

N.B.: La definizione appena data è più pesante, va utilizzata sempre nel necessito. Idente per funzioni continue positive.

lim _n→∞ S_x = A

Verifica di non R-integrabilità

Esempio: verifica che g(x) non è R-integrabile.

g(x) funzione di p(x)

1. p se x è razionale
2. ε = 0 se x è irrazionale

Studia g(x) su (0, 1] iodata e a potenziale simb. g(x) è ^{disc. umuni} in (equilk:)

x (x₀)^1/2/2 = g(x₀) 0 ^if/except legitimate.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

1. hp. 1 f(x) continua e integrabile in [a,b].
2. 2 dato F(x) una primitiva di f(x) su [a,b].

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Dimostrazione

[a,b] è dato e lo partizioniamo in n+1 x_i. Indice di x_o e b x_n. F(b) - F(a) = ∑_i=1ⁿ[F(x_i) - F(x_i-1)].

F(x_i) - F(x_i-1) = F(c_i)(x_i - x_i-1).

∑_i=1ⁿ[f(c_i)(x_i - x_i-1)].

lim S_n = ∫_a^b f(x) dx.

N.B.: integrale definito = ∫_a^b, indefinito = ∫

Esercizi: Ricerca di Primitive (= Integrali Indefiniti)

∫ ε^x g(εx)^' - g(x)^' dx = g(εx) + C

1. ∫ cos x • sen x dx
2. ∫ ε^3x dx = 1/3 ε^3x + C
3. ∫ ε^3x dx = ε^3x/3 + C
4. ∫ 1/√x dx = 2√x + C
5. ∫ √(2x)dx = 1/2 √(2x + 1) + C
6. ∫ 1/(2x+3) dx = ln |2x+3|/2 + C
7. ∫ 1/(ax+b) dx = 1/a ∫ 1/(ax+b) dx = 1/a ln |ax+b| + C
8. ∫ g(x)^'/g(x)^''dx = ln |g(x)| + C

N.B.: Caso particolare: g(x) = ln(x)

∫ lnx dx = x lnx - x + C

10. ∫ tg x dx = -sen x + C
11. ∫ (3x) = 3/16x + C(3x + 1) + C

Integrali di funzioni razionali fratte

∫ ad x + b dz / a u x² + b x + c

Risolvere integrali razionali

CASO 1) a u x² + b x + c o u (x-λ₁) (x-λ₂)

∫ A/(x-λ₁) + B/(x-λ₂)

ES. ∫ (x+4)/(2x²-6x+4) dx

(x-1)/4 = A

4/4(.5)•(-4/3)

- 1/2 ln| (2x²-6x+4)/A [B 3/2 ln x+4] |+ ...

CASO 2)

A (Num. denominatore) + B

ES. ∫ (2 x - 4)/(2 x² - 6 x² + 9)

- 1/2 ln (2 x² - 6√2 x + 9)

CASO 3)

3.1 ∫ dx / √(x²+bx+c)

Primitiva ∫ dx / ax²+bx+c

x²+bx+c = (x+β)² + γ Δ = b² - 4ac | logaritmo | arcoseno

∫ dx/(x²+bx+c) = β√(x₂x+β)/(βx/γ x +1)√ = - β arcoth (x+0) / β− β arcoth (x + 0) / β + c

ES ∫ x²+ +4

Trovo a,e, p : (x+2) = 2² Δ = 0=2²√ ∫ x² +4x² - (x+2) x² / /√(x+2)-β β = 2== α - 4 x + 2 = -2;4(x+4)² = 3/4=-2arcchxβ 2x / 4√ = (x⁴)β+c

3.2) ∫ dx / 2x dx ΔΔx² x ∫+c = x² C (x=+1) 2 / ax²+bx+c-- arcoth. c / ES ∫ x² x²Δ    2A−√ /√Δx/2

Resolvi integrale x/2= 1/ 3 x+ 1/3

Integrali con rapporti di polinomi

∫ A(x)/B(x) dx con n=grado di A(x)>m grado di B(x)

1. Eseguo la divisione dei polinomi: A(x)/B(x) = Φ(x) + R(x)/B(x)

Grado di A(x)=n=m, Grado di R(x)