Calcolo integrale

INTEGRALI

Data una funzione g(x) continua in [a;b] e g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a;b]

Problema (geometrico): Calcolo dell'area Sottesa A(g)

Come si calcoli tale area Sott. Procedo per approssimazioni. 1) Partizionare l'intervallo [a;b] in n Sottintervalletti quedisì indicando col 1° punto suddiviso da quelli e:i X0 < X1 < ... < Xn

Il che equivale ripetere ∆i intervalli + l'estremo (X_i - X_i-1)

2) All'interno di ogni [X_ii;X_i-1] selezionare un punto θi (arbitrario)

3) Calcolare l'area del rettangolo coi lati (X_i - X_i-1) e altezza g(θi) da cui ne ho Sottellaic SOMMA di RIEMANN (Sn^RI)

Σ_i=1ⁿ R_i (rettangolo ) → Sn^RI = Σ_i=1^{n (}X _i - X_i-1) · g(θi)

N.B.: da questa ai riunita appross del numero di rettangoli, detta partizione scelta e dai θi scelti

g(x)

(grafico)

θi

a b

Si; R-integrabile su [a;b] se lim n → Σ_{i=1ⁿ (Xi-Xi-1) · g(θi)}

è un numarof FINITO E's indipendente dalla partizione e dalla scelta dei θi pure Che TENDA A 0 l'ampiezza del Massimo intervallo

N.B.: [X_i - X_i-1]

lim siA_xf(x) si partizione è pari

Es. Verifica che g(x) NON E' integrabile

g(x) funzione di g(x) = 1 se x è razionale 0 se x è irrazionale

Studio g(x) su [0;1] ogni idea distribuzione =

(grafico)

x ∈ (0;1/2) (0 < x ≤ 1/2) (Y = 2 [X0X •••]

1) Costruisco sul [a;b] (X)

per semplicita poniamo una partizione (O) : che suddivide in n intervalli di uguale misura dx e l'ampiezza di cioe particelle

Dove:

2. ₀ = '
²=< 2

A=) Le loro ampiezze:

B=) E tutti i valori:

A)= S= xr*dx =A ; xr

P=) La relativa ampiezza:

C) F(VA)

Problema 2 (analitica)

Primitiva

Dati una funzione y=f(x) in (a;b), chiamiamo primitiva F(x) si B(x)

ogni funzione: F1 y = e (a;b).

• calcolo delle primitive

La operazione di derivazione é una operazione lineare l - l

Es): calcolo delle primitiva

Notazione

F(x) = cons (x)+ c F(x)= cos x/4. Q F())

es1 e sen 2F)

1. -cos x
2. -diviso 4

INTEGRALI CON RAPPORTI DI POLINOMI

∫ A(x) / B(x) dx con il grado di A(x) ≥ m grado di B(x)

1. Eseguo la divisione dei polinomi: A(x) / B(x) = Φ(x) + R(x) / B(x) Grado di A(x) = k > m Grado di R(x) < m
2. Integrali particolareggiati: ∫ A(x) / B(x) dx = ∫ Φ(x) dx + ∫ R(x) / B(x) dx N.B.: ∫ Φ(x) dx è immediato
3. Osservo le radici di B(x): Δ > 0 ^A\(Δ_{1}\) \pagination{} _{B\pagination_em_{2}} Δ = 0 ^{(x-A)^{m}}_(x-A)^{2} Δ < 0 Radici complesse che evidenziano un fattore che è la derivata di arcta

INTEGRAZIONE PER PARTI (P.P.)

È una conseguenza della regola del calcolo del prodotto: coefficiente di primitiva di \int u dx \int v^2 dx = - \int coefficiente di primitiva di

\int g si q^3 dq \int q^3 si dq = fq^8 dx \int {2\,3\,4^4 dx =fq^5\,8\,3\,3\,4 \int g = f(x)g dx

∫ ĝ\\\\dx) dx = g( =i- \int g dx

ESEMPI TIPICI

1. P(ˆ)òiųżmñico-trigonometr.) ∫ dx-dx dx + C
2. POLINOMIO·ESPONENZIALE ∫ x^4\times2e.dx = ∫ éx\( c dx
3. Pòū©‰trigonomet.}
4. TRIGONOM·ESPON.+ ∫\∫g ∫ ^ + \right) sin(g

ESEMPI TIPICI

1. POLINOMIO + ∫e^(x cosx. dx = ∫dx = ∫e\(ex{ex sin)}\)