Calcolo integrale

INTEGRALI

INTEGRALI INDEFINITI

Abbiamo dato f → f’

Problema inverso: calcolare F

Primitiva (o antiderivata)

Sia data una funzione

f: I → R

diciamo che F: I → Rè una primitiva (o antiderivata) di f se F’ è derivabile e F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I

ex.

f(x) = x ⇒ F(x) = ½ x^2

f(x) = sin 3x ⇒ F(x) = −⅓ cos(3x)

f(x) = 1 / x^2 ⇒ F(x) = −1 / x

F(x) = x ⇒ F’(x) = f(x) = 1

G(x) = x + 7 ⇒ G(x) = f(x) = 1

In generale R(x) = x + cont. R’(x) = f(x)

Se F è una primitiva di f⇒ F + c è una primitiva di f.

Teorema: f: I → R I intero

Se F₁ e F₂ sono primitive di f allora esiste c è R t.c. F₁(x) = F₂(x) + c ∀ x è I

Viceversa se F₁ è una primitiva di f e c è R allora F₂(x) = F₁(x) + c è una primitiva di f

dim.

Sono F₁, F₂ due primitive di f

Provero che

F₁(x) - F₂(x) è costante

\[ \frac {F₁(x) - F₂(x)}{x} = 0 \] → \[ F₁(x) - F₂(x) = f(x) - f(x) = 0 \]

→ F₁ - F₂ = cost

Sia data f: I → RL'insieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f in I e si indica

\[ \int f(x) \, dx \] La funzione f è detta integranda

• \[ \int f(x) \, dx = [F(x) + c] : F'(x) = f(x) \, \forall \, c \, è \, R] \]

\[ \int x^n dx = \frac {x^{n+1}}{n+1} + c \quad n \ne -1 \]

• \[ \int \frac {1}{x} \, dx = \ln |x| + c \quad \rightarrow \quad I = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
• \[ D[ \ln |x| ] = \frac {1}{x|} \, D[\ln[x]] = \frac {1}{|x|} \, \text{segno}(x) \]
• \[\text{segno}(x) = \begin{cases} 1 & \text{if} \, x > 0 \\ -1 & \text{if} \, x < 0 \end{cases} \]

Se n < k

• Denominatore di I grado

∫ ^c/_ax+b dx = ^c/_a ∫ ^a/_ax+b dx = ^c/_a ln|ax+b| + cost

∫ ²/_3x+5 dx = ²/₃ (ln|3x+5|) + cost

• Denominatore di II grado: ax²+bx+c

A) due radici distinte

B) denominatore quadrato perfetto

C) denominatore con n.: annulle na.

A)

∫ ^x+2/_(x-2)(x+3) dx

= ^x+2/_(x-2)(x+3) = ^A/_x-2 + ^B/_x+3 =

^{A(x+3) + B(x-2)}/_(x-2)(x+3)

= ^{Ax + 3A + Bx - 2B}/_(x-2)(x+3)

A + B = 1

3A - 2B = 2

=> A = ⁵/₅

=> B = ⁵/₅

∫ ⁴/₅ ¹/_(x-2) dx + ∫ ¹/₅ ¹/_(x+3) dx = ⁴/₅ ln|x-2| + ¹/₅ ln|x+3| + c

ex.

∫ ¹/_x²-4 dx = ∫ ¹/_(x-2)(x+2) dx

espansione ^A/_x+2 + ^B/_x-2 =

= ^{A(x-2) + Bx+2}/_(x+2)(x-2)

[ A + B = 0

-2A + 2B = 1 ]

A = -²/₁

B = -²/₁ ]

∫ -¹/₄ ¹/_x+2 dx + ∫ ¹/₄ ¹/_x-2 dx = -¹/₄ ln|x+2| + ¹/₄ ln|x-2|

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

[a; b] ℝ continua f ∀ x ͠ [a; b]

I_a(x) = area della regione tra a e x

I_a(x) = ∫_a^xf(t)dt

I_a(b) = ∫_a^bf(t)dt

1. Teorema di Torricelli

I_a(x) è una primitiva di ƒ cioè I_a(x) è derivabile e I'_a(x) = ƒ(x) ∀x ͠ [a; b]

dim. calcolo il limite del rapporto incrementale I_a(x)

I_a(x+h) - I_a(x) = ∫_a^x+hf(t)dt - ∫_a^xf(t)dt = ∫_x^x+hf(t)dt

I_a(x+h) - I_a(x) / h = 1/h ∫_x^x+hf(t)dt

∃ X₁ ͠ (x; x+h) f.c. 1/h ∫_x^x+hf(t)dt = f(x_h)

media integrale [x; x+h]

I_a(x+h) - I_a(x) / h = ƒ(x_h)

calcoliamo il limite per h⇒0

lim_h→0

X₁ = x

ƒ continua lim_h→0 ƒ(x_h) = ƒ(x)

I'_a(x) = lim_h→0 (I_a(x+h) - I_a(x)) / h = lim_h→0 ƒ(x_h) - ƒ(x)

I'_a(x) = ƒ(x)

x ͠ [a; b]

II tipof continua in (a; b] , illimitata verso ad a.L'integrale improprio è definito da ∫_a^b f(x)dx = lim_c→a⁺ ∫_c^b f(x)dx

Analogamente∫_a^b f(x)dx = lim_c→b^- ∫_a^c f(x)dx

con -1 < n < 0 lim_c→0⁺ ∫_c^b xⁿ dx +∞

ex.

1. ∫₀^b x^-1 dx = lim_c→0⁺ ∫_c¹ x^-1 dx =lim_c→0⁺ [ln x]