Calcolo differenziale di funzioni a più variabili

R R,

Si dice Derivata Parziale di f rispetto ad x (i = 1, . . . , n), nel punto x il

i

limite, se esiste finito, −

∂f f (x , . . . , x + h, x , . . . , x ) f (x , . . . , x , . . . , x )

1 i i n 1 i n

(x) = lim

∂x h

h→0

1

Altri simboli usati:

ˆ ∂x f (x)

i

ˆ ∂ f (x)

i 2

ˆ f (x)

x

i

ˆ D f (x)

x i

1.2 Interpretazione geometrica

2

⊆ →

n = 2, f : A R R

x = (x , x )

z = f (x , x ) punto 1 2

1 2

g(x ) := f (x , x )

1 1 2 ∂f

′

∃g (x , x )

Supponiamo che (x ) = 1 2

i ∂x 1

z = f (x , x )

1 2

P = (x , x , f (x , x ))

1 2 1 2

g(x) = z = f (x , x )

1 2 (

z = f (x , x )

1 2

→

curva →

x = x piano

2 2

∂f

′

g (x ) = (x) è il coefficiente angolare della retta tangente al sostegno della

1 ∂x 1 x nel punto P = (x , x , f (x , x ))

curva intersezione tra il grafico di f e il piano x = 2 1 2 1 2

2

xy

Es. f (x, y) = xe

2

domf = R

f continua su R

ˆ ∂f xy xy

(x, y) = e + xye

∂x

ˆ ∂f 2 xy

(x, y) = x e

∂y

f ammette derivate parziali in tutto il dominio

1.3 Definizione

n

⊆ →

Sia f : A R R

3

̸

Fissato v = 0 in , si chiama Derivata Direzionale di f lungo v in x:

R −

+ hv) f (x)

∂f f (x

(x) = lim ,

∂v h

h→0

se il limite esiste finito.

Osservazione Se v = e , con e versore della base canonica, ovvero

i i

e = (0, 0, . . . , 1 (i-esima posizione), 0, . . . , 0), allora he = (0, . . . , h (i-esima posizione), 0, . . . , 0),

i f (x ,...,x +h,x ,...,x )−f (x) ∂f

∂f 1 i i+1 m

e si ha: (x) = lim Si denota con: (x)

h→0

∂e h ∂x

i i

3

|x|y x = (0, 0)

Es. Sia f (x, y) = e sia v = (1, 2) con

3

∂f

Calcolare (0, 0)

∂v

2 ∈

domf = , e (0, 0) Int(dom f ).

R −

f ((0, 0) + h(1, 2)) f (0, 0)

∂f (0, 0) = lim

∂v h

h→0 −

f (h, 2h) f (0, 0)

= lim h

h→0 3

|h|(8h −

) 0

= lim h

h→0 3

|h|8h

= lim = 0.

h

h→0

1.4 Differenziale a ⊆ →

In dimensione n = 1, 1 formula dell’incremento finito: f : A R R,

′

− →

∈ x, f (x + h) f (x) = f (x)h + o(h), h 0,

overlinex Int(A), f derivabile in

se trascuriamo infinitesimi di ordine superiore al primo, l’incremento f (x +

− in un intorno di x può essere approssimato dalla funzione lineare

h) f (x)

′ →

φ(h) = f (x)h, φ : R R

′

φ(h) = f (x)h è detto Differenziale di f in x e si denota con d f o df (x).

x

4

1.5 Definizione

n

⊆ → ∈

Sia f : A e sia x Int(A). Si dice che f è Differenziabile in x se

R R n →

esiste una funzione Lineare φ : tale che

R R n

− → ∈ →

+ h) f (x) = φh + o(||h||) per h 0, h , dire che h 0

(D) : f (x R

p 21 2

· · · →

||h − → ⇐⇒ + + h 0

h

=⇒ 0|| n

n n

→ ⇐⇒ ∃α ∈ |

φ : lineare = (alpha , . . . , α )

R R R

1 n

· · · ·

φ(h) = α h = α h + + α h )

1 1 n n

f (x+h)−f (x)−φ(h)

⇐⇒

(D) lim =0

h→0 ||h||

φ(h) è detto Dfferenziale di f in x, denotato con d f, df (x)

x

1.6 Interpretazione geometrica

n =2

Sia f differenziabile in (x, y)

·

varphi(h) = (α, β) (h , h ) = αh + βh

1 2 1 2

( ( −

x = x + h x

h = x

1 1

=⇒ −

y = y + h h = y y

2 2

p 2 2

||h|| − −

= (x x) + (y y) p 2 2

− − − − − −

(D) diventa f (x, y) f (x y) = α(x x) + β(y y) + o( (x x) + (y y) )

p 2 2

− − →

(x x) + (y y) 0

per

A meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, il grafico di z = f (x, y) si puù

approssimare in un intorno di P = (x, y, f (x, y)) a z = f (x, y)+α(x−x)+β(y−y)

1.6.1 Definizione

Il piano π è detto Piano Tangente a f in P .

1.6.2 Teorema

n

⊆ → ∈

Sia f : A x Int(A).

R R, · · · ·

Sia f differenzibile in x e sia d f (h) = α h = α h + + α h , allora f

x 1 1 n n

̸

ammette derivata direzionalelungo qualunque diresione v = 0 in x e vale

∂f · · · ·

(x) = α v = α v + + α v

1 1 n n

∂v

∂f ∀i

In particolare, (x) = α , = 1, . . . , n e dunque:

1

∂x

i

∂f ∂f

· · ·

d f (h) = ) + + )

(xh (xh

x 1 n

∂x ∂x

1 n 5