Analisi (calcolo 1)

Funzione

Siano X, Y due insiemi. Si dice funzione da X in Y una relazione f in X×Y tale che: ∀x∈X ∃! y∈Y in relazione con x, altro insieme {y∈Y | (x,y)∈g⇒xϵf(x) 1.

Restrizione

Sia f:X→Y, Z⊆X; l'esistenza definita g: Z→Y e g(x) =- f(x) ∀x∈Z.

Successione

Applicazioni definite su N e si scrive semplicemente {en}, dove n prende il nome di indice.

Composizione

Siano f:X→Z e g:W→Y, se Z⊇W allora g∘f:X→Y questo si dice composto di g ad f e si indica [g∘f] (il non detto che luogo riguarda il considerato).

Suriettiva Sia f:X→Y, se Im(f)=Y la funzione è suriettiva.

Iniettiva

Se ∀X1∈X, X2∈X: f(X1)=f(X2) ͢ X1=X2, cioè due elementi distinti non possono avere lo stesso immagine.

Biiettiva

Se è suriettiva e iniettiva.

Inversa

Data f:X→Y esiste e ƒ:X se è inversa ad è contraddistantemente monotona. In caso contrario f è data da funzione inversa, etc cui collegium è f(X) e la cu immagine è X.

Principio di Induzione

Sia p(n) un predicato dipendente in ∈N, se: 1. p(1) è vera 2. Se ∀n ∈N p(n) è vera allora p(n+1) è vera ∀n∈N. [p(n) vera ].

Numero reale

E ogni numero decimale con segno. Se è periodico (limitato o no) lo chiamarsi razionale. Altrimenti è irrazionale.

Estremo Superiore

E quel numero L tale che *x∈A, x≤L. *ε>0 ∃x∈A: L-ε0 ∃x∈A: x0, n∈N e n≥1. Allora ∃!x∈R: xⁿ=y.

Logaritmo

Sia α>1, y>0. Allora ∃!x>0, x∈R: α^x=y.

Disuguaglianza triangolare

∀x, y∈R ⇒ |x+y| ≤ |x|+|y|

Disuguaglianza di Bernoulli

∀x>-1, ∀n∈N (1+x)ⁿ ≥ 1+nx

Radici n-esime in C

Sia w∈C, n∈N, n≥1. Esistono n radici n-esime complesse di w.

Teorema fondamentale dell'algebra

Un'equazione polinomiale a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0 con coefficienti complessi, qualora si anno radici in C se almeno la somma è complessa.

Punto interno

x∈E interno se esiste un intorno B(x, x) ⊂⊂ contenuto in E.

Punto esterno

x∉E esterno se appartiene a E^c

Punto di frontiera

x di frontiera se ∀B(x) appartiene sia ad E che a E^c

Punto di accumulazione

x di accumulazione per E se ogni intorno di x esistono infiniti punti di E.

Insieme aperto

E⊂Rⁿ è aperto se ogni x∈E è punto interno.

Insieme chiuso

E è chiuso se E^c è aperto.

Chiusura

Si chiama chiusura di E, l'insieme E∪∂E.

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Ogni E⊂Rⁿ limitato e infinito, ha almeno un punto di accumulazione.

Insieme limitato

E limitato se ∃B(0, x): E⊂B(0, x).

Insieme compatto

Un insieme E⊂Rⁿ è compatto se da ogni sua copertura si può estrarre una famiglia finita di aperti che sia anche una copertura.

Copertura

Sia γ uma famiglia di aperti: E⊂∪γ, l'insieme γ si detta copertura di E.

Teorema di Heine-Borel

E compatto ⟺ E chiuso e limitato

Ogni [a, b]⊂R è compatto in R

Insiemi separati

A, B⊂Rⁿ sono separati se A∩B=∅ e A∩B⁼∅

Insieme connesso

N non connesso se non si può rappresentare come unione di due insiemi U⊂V^c separati.

Un insieme aperto non vuoto e connesso si dica dominio.

Insieme convesso

A⊂Rⁿ convesso se ∀x, y∈A il segmento (x, y) ⊂ A.

Funzione pari

f(x):R→(x) ∀x∈R

Funzione dispari

f(-x)=-f(x) ∀x∈R

Funzione limitata

f(x):X→R è limitata se l'immagine f(X) è un insieme limitato

Im[f]:f(x) ∈X ∀x∈X

Geometricamente il grafico è contenuto in una striscia del piano delimitata da y=M e y=-M.

Se R=E delimitato, sup (e), inf(e) ∈R (estremanti sono ex), possiamo costruire bome z. S(p): eiz=fiz come

∀x∈X r(x)≤sup(e) ∀ε>0 ∃x∈X: f(x)>sup(e)-ε

Minimo

f(x):X→R ∀x∈X assumere J∪X (intorno). f(x)≥f(x₀) ∀x∈∪X Abboca f(z): un minimo locale è x il punto di minimo locale positivo. Se invece f(x) non per x∈X e ∃∪X abloddì te stessa al punto di minimo locale forte.

di f rispetto a x.

Proposizione f:(a,b)=R derivabile in x => f continua in x._✩ Se il limite e finito, la grafica di f esiste ma e' all'asse della y si parla di punti a tangente verticale.

u grafico i due segmenti ad sx esse in cui f e' continua ma punti angolosi.

Se f'(x)=0

Diciamo che f e' differenziabile m:x. La parte lineare AΔx dell'incremento Δf si chiama differenziale di f in x e si indica con o_f

ci dobbiamo: 0=2lem+y Δx/x ->0

f differemziabile m x significa che se può essere approssimato da un'una gioche, tutto tale uno di infinitesimi di caodine superiore rispetto ad d.

Derivabile imx <=> differenziabile im x

Si definizione Δf=Δx la si indica AΔ(x) e o^(x)A

Teorema di Fermat Si f:(a,b)=R ed x₀∈(a,b). Se in x₀ f e' derivabiale ed ha un estremo acolao in x₀. allora: f'(x₀):0.

Punti stazionari I punti x in cui f ha derivata nulla si dicono stazionati o colecti.

Teorema di Rolle Sia f:[a,b]=R tale che

• f continua w [a,b]
• f derivabile in (a,b)
• f(a)=f(b)
  =>∃ξ∈(a,b): f'(ξ)=0

  Teorema di Cauchy Siamo g:(a,b)=R tale che

  • f,g continue in [a,b]
  • g derivabile in (a,b)
  • >∃ξ∈(a,b): [(f*b):f(a)*g(ξ)]-[(g(b)-g(a)]*p'(ξ:=(g(b)-a)*g'(ξ)]

  Teorema di Lagrange Sia f:[a,b]=R tale che

  • f continue in [a,b]
  • f derivabile in (a,b)
    =>∃Ξ∈(a,b): an*Ξ

    Primitive: Sia f:(a,b)=R. Una frum'it se si alci primitive di 0 se p f e deri vabile m(a,b). 

    Infinife sono le primitive date da fx(x)-costante

    Monotoniait derivabile: Di f m(a,b) dirivabile, fx, e