Breve riepilogo di Meccanica razionale

FORZE CONSERVATIVE

Sono un caso particolare di forze posizionali. Sono forze tali che si conserva l'energia e alla risultante delle forze F è associato il gradiente della funzione di stato U detta potenziale. Come detto se la forza è conservativa l'energia si conserva, ovvero è costante. Pertanto se troviamo un punto tale che la velocità si annulla e dimostriamo che è un minimo isolato allora quel punto per Ljapunov è stabile. L'energia è formata da energia cinetica ed energia potenziale ( U = -V ). L'energia cinetica ha un minimo isolato per v = 0 mentre l'energia potenziale per x = x-eq. Riconducendomi al criterio di stabilità linearizzata di una forza posizionale integrato adesso con Ljapunov vedo inizialmente che la matrice jacobiana adesso è diventata hessiana poiché F = -gradV e concludo dicendo che: se H ha un autovalore strettamente negativo allora l'equilibrio è instabile.

se H ha autovalori positivi ho un equilibrio stabile e se in x -eq ho un minimo isolato allora questo è stabile ( CRITERIO DI DIRICHELET). Da notare che ho ottenuto un risultato completamente opposto al criterio di stabilità linearizzata, questo perché ho utilizzato l'energia potenziale che è opposta al potenziale. Usando il potenziale avrei utilizzato le affermazioni del criterio di stabilità e il criterio di Dirichelet mi avrebbe imposto un massimo isolato. Una forza conservativa è sempre irrotazionale, ciò si dimostra vedendo che le derivate in croce sono uguali e pertanto il rotore del campo vettoriale F è nullo. Una forza conservativa si dice che ha forma differenziale esatta, una forza irrotazionale si dice che ha forma differenziale chiusa. Pertanto una forma esatta implica una forma chiusa. Non è detto il contrario, ci sono casi in cui una forza irrotazionale non è conservativa. L'irrotazionalitàè solo una condizione necessaria alla conservatività di una forza. Per ottenere anche una parte sufficiente ci viene in aiuto il lemma di Poincaré il quale pone il sistema dinamico in uno spazio semplicemente connesso. Uno spazio semplicemente connesso è uno spazio dove posso contrarre ed espandere qualsiasi curva chiusa senza toccare la frontiera di tale spazio. Una forza irrotazionale in uno spazio semplicemente connesso è anche una forza conservativa. È questo l'unico caso in cui una forma chiusa implica la forma esatta. Queste due condizioni devono verificarsi insieme affinché abbia la certezza della conservatività della forza, nulla toglie che possa avere una forza conservativa anche se lo spazio non è semplicemente connesso. Per esempio, un campo di forze centrali (elastica o gravitazionale) è irrotazionale ma non è in uno spazio semplicemente connesso eppure è comunque un campo conservativo.

Il campo di Biot-Savart è irrotazionale in uno spazio non semplicemente connesso e non è un campo conservativo. In conclusione, se non abbiamo entrambe le condizioni che ci assicurano la conservatività di un campo, per verificarlo occorre un procedimento analitico.

ASSI PRINCIPALI D'INERZIA

La matrice d'inerzia è una matrice simmetrica, dal teorema spettrale si sa che data una matrice simmetrica esiste una base ortogonale che la diagonalizza. In altre parole, è sempre possibile orientare il mio sistema di riferimento in modo da ottenere una matrice d'inerzia diagonale. Gli elementi che trovo sulla diagonale sono i momenti d'inerzia rispetto agli assi di riferimento (assi principali) del sistema di riferimento orientato (sistema principale). In generale, dato un piano di simmetria geometrica e materiale ed un suo punto O, la retta ortogonale a tale piano passante per O è un'asse principale d'inerzia. Viceversa,

scelto un asse principale d'inerzia, un piano ortogonale a tale asse passante nel punto O sarà un piano di simmetria geometrica e materiale. Gli altri due assi principali appartengono a tale piano. Se un piano è di simmetria geometrica e materiale allora scelto qualunque piano ortogonale al primo, la loro intersezione dà un asse principale d'inerzia mentre gli altri due sono due rette ortogonali ai due piani. Ci sono vari casi notevoli di cui è bene parlare. Siano I1, I2, I3 i momenti principali.

Caso 1: tutti e tre nulli = il corpo è un punto materiale nell'origine

Caso 2: due nulli = se due sono nulli lo è anche il terzo

Caso 3: uno nullo = per simmetria gli altri due sono uguali, tutta la massa sta sull'asse con momento nullo, è il caso dell'asta rigida. In questo caso l'ellissoide ha forma cilindrica.

Caso 4: tutti diversi da zero ma due uguali = in questo caso l'autovalore ha autospazio di dimensione

2, ovvero una superficie. La rotazione quindi è attorno ad un asse ortogonale al piano individuato dai due assi principali con stesso momento. L'ellissoide è un solido di rotazione attorno a tale asse.

Caso 5: tutti uguali e diversi da zero = adesso l'autovalore ha autospazio di dimensione 3, qualsiasi asse dello spazio è un asse principale. L'ellissoide è una sfera.

ROTAZIONI PERMANENTI

Le rotazioni sono un caso particolare di precessioni dove oltre ad avere un punto con velocità nulla durante tutto il moto, l'asse di rotazione rimane costante in direzione e verso. La dinamica di una rotazione permanente è interamente descritta dalle equazioni di Eulero senza membro di sinistra poiché la derivata nel tempo della velocità angolare è nulla. Un teorema sancisce in modo univoco l'unicità delle rotazioni permanenti:

Parte sufficiente: In una precessione per inerzia se il corpo è posto

inizialmente in rotazione attorno ad un asse principale d'inerzia, allora tale rotazione si mantiene uniforme intorno all'asse principale. Tale rotazione uniforme si dice permanente. Parte necessaria: non esistono altri casi in cui una precessione per inerzia si riduce ad una rotazione permanente. In una rotazione permanente attorno ad un asse principale ho una rotazione di equilibrio. Ponendo i tre momenti principali d'inerzia corrispondenti ai tre assi principali diversi da zero e ognuno diverso dall'altro, la rotazione attorno ad un asse principale risulterà instabile se il momento d'inerzia corrispondente è intermedio rispetto agli altri due, mentre risulterà stabile se fra i tre è massimo o minimo. Come per i momenti d'inerzia, anche per le componenti della velocità angolare ci sono dei casi notevoli che ci permettono di capire come si svolge la rotazione, vedremo che il secondo e il terzo risultato saranno analoghi anche.se le quantità sono completamente differenti: Caso 1: una componente diversa da zero, le altre nulle = la rotazione è banalmente attorno all'unico asse in cui w è diverso da zero, l'ellissoide ha forma qualsiasi. Caso 2: due componenti diverse da zero, la terza nulla = la rotazione è attorno all'asse principale ortogonale al piano in cui l'ellissoide è rotondo (è il caso in cui ho due momenti principali uguali e un terzo diverso ma tutti diversi da zero, l'ellissoide è un solido di rotazione attorno ad un asse ortogonale al piano individuato dai due assi principali corrispondenti ai due momenti principali). Caso 3: tutte le componenti sono diverse fra loro e diverse da zero = l'ellissoide è sferico, per qualsiasi asse metta il corpo in rotazione questo è un asse principale d'inerzia. HAMILTON Le equazioni di Hamilton sono una scrittura delle equazioni di Lagrange più facilmente

Riconducibile alla forma di un sistema dinamico. H esprime l'energia meccanica totale di un sistema vincolato.

Il teorema di Konig permette di calcolare l'energia cinetica o il momento angolare di un qualunque punto di un corpo rigido attraverso la somma dell'energia cinetica/momento angolare del centro di massa più l'energia cinetica/momento angolare relativo.

L'ellissoide d'inerzia è il luogo dei punti che distano da un punto O la quantità pari a R^2 = x^2/I dove R è la distanza P-O, x è uno scalare scelto appositamente mentre I è il momento d'inerzia relativo alla retta passante per P-O. Riscrivendo si ottiene l'equazione di un ellissoide x^2 = I R^2. Conoscere l'ellissoide e la sua struttura è utile per poter risalire al momento d'inerzia di tutti i punti del corpo rigido e, siccome l'ellissoide dipende anche dal momento d'inerzia il quale.

dipende dalla distribuzione delle masse nel corpo rigido, conoscere la forma dell'ellissoide può far intuire come è distribuita la massa nel corpo rigido. La forma dell'ellissoide invece non porta quasi mai alla forma del corpo rigido (per esempio l'ellissoide del cubo è una sfera)

PROBLEMA DI KEPLERO

Quando ho un punto materiale P che risente di una forza centrale e un sistema di riferimento tale che ho delle condizioni iniziali che mi fanno avere posizione e velocità sul piano xy, le equazioni di Lagrange non dipendono da altro se non dalla distanza radiale. Inoltre, dato un livello energetico iniziale, per la conservazione dell'energia meccanica tale livello si deve conservare. In base all'andamento dell'energia potenziale al variare della distanza potrò avere delle traiettorie confinate o meno dato un certo livello energetico. Un ruolo importante lo svolge l'eccentricità, un fattore che dipende dalle

condizioni iniziali, dall'livello energetico e dalle condizioni fisiche a cui è sottoposto il corpo. In generale, per un campo di forza gravitazionale, una volta posto arbitrariamente uno zero energetico, se E<0, e<1 la traiettoria è un'ellisse e l'orbita che segue il punto è chiusa, se E=0, e=1 la traiettoria è una parabola ma l'orbita è aperta, infine se E>0, e>1 la traiettoria è un'iperbole e l'orbita è aperta. Dal problema di Keplero derivano gli studi sul moto dei pianeti, sui principi della fionda gravitazionale e altri studi di astronomia.

EQUAZIONI DI LAGRANGE

Siamo in un sistema di vincoli lisci ovvero quei vincoli le cui reazioni non oppongono né accelerano il moto del corpo lungo il vincolo. Ovvero sono vincoli le cui reazioni vincolari sono ortogonali al vincolo stesso. Per esempio, un corpo che si muove su un tavolo è sottoposto alla reazione normale del piano che è

ortogonalee alla forza d'attrito che è tangenziale. Se non ci fosse attrito il piano sarebbe considerato un vincolo ideale. Detto questo, sia O lo spazio delle configurazioni, ovvero la soluzione del sistema dei vincoli ideali. Essendovincoli