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Funzioni di più variabili reali a valori reali
n = A1 - ACS(1)
Domini più utilizzati quando A ⊆ ℝn ⊆ ℝn:
- Cn = (x | 0 < x < 1)
ad es.: A = {0,1} x {0,1} x {. . .}
A = {(x,y,z) | 0 < x,y,z < 1}
A
|
Rn = ℝ x ℝ x ... x ℝ
y
(lineare t)-1
4 [0,1| ^n = [0,1] x [0,1]
(Int) Si rappresenta con un rettangolo di lato k∈ℝn
R2 = ℝ x ℝ ... x ℝ
Legenda: Rn
Esempi di Funzione
- f : A ⊆ R→ ℝ
x→ f(x)
[annuisco → ]
f : A ⊆ ℝ1 → ℝ3
t→ (t,t) = (t1(t), t2(t), t3(t))
- f : A ⊆ ℝ2 → ℝ
Ad ogni coppia di valori xy, si associa
G(x,y) = f(x,y)
x : ⊆ campo vettoriale
f: A ⊆ Rn
(a,b) ∈ &partial;f(x0,y0)
ci sono infinite soluzioni
DERIVATE PARZIALI
*caso n=2*
retta non arbitrio prendi con in direzione
dato una f: A ⊆ R2 → R è f aptoisco Ei ` derivabile in un punto se
∃ I limiti
∃ f(x,y)
&fracpart;f(x0+h, y0) - f(x0, y0)
limh→0
∃ f(x, y0+k) - f(x0, y0)
limk→0
&partial;f "f"(x0+h, y0)
&fracpart;
&partial;x
¶f "f"(x,y) Δx
&partial;f
⁄
lim
&partial;y
GRADIENTE DI f:
∇f= &vertical; ( &fracpart; f &fracpart; f &vertical;
&partial;x &partial;y
Osservazione:
∇f= rappresenta dislivazioni in qualzioni k incremento soldo
es f(x,y) = x3y3 è bilasco dislivazioni è con solosti costante
=> &fracpart;f = 2x3y3
&partial;x
∇f(x,y) = &vbar; (2x3y3, x32y4) &vbar;
quote due derivate
Lez 2 (continuità)
h = ρcosθ
k = ρsinθ
con θ ∈ [0, 2π]
= d[ x, y∂]) =〘 ρcosθ/ρsinθ ♫
=> ∃δ = δ(x₀, y₀) => ∀ε ∃δ→0 |f(x, y) → zf(x, y)→ f(α, o)clare→ (x₀, y₀)→
⇒ f è continua in (x₀, y₀).
Lez 3 - piano tang.
z = f(x₀, y₀) + g g)(x-x₀, y-y₀)
oss (c o e q o p {x, y})↔(x₀, y₀)z, λ di [?fto]
goro - se z differen. in (x₀, y₀) . diract + x
od-in xe
∫e ≠y₀ d
∑is una funzione </>.
CASO MINx' H1.
det = bc - fb.
x'1 =
B=(1,1)
Hf(1,1)=(1/2, 3) det > 0 min rel
Of(0,0)
Hf(0,0) = (3 2)/(2 4) det=0
test inefficace quando
*f(x,y) f(0,0) -> studio di segno
xtg-1(x-y)2 - y >= 0
RESTRIZIONI
U∈X
=AP{{G,X}} ↑ Z ⊕
=0 min rel
U=-X
1+9x∃-(x)=) 2x+ 2∃≠xcos≠
x=k√N&o=V∃
(0,0) solo conc.
INTEGRALI INDIFFERENTI SU 0 e PIECE
Lavoro di una forza per spostare una parte lungo una curva.
Def. classico di tipo differenziale.
Sia γ un percorso orientato a tratti parametrizzato da 1 a 2 → ℝn
F : A ⊆ ℝn → ℝm comp. elt. e γ([a, b]) ⊆ A.
Sia c sotto parte di E lungo γ.
Apre integrale tramite la f-basica di t=b.
∮ab F · ds = ∮ab [F(γ(t)) · γ'(t)]dt
(Punto base)
OSS:
∫[ f(a·s)] = ∮ab (F⊂(t)) |γ'(t)| dt
A diff di quella di γ speco fr elto di perceptranza
Influsco sul rescalco dell’integrala d’etr parte
Passo param. in modi diversi purché si mantenga il verso della perceptrata.
Interpretazione Geometrica
Q = Cab x Ccd
Sezione verticale fissa dx
Ritrova l'ala fissa solo dx
A(y) = ∫ f(x,y) dx
Per trovare il volume sopra tutta la dx
A(y) = ∬ f(x,y) dx dy
Considerare di semplice tipo a dx
A(y) = ∫ f(x,y) dx
Formule Riduzione Integrali Doppi
a,b,g,h ∈ C0[a,b]; g,h ∈ [c,d]
Supponiamo Σ semplice rispetto a y
∬ f(x,y) dx dy = ∫ (∫ f(x,y) dx) dy
Regioni per iterare
D∈ℝ3 sempre rag. a. t. (ss)
∫D = {∫ab∫z1z2∫cd f(x,y,z) dx dy dz}
ES. VOl Interna
D = { (x,y,z) ∈ | x2 + y2 ≤ z ∈ ℝ2 }
Vol (∪2) = 1-∪
∫2π0(∫b0) sin (ρ) dρ (∫dc)
d²y/dt² + 3dy/dt - 4y = 0
r² + 3r - 4 = 0
yₖ(t) = eᵣ₁ᵗ (Aeᵣ₁ᵗ) + Beᵣ₂ᵗ
λ₁ = -1
λ₂ = -3
P(λ) = (αλ² + bλ + c) = 0
polinomio caratteristico
y₁(t) = e⁻¹ᵗ
y₂(t) = e⁻³ᵗ
Δ = 0
P(λ) = 0 → due soluzioni - soluzioni reali e distinte
y(t) = c₁eᵣ₁ᵗ + c₂eᵣ₂ᵗ
Δ < 0
λ₁₂ = -μ ± β
y₁(t) = e⁻ᵘᵗ cos(βt)
y₂ = e⁻ᵘᵗ sin(βt)
Concetto di convergenza tra 1a e curva a livello
Le funzioni sono paraboliche
VE ∉ ℛg
VE(x*,y*) ∉ Rot(g(x*,y*)
=Anticipo con il GRADIENTEF(x, y, .. λ = ⟨F(x,y) – δ⟩g(x,y)
Trovare un problema ottimizzazione vincolato di gTrasforma un problema di ottima libera tramite derivazionedagjunglializzando
F(x) = 0
fx i gx = gx i 0fx i gy = gy i 0fg i gz = gz i 0
TEOREMA DEI MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE:
VFF(x0, y0) = VΦ(x0, y0)
DE(x,y,y) ∉
∇g(x) ∃ λ : ∇f(x) ∃
INTEGRALI CUMULATIVI IN 1° SPECIE
Voglio calcolare la massa di un filo pesante non omogeneo
a - b: P (f (t))
m = ∫0m f(c(t)) c'(t) dt
lim P(c(t))ϵs
a < c'(t) < m < P(b(t))
dm = P(c(t))ds
small line space
*fare grafico con intervallo
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Molti processi fisici e dell'ingegneria possono richiedere la determinazione delle funzioni a(t) di cui si conosce uno stato iniziale. Essi sono compresi delle derivate rispetto al tempo.
ES: MODELLO BETA DI UNA DINAMICA DI POPOLAZIONE N/E
N(t): individui presenti nel tempo t.
λ = taux d'entrée
μ = taux justification
In un piccolo intervallo di tempo dt
λ N(t) = immissione N(t)
μ N(t) = emissione N(t)
Calcola la variazione del numero di individui nel tempo dt:
N(t + dt) - N(t) = λ N(t) (dt - μ dt)
Processo, tv lim N(t) λ(t) N(t) = N(t) (λ - μ)
N'(t) = N(t)(λ - μ)
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