Matematica - matrici - Appunti

Teoremi sulle matrici

Teorema 1: Se esiste una matrice A, essa è unica. Infatti, da BA = I, si ha (BA)A = IA, quindi B(AA) = A, da cui BI = A e quindi B = A.

Teorema 2: Date due matrici quadratiche di ordine n A e B, se AB = Ω con A ≠ Ω e B ≠ Ω, non esistono A e B. Infatti, B = IB = (A⁻¹)B = A(AB) = AΩ = Ω (che è assurdo).

Teorema 3: Date due matrici quadrate di ordine n A e B, se esistono A e B si ha (AB) = BA. Infatti, (BA)(AB) = B(A⁻¹)B = BIB = B² = (BA)⁻¹.

Teorema 4: Se esiste una matrice A, allora (A⁻¹) = (A⁻¹). Infatti, A(A⁻¹) = (AA⁻¹) = I = (A⁻¹)A.

Teorema 5: Se esiste una matrice A, allora (A⁻¹) = A. Infatti, A(A⁻¹) = I.

Trasformazioni elementari di matrici:

1. Matrice permutazione P: è la matrice quadrata di ordine n che si ottiene dalla matrice I scambiando in essa le righe (o le colonne) i-esima e j-esima tra loro. Si osservi che la matrice P è simmetrica.

n(i,j) n(i,j)

Data una matrice A del tipo m*n, le matrici P A e A P sono quelle che si ottengono rispettivamente dalla matrice A scambiando in essa le righe i-esima e j-esima fra loro e le colonne i-esima e j-esima fra loro.

2. niMATRICE MULTIPLA M (λ), è la matrice quadrata di ordine n che si ottiene dalla I sostituendovi il numero 1 della riga (o colonna) i-esima con λ ε R.nT.7 ni ni

Data una matrice A del tipo m*n, le matrici M (λ)A e A M (λ), sono quelle che si ottengono rispettivamente dalla matrice A moltiplicando per λ ogni elemento della i-esima riga e della i-esima colonna. n(i,j)

3. MATRICE COMBINAZIONE LINEARE C (λ) (i≠j), è la matrice quadrata di ordine n che si ottiene dalla In sostituendovi l'elemento a = 0 (i≠j) con λ ε R.ijT.8 n(i,j) n(i,j)

Data una matrice A di tipo m*n, la matrice C (λ)A e A C (λ) è quella che si ottiene dalla matrice A sommando alla sua riga i-esima [colonna]

i-esima]moltiplicata per λ εR.T.9  n(i,j) -1 n(i,j)(P ) =P ni -1 ni(M (λ)) =M (1/ λ) n(i,j) - 1 n(i,j)(C (λ)) = C (- λ)

DETERMINANTI

data una matrice quadrata di ordine n,si prendano n suoi elementi scelti in modo che2 qualsiasi di essi non appartengano né ad una stessa riga né ad una stessa colonnae si esegua il loro prodotto.Il prodotto si dice di CLASSI PARI se le permutazioni sono della stessaclasse,mentre si dice di CLASSE DISPARI se sono di classi diverse.Si chiamaDETERMINANTE di A la somma degli n!prodotti presi ciascuno col proprio segno ocol segno opposto,a seconda che esso è di classe pari o di classe dispari.L’ordine ndella matrice A si chiama anche ORDINE del determinante(A) e ciascuno degli n!prodotti prende il nome di TERMINE del determinante.

PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI

1. T|A |=|A|
2. Se a =0=>|A|=0ij
3. ni ni|M (λ)A|=|AM (λ)|= λ|A|
4. ni n2 nn n|M (λ)M

(λ)…M (λ)A|= |λA|= λ |A|