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OPERAZIONI SU MATRICE

Date 2 m*n matrici A=[a ] e B=[b ] si dice che:

ij ij

1. A=B se a =b

ij ij

2. A>B se a =b

ij ij

3. A≥B se a ≥b

ij ij

4. A≥B se a >b per almeno una coppia(i.j)e per le rimanenti coppie deve essere a ≥b

ij ij ij ij

Date due m*n matrici A=[a ] e B=[b ] si chiama SOMMA di A e di B e si indica con A+B,

ij ij

la m*n matrice C=[c ].

ij

La matrice A+(-B) si chiama DIFFERENZA di A e di B e si indica con A-B.

La somma di matrici del tipo m*n gode delle proprietà:

1. A+B=B+A (proprietà commutativa)

2. A+(B+C)=(A+B)+C (proprietà associativa)

3. A+(-A)=(-A)+A=Ω

4. A+ Ω= Ω+A=A

5. T T T

(A+B) =A +B

Data una m*n matrice A=[a ] eλεR,dicesi PRODOTTO SCALARE DI A per λ e si indica

ij

con λA,la m*n matrice: λA=[λa ]

ij

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà:

1. λA=Aλ

2. λ(µ)A=λ(µA)

3. λ(A+b)= λA+ λB

4. (λ+µ)A=λA+µA

Date k matrici di tipo m*n A ,A …A e k numeri reali λ λ ,…λ ,dicesi

1 2 k 1, 2 k

COMBINAZIONE LINEARE delle k matrici A ,A …A secondo i coefficenti λ la

1 2, k

matrice A= λ A +… λ A =Σλ A .

1 1 k k i i

Date la matrice A di tipo m*q e la matrice A del tipo q*n,dicesi PRODOTTO

SCALARE di A per B(righe per colonne)la matrice AB=C=[c ]di tipo m*n i cui

ij

elementi sono dati da:

c =a b +a b …a b Σa b

ij i1 1j i2 2j… iq qi= ih hj

Il prodotto di matrici gode delle seguenti proprietà:

1. A(B+C)=AB+AC con A di tipo m*q e B e C di tipo q*n.

2. (A+B)C=AC +BC con A eB di tipo m*q e C di tipo q*n

3. (AB)C=A(BC)=ABC con A di tipo m*k,B di tipo k*q e C di tipo q*n.

4. T T T T

(ABC) =A B C con A,B,C,come in precedenza.

5. AΩ = Ω A=Ω con A e Ω di tipo m*n

n m

6. I A=AI =A con A di tipo m*n

m n

Data una matrice quadrata A di ordine n,si chiama MATRICE INVERSA di A,la matrice

-1

quadrata di ordine n,che si indica con A tale che:

-1 -1

A A=A A =I =I

n

Teorema 1

-1 -1 -1 -1) -1 -1 -1

Se A esiste,essa è unica.Infatti da BA=I=>(BA)A =IA =>B(AA =A =>BI=A =>B=A

T.2 -1 -1

Date 2 matrici quadratiche di ordine n A e B, se AB=Ω con A≠Ω e B≠Ω=>nn esiste A e B .

-1 -1 -1

Infatti B=IB=(A °)B=A (AB)=A Ω= Ω (che è assurdo)

T.3 -1 -1

Date 2 matrici quadrate di ordine n A e B,se esiste A e B si ha:

-1 -1 -1

(AB) =B A

-1 -1 -1 -1 -1 -1

Infatti (B A )(AB)= B (A °)B=B IB=B B=I

T.4

T -1 -1 t -1

(A ) =(A ) se esiste A

t -1 T -1 t T

Infatti A (A ) =(A A) =I =I

T.5

-1 -1 -1

(A ) =A se esiste A

Infatti

-1

A A=I

TRASFORMAZIONI ELEMENTARI DI MATRICI

Moltiplicando una matrice A di tipo m*n per opportune matrici quadrate si possono ottenere

matrici di particolare interesse dette TRASFORMATE di A.

1. n(i,j)

MATRICE PERMUTAZIONE P ;è la matrice quadrata di ordine n che si ottiene dalla

I scambiando in essa le righe (o le colonne)i-esima e J-esima tra loro.Si osservi che

n n(i,j)

la matrice P è simmetrica.


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DETTAGLI
Esame: Matematica
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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