Matematica - matrici - Appunti

Matrici: definizioni e proprietà

Dato un insieme X ed m*n suoi elementi, distinti o no, dicesi matrice di tipo m*n il simbolo che si ottiene disponendo gli m*n elementi in una tabella formata da m linee orizzontali (righe) e n linee verticali (colonne), racchiusa fra due coppie di sbarre verticali o fra parentesi quadre.

Si suppone X=R e un generico elemento della matrice si indica con una lettera minuscola fornita in basso di due indici (i,j), i quali indicano la riga e la colonna alle quali l’elemento appartiene.

Tipi di matrici

Matrice rettangolare e quadrata

Una matrice si dice rettangolare se m≠n, quadrata se m=n (in questo caso si dice di ordine n); in una matrice, gli elementi aventi gli indici uguali costituiscono la diagonale principale, mentre gli elementi per i quali la somma degli indici vale n+1 costituiscono la diagonale secondaria.

Vettori

Le matrici rettangolari del tipo m*1 e 1*n si chiamano vettore colonna ad m componenti e vettore riga ad n componenti, e si indicano con lettere minuscole.

Altri tipi di matrici

• Matrice nulla o matrice zero: una m*n matrice avente gli elementi nulli, indicata con Ω.
• Matrice unità o identica: una matrice quadrata di ordine n in cui a_ij = 0 per i≠j e a_ij = 1 per i=j, indicata con I_n.
• Matrice diagonale: una matrice quadrata di ordine n con a_ij = 0 per i≠j.
• Matrice scalare: una matrice diagonale in cui a_ij = k≠0.
• Matrice opposta di una matrice m*n A=[a_ij] è la matrice m*n −A=[b_ij], con b_ij = -a_ij.
• Matrice trasposta di una matrice A m*n è la matrice A^T n*m che si ottiene scambiando ordinatamente le righe con le colonne, cioè: A=[a_ij] ⇒ A^T=[a_ji]; (A^T)^T = A.
• Matrice triangolare: una matrice quadrata di ordine n in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono nulli.
• Matrice simmetrica: una matrice quadrata A in cui a_ij = a_ji, A = A^T.
• Matrice emisimmetrica o simmetrica sghemba: una matrice quadrata A in cui a_ij = -a_ji, A = -A^T.

Matrice estratta e matrice complementare

Una matrice estratta da una matrice A m*n o matrice minore di A e matrice complementare. Siano h₁<h₂<...<h_r numeri interi compresi tra 1 e m e k₁<k₂<...<k_s numeri interi compresi tra 1 e n. La matrice r*s che ha come elementi, ordinatamente, quelli situati all’incrocio delle righe h₁, h₂, ..., h_r e delle colonne k₁, k₂, ..., k_s di A si chiama matrice minore di A. Per r<m e s<n, sopprimendo le righe e le colonne, gli elementi restanti formano una matrice detta matrice complementare del minore precedente rispetto alla matrice A.

Operazioni su matrici

Date due matrici m*n A=[a_ij] e B=[b_ij] si dice che:

• A = B se a_ij = b_ij.