Appunti sulle matrici

Name: Appunti sulle matrici
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Author: andryR96

Aggiornato il 19/04/2026

di andryR96

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Pubblico i miei appunti relativi alle operazione con le matrici, calcolo del determinante e rango, matrice inversa, combinazioni lineari etc. Appunti di Complementi di analisi matematica basato …

Esame Complementi di analisi matematica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Borghesi Simone

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2015-2016

59 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Determinante e indipendenza lineare dei vettori

Torniamo a parlare di determinante e in particolare vediamo come possiamo stabilire se i vettori di un insieme sono linearmente indipendenti.

Teorema 1.2 del libro - Cruciale

Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora det(A) = 0 se e solo se le righe sono linearmente dipendenti se e solo se le colonne sono linearmente dipendenti.

Cerchiamo ora di dare una definizione più precisa in quanto questo teorema non fornisce risposte nel caso io abbia a che fare con n vettori di R con n ≠ m, in altre parole non ci fornisce alcuna informazione quando abbiamo a che fare con le matrici non quadrate.

Definizione

Data una matrice A di dimensione m x n, definisco minore di ordine r della matrice A, una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine r di A.

Osservazione

Una sottomatrice è l’intersezione tra le righe e le colonne di una matrice. In particolare, una sottomatrice quadrata è l’intersezione di n righe con n colonne.

Definizione – Importante

Si dice che una matrice ha rango (o caratteristica) p se esiste un minore di A di ordine p con determinante diverso da 0 e ogni altro minore di A di ordine maggiore di p ha determinante uguale a 0.

Un’altra definizione di rango

Data una matrice m,n, il rango “per righe” di A è il massimo numero di righe linearmente indipendenti di A.

Un’altra definizione di rango

Data una matrice m,n, il rango “per colonne” di A è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A.

Teorema 1.4 del libro - Importante

Il rango “per riga” è uguale al rango “per colonna” che per definizione coincide con il rango della matrice.

Definizione - Fondamentale

Una matrice A si chiama “a scala” se il numero degli zeri che precede il primo elemento non nullo aumenta strettamente procedendo dalla prima riga verso l’ultima.

Teorema - Importante

Il rango di una matrice a scala è sempre uguale al numero di vettori riga non nulli.

Strategia

Conoscendo bene il comportamento di una matrice (come di quella appena esposta) posso applicare delle trasformazioni sulle matrici e ottenere una matrice A’ tale che rango(A) = rango(A’) e il rango di A’ è visibile ad occhio.

Trasformazioni elementari

Obiettivo: Trovare un altro modo per calcolare il rango di una matrice. Tramite una serie di trasformazioni T1, T2, …, Tn posso ottenere una matrice a scala che mi permette agevolmente di calcolare il rango.

Teorema

Una particolare trasformazione Ti, non mi fa cambiare il rango della matrice di partenza.

Trasformazioni lineari

Scambiare due righe di A.
Moltiplicare tutte le righe per un numero diverso da zero (continua il paragrafo con le altre trasformazioni non incluse nel testo).

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