Appunti sulla seconda parte del programma di Matematica applicata

PARZIALE

Y DISCRETE

COPPIE VA

DI . desopastarpxy(Xi Yi) 0

3) ,

PKX Y

Pxy(Xi y)) Xi y

=

= = ,

,

, Px(Xi

· 4j) #

=

>:

x ,

:

S &z

Px(X )

= Pxy(Xi 4i) DIPRO

=

: y , .

, Pay(Xi 4j)

Pa(Yi) = ,

X :

D yi]

Si

fe X

Condizionata

Definisce =

di

prob Dato

di .

. Ris (X

Ry Yi)

(Xi(y P(4 )

) :, 0

>

= Ce

; ;

PI(y )

i

D EX-Xi]

fe Y

Condizionata

Definisce di

prob Dato

di .

. Pax(y(xi) Ry(X Yi) Px(Xi)

:, >

= ce

Px(Xi)

PROPRIETÀ 3

Py(Xi(y Ry(X

) )

14

· è

o Xi -

i i una

:

~

(4) fa probabilità

Di

.

RuXiY

Ri

(Xili)

Rz = -

· = X

x :

: Pxy(X Yi)

Xe Y ( px(Xi)

Se Indipendenti Allora

· via

sono =

:

.

COPPIE ANTINUE

VA

DI .

DEF

. f DENSIdy

Di

sono .

DEF

. X Y

DUE VA CONTINUE Indipendenti

sono eli

e

. (xy(x fx(x) fy()

y) = .

,

DEF

. fe.

fxy

la.

data Densità

densita

coppia continue definisce

va congiunta

una di

di Condizionata

con si di

. ,

<14 43

X

Di pato = (xs(X(y) fxy(X y)efy10

,

= fi(4)

[X

fz x]

Y

condizionata Dato

densità di

Di =

. fix(ix) fxy(X y)a(x(x)20

,

= f(x)

XeY

SE Sono INDIP (xy(x(y) fx(x)

= =

fix fy(y)

(5(x) =

OSS Gjj

. Se

)

#(s(X , :

DEF

. (P 9)

DEFINISCE MOMENTO CONGIUNTO ORDINE

DI

SI :

.

#(xp y9] = mpq

, (P 9)

ORDINE

DEFINISCE

SI DI

CONGIUNTO

MOMENTO CENTRALE :

.

E(x))"( E(y])9]

F((X - - ypq

=

OSS . MEDIA-EX] VARIANZA Var(X) Me

=

CON =

m + 0

-F(Y) (4)

Var

= mox = Noz

DEF

. y)

COVARIANZA (X

SIDEFINISCE Di ,

Cor(X E[(X F(y])]

(Y

) -E[x])

, = - E(x][[]

E[XY)

Y)

Cov(X

= -

=

,

X Y

Se Indipendenti

sono :

e EXI] E[XJE[]

· =

Cor(X Y)

) 0

: =

, FOXeY

Y)

ceCor(X INDIP

.

sono

Non

,

DFY

. (X bY

Z aX

Y) beR

Sin V

DI

Coppa A = +

e a

, . ,

.

F aE[X) 6[4]

(aX by] +

=

+

- 4)

64) (X

(aX

Var Vz(X) 6 Var(4) zabCor

a +

+ = + .

Y

X

Se Indipendenti

sono

e Var(X)

64)

War(aX (4)

6 Van

a - VALE SEMPRE

+ +

=

Var(X-Y) (4)

Van(x) Var

+

= i(Xi]

#[ixi] =

Van

Var(iXi) (Xi)

=

DEF (X

. Y)

CORRELAZIONE

COFFE

DEFINISCE COPPIA

DELLA

5 Di ,

. )

Cor(X SIPR

,

exy = Van(X) (4)

Van

ex 6

Y aX

PARTICOLARE Sxy=

IN as

+

= bac

y aX

· +

(xy +

=

= -

4) by s Var(x)

Ex =

con

GyX 4

7 (4)

Var

6

6

+

= ,

7 6xY

6gX

= -

. 0xY) Var(x)

(E SVar()

) (5yX

Var Var Y)

Cor(X

! 20x8

5 =

+

= = = :

+ ,

Y)

26x5y(or(X

Gay y)

5 Cov(X 8

20x0 20 +

+ =

+

= ,

: , ,

26 ) (

+

· )0

Van(z +

V(z ) 25 5(1 fx)

= -

. = H fxy

+ 9x21

1 :

-

2)

in f f 1 4 fxy0

1

= =- -

e

. Y 6

aX

SF = + Var(x)

=

aXi) Cor

Cor(X Var(X)

* (x a

= a

a

-

:

, =

Tu(x) Vor(x) | a)

(a)

6)

Var(aX

+ /

1 > 0

se a

Isa 0

-

TEO LIMITE

DEF

. Xm

Un X X

pla

estrATTO

CAMPIONE è

Da Popolazione una

Una no , .,

.

.

, .

MANUA

COSTITUITA DA INDIPENDENTI IDENTICAMENT DISTRIBUITE

. , X

DEFINISCE MEDIA CAMPIONARIA

SI M ESTRATTO

Di :

CAMPIONE

Un DA

XXi

Vor(X)

#(X] 82

con =

ne

= Van(x)

E(X] (X.)

Var

= =

, e M

F(Xm] =

F(mx] EX]

]

* =

: = m

War(Xi) (X)

Var(Xi)

(m) =

Var

2) =

= GRANDI NUMERI

DEBOLE

LEGGE (LDEN)

DEL

Xm

XI d

V FINITA

A i

Successione MEDIA ALLORA

Sia i

di :

Con ja

. .

. .

. .. .

.

. ,

P) Xm)

liv Ve

=

XM PROBABILITA

OVVERO CONVERSE ALLA MEDIA

In yu

i Var(Xa)

P(4Xm >3) o VEs

> =

22nEh

CHEBYSHEL

X TEO

PER CARABINIERI

DUF

IL DEL

P([Xn s]) .

5

< <

o - limp) Xn)