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Esercizi Verità
1.1 Sapendo che certe 3 persone su 8, e 4 su 11, frequentano un certo corso, si trovi la probabilita che una persona appartenga a entrambi i gruppi
- P(X = A) = 1/4
- P(X2 = A) = 3/8; P(X2/X1 = A) = 2/7
P(X1 e X2 = N | X = A) = 2/8
P = ???
1.2 Un gene è composto da due alleli, ciascuno può essere di tipo A oppure a. Nella popolazione vi sono 3 tipi di individui : AA, Aa, aa. Ciascuno trasmette il proprio uno dei due alleli sotto di esso.
- A1 : 1/4, A2 : 1/4, Aa : 1/2
Quali sono la prop. del tipo di alleli elevati dell'organismo eccessivo ?
E il primo degli alleli codifica partendo dall'enzima 4
- AA genera Aa, a:aa
- P(fa | B) = 1 P(fa | B2) = 1/4
- P(fa | B3, f) = 1/4
- P(B1) = P(fa | B1); P(B2) = P(fa | B2)P(B2) = P(fa | B2) P(B3)
= 1/3 × 1/2 = 1/5 = 1/6
= a nivå med di genero quuto in una planto, a opporre -)
- P ( una tripied a.a) 13/30 13/33 169/990
1.6 Un dado a 4 facce - Lanciato 3 volte. Qual `e la prob. di ottenere “Quattro” almeno una volta?
at least one four :
- 2/3, 1/4, 1/3
p(almeno un quattro) = 1 - [3]/6 = 1 - 27/61 = 57/61
1.9
In uno scaffale ci sono 10 libri, 3 di matematica e 7 di fisica; si tira la probabilità che i 3 libri di matematica siano vicini tra loro.
P(B) = 3/9
P(K1 = B / X1 = B) = 3/7
P(X1 = B) = 3/8
P(X2 = B / X1 = B) = 3/7
P(X2 = B / K1 = B) = 2/7
P(K2 = B) = P(K2 = B ∧ X1 = B) + P(X2 = B) = P(K2 = B / X1 = B) P(C5)
= 1 + 3/7 * 5/8 + 3/7 * 2/7 = 75/56 + 24/56 = 37,5%
1.13
Uno studente è sottoposto ad un quiz con quattro risposte possibili. Se ha studiato risponde correttamente e invano:dare a risposte di alternative soggettive una risposta e in caso vero è un, il risparmio di almeno riservato con probabilità 1/2 = detto sottoposto al quiz. ultima risposta corretta. Cos'è la probabilità di avere studiato veramente?
PS(J) = 1/2
PC(C1, PC(K
PC(C5) = 1/2
3.9
In ogni conto in una parola di n bit scrivo da quale i-th anti valoro opera 1.
Ripetuto per c n=0.94 per opera dictata. Per j=1...
difficolta 5 n=0.94 per el posto periodelo: opera ins rever transmisso
3 volte. Nel percorso volero inser chiesa espressione de bit
uscia portu ugrar al A (A=0 opera 1). El vorro clama alia
color 4 tra quelli reinv. Qual e lo prob. che in special
de scosa nei corunge eldion?
Se t=pr tuene trasmesse tre volte e eloru considera la variabile aleatoria
Y= numero al recominara distruta el bit su tre transmisses
X su Bnm(n=3, p=0.04). In bue al percorso distrclose il video e una
prob. p' le desaubre reacatore numero one pn.
...
! 3.10
Un dado viene lawato 900 volte e mikiðcosa con X le n'e du
elcted in chi effect de 6 e. Egalti una palina al dati taucan
de preciliona el 6 cu p=1/6, bowera el dado 900 vota
deddavo che il decieto de il 6 era clum e(s) 150 volte.
Aui el la prob. el un dado tuceto nage affectionato
indulectato?
ii) Un intervallo unilaterale SX per m-Mx e livello di confidenza 85%
(-∞, (x̄ - ȳ) + tα σ̂Δ ]
t0,05 = 1,761 ⇒ (-∞, (43,3 - 135,79) + 1,71 x 2,76 ] ⊆ (-∞, 11,93]
Es. 3.7.3 Determinare l'intervallo di cui alla domanda ii) dell'es precedente nell'ip. che le due varianze σ̂1 e σ̂2 non sono uguali e non sono note.
L'intervallo richiesto è fondamental. lo stesso dell'es. precedente con tα diff. di Stud. tα 1 quale elemento della distribuzione di Stud. col grado di libertà sIνi il dato della formula precedente.
σ̂₁² = 1/n-1 ∑ᵢ (xᵢ - x̄)² = 1/11 ∑ᵢ (xᵢ - 43,3)² = 576/11 ❬ 50,545
σ̂² = 1/m-1 ∑ᵢ (yᵢ - ȳ)² = 1/13 ∑ᵢ (yi - 135,79)² = 622,7/13 ❬ 47,874
σ̂Δ = √(50,545/12 + 47,874/14 ) = 2,763
t12 ❬ (50,545/12 + 47,874/14 ) = Z 23,83 ❬23
Siccome ho gli stessi grafici di cliente e Ȳx e cerco lo stesso delle precedenti. calcolo anche l'intervallo simmetrico corrispondente con Stud.
Es. 3.8.1 si chiede di determinare gli intervalli di fiducia ai livelli 95% e 99% per la percentuale p di riscontri accaduti.
N = 100 p̂ = 0,80
z un intervallo asimmetrico giochi: √0,025 = 1,96 √0,005 = 2,57
livello 95% => P z [ 0,8 - 1,96 √0,8 * 0,2/100 , 0,8 + 4,96 √0,8 * 0,2/100 ]
P ∈ [0,7246 , 0,8742]
livello 99%
P ∈ [0,6972 , 0,9028]
Se i sez. in parallelo funzionano anche se uno si interrompe, il tempo elencato sara minimore cosa quando si interrompe il secondo poiche il primo era gia intercotto.
(I sez. si interrompe quindi si interrompono non 1 de 2).
T1,2 = max (T1, T2)
R1,2(x) = 1 - FT1,T2(x) = 1 - Fmax(x)
Re1,2(x) = P(max {T1, T2} > x) = P{T1 > x ∪ T2 > x} = P(T1 > x) + P(T2 > x) - P({T1 > x} ∩ {T2 > x})
= P(T1 > x) + P(T2 > x) - P(T1 > x)P(T2 > x)
R1ʹ(x) = R1(x) + R2(x) - R1(x)R2(x)
R1ʹ(x) = 1 - (1 - R1(x))(1 - R2(x))
es: F1 = exp ( - a 1(x) )
R1,2(x) = e - a1x + e -a2x - e(-a1x)
Emax{T1, T2}(x) = FT1(x) . FT2(x)
6)
h1=52
P(X1=A |N2 ∨ X1 ≠ A |N1)
P(X1=A |N1) 3/52
P(X2=A |N2) 3/51
P(X1≠A |N1 ∨ X2≠A |N2) = P(X1≠A |N1)P(X2≠A |N2)
= 5/52 ⋅ 9/51 = 70/2652 = 1/252
7) P(A) = 1/4 P(B |3) = 2/5
P(l'uno solo dei due cartoni è napoletano) = P(A)⋅ P(BC) + P(AC)P(B)
- = 1/4 ⋅ 3/5 + 3/4 ⋅ 2/5 = 6/20 + 6/20 = 12/20 ≈ 45%
8)
S : sono
P(S) = 99.5/100 P(T |C) = 0.2
P(C |S) = 0.5/100 P(T |S) = 0.8 P(TC |S) = 0.98
P(S | TC) ?
P(S | TC) ≈
0.2⋅ 0.9895/0.9998 + 0.95⋅ 0.98 ≈ 97.6%
9) X1Bin(n=3,p=1/2)
F(2,9) ?
F(2,9) = P(X < 2,9) = 2∑k=0 ( 3ck ⅟2 )k⅟2 ⁴
= 1/8 [ ( 3c0 ) + ( 3 c1 ) + ( 3 c2 ) ]
= 7/8
10) X,Y V.A. indipendenti Normale N= (0,1) trovare
P(X > Y + 1/2)
V = X - Y
Ɛ (X) = Ɛ(X-Y) = Ɛ(X) - Ɛ(Y) = 0 - 0 = 0
σ2(X) - σ2 (X-Y) = σ2 (X) - σ2 (Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) = 2
V ~ n (0,2)
Z0 1/2 - 0
U√2 = 1/20,35
P(X > Y + 1/2) = 1 - (0,35) = 1 - 0,6364 = 0,3684 ≈ 36%
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