Appunti su vettori, matrici e sistemi lineari

1. Vettori, Matrici e Sistemi Lineari

1.1 Vettori in R²

R²: insieme di n.ri reali

{_{(x1, x2)} | x_i ∈ R }

Piano cartesiano insieme delle coppie ordinate di n.ri reali.

Part. casi degli elementi di R²:

1. Punti del piano _{(∈, ∈)}
2. Segmento orientato _{v = (-)}

Un elemento di R² si chiama vettore (colonna) come notazione u, v, w ...

Riconduco un vettore v ∈ R² ho significati:

1. Un coppia di num._{v =}(∈, ∈)
2. Un punto del piano _{v = p}
3. Segmento orientato _{v = 0P}

Operazioni con vettori in R²

• Somma: v_{(x1, x2)}, w_{(y1, y2)} ∈ R² definimo _{(x1 + y1, x2 + y2)} ∈ R²

Es. v: _{(4, 2)}, u: _{(3, 1)}

v+u: _{(4 + 3, 2 + 1)}

Dimostrazione del parallelogramma

• Prodotto per uno scalare: dato _{(x1, x2)}, c ∈ R² definimo _{(c . x1, c . x2)} ∈ R²

Dati v, w ∈ R² consideriamo il sottospazio di R² dato da

r: { v ± t w - c, b ∈ R } ∈ R²

Retta in forma parametrica in R²

Esempio: y = (3) + t (1)

Terminologia:

• t = parametro
• w = vettore direzione
• y = punto di r

Osservazione: la forma parametrica non è unica:

• (1,3) + t (1,-2)
• (2,3) + t (1,2)

Retta in forma cartesiana

{(x₁, x₂) ∈ R² | α x + β x₂ + c = 0} ∈ R²

Termine noto: c

Coefficienti: α, β,

Esempio:

(geometrico e algebrico) trovare una forma cartesiana di:

{(1,3) + t (1,2) | t ∈ R}

Imponiamo il passaggio per 2 punti:

• t = 1 → p₁ = (1,3) + t (1,2) = (2,5)
• t = -1 → p₂ = (1,0)

P₁: α = c → ax - 2b + c = 0

P₂: α = -1 → bx + b - c = 0