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GEOMETRIA
01/03/23
G insieme (set, gruppo)
* operazione binaria
applicazione a una legge
un subset di un'affermazione è la rimanenza, dove un insieme è incluso dell'altra
A ⊆ B
-GRUPPO
(G, *) è un gruppo se:
- L'operazione è associativa (non implica l'ordine)
- 3: Identità neutra (per esempio e)
- e * g = g * e = g
- 3: Elementi inverso (oppositi)
- g⁻¹ t.c. g⁻¹ * g = e = g * g⁻¹ ∀g ∈ G
DEFINIZIONE
Un insieme G è commutativo (o Abeliano) se:
g * h = h * g ∀ h, g ∈ G
ESEMPI DI GRUPPI INFINITI
(ℤ, +) , (ℚ, +) , (ℝ, +) , (ℂ, +) → TUTTI INFINITI
Ad esempio (ℕ, +) non è un gruppo perché non esiste l'inverso perché (ℕ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...
2) ESEMPI GRUPPI FINITI
Gruppi delle radici:
Zn = { [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] }
tutte le radici di n
Z2 = { [0], [1] }, Z3 = { [0], [1], [2] }, Z4 = { [0], [1], [2], [3] }, Z5 = { [0], [1], [2], [3], [4] }
Prodotto cartesiano (A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B })
Z2 × Z2 = 2 Zn × Z3 = 3 × 3 = 9 [6] = [3] + [4] = [7], [2] + [0] = [0]
Unione di due Z2 = unione = { gli della sett. urna e
unione con gruppi modulari
Gruppi simmetrici
Sn: insieme di : di di:
Proprietà identità con
A = { 1, 2, 3, ... , n } D È UN INSIEME FINITO
Sn = { f : A → A
applicazione bijettiva saga15 } ovvero tutte le
applicazioni bijettive da A → A
Spazio Vettoriale
Spazio vettoriale su un campo K
(V, +, *) con V spazio
- operazione binaria: V × V → V
- prodotto per scalare: K × V → V
È detto spazio vettoriale su un campo K se:
- (V, +, *) è un gruppo Abeliano (4 proprietà) nulo vett.
- Proprietà distributiva: K · (v₁ + v₂) = K · v₁ + K · v₂ ∀K ∈ K ∀v₁, v₂ ∈ V
- Proprietà distributiva: (k₁ + k₂) v = k₁ · v + k₂ · v ∀k₁, k₂ ∈ K ∀v ∈ V
- Gli "scalari" agiscono su V:
- k₁ (k₂ · v) = (k₁k₂) · v ∀k₁, k₂ ∈ K ∀v ∈ V
- 1 · v = v (elemento neutro moltiplicativo) 1 elemento neutro in K
Quindi uno spazio vettoriale deve soddisfare 8 proprietà.
- Somma di vettori
- (più avanti la R3)
- B = (b1, b2) ∈ R2
- D = (d1, d2) ∈ R2
Regola del parallelogramma
OB→+OD→Due è il vertice opposto di Odel parallelogramma costruito su OB→ OD→Due OB ha coordinate (b1+d1, b2+d2)
Differenza di vettori
OB→-OB'→=OB→+(-OB'→)
Prodotto per scalare
tA= t(a1, a2)== (ta1, ta2)Se t>0 verso non cambia0<t<1 "contraiamo" il vettoret>1 "dilata" il vettoret<0 cambia verso
Giustificazione geometrica dell'angolo fra due vettori
- Decomposizione di y
z = y - t x con z ortogonale a x ovvero (y, x) = 0
Morale
||x|| = ||y|| cos θ
Scrivo
(y, x) = (x, x) x = (x, x) x, z = t ||x||2
Ora
||z||2 = ||z||2 - ||z||2 cos θ ⇒ ||x||2 = ||y||2 - ||z||2 = 0
(y, x) = ||x|| ||y|| cos θ
Equazione ottenuta
cos θ = (y, x) / ||z|| ||x||
Lunghezza della proiezione ortogonale di y su x
||x|| = ||y|| cos θ = |( x, y )| / ||x||
Sottospazio affine
- Retta affine (in V.T.)
Assegniamo un punto P e W tale che W appartenga a V e W diverso da 0
L(P, W) := {R: P + tW appartenente a W} =: P + tw
Retta affine
Questa è un sottospazio vettoriale parallelo che sottospazio vettoriale W passante per il punto P.
Indipendenza del generatore
W = span {x} := {t.x | t appartiene a K}
t diverso da 0.
Sottospazio vettoriale generato da x dove x è detto generatore.
Allora span {Wx} = span {x}
Quindi lo span non dipende del generatore scelto ma il vettore che genera lo span forma un multiplo del generatore di partenza. Questa norma vale in comunque lo stesso span di quello di partenza.
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Esercizio
Retta passante per F = (-2,5) e giacente fra {3,-1}
Per trovare l'o. calcolare termine con e M=1,3
X13X2 + c = 0
Imposte da passare P tv_c => -2.3 + c = 0 => c = 2-3t
Quindi l'equazione calcolata
X1 3X2 (2-3t)
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