Appunti spazi vettoriali (rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, somma e intersezione di spazi vettoriali, basi, dimensione, spazi Euclidei, Gram-Schmidt)

Name: Appunti spazi vettoriali (rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, somma e intersezione di spazi vettoriali, basi, dimensione, spazi Euclidei, Gram-Schmidt)
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Author: AlessioBuc99

Revisionato il 27/06/2026

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Appunti corso di Geometria e Algebra lineareArgomenti trattati:-nozione di gruppo e campo-definizione di spazio vettoriale-prodotto scalare standard in R^n-norma, disuguaglianza triangolare e di …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Iannuzzi Andrea

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2020-2021

86 pagine

Appunto

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Estratto del documento

GEOMETRIA

01/03/23

G = insieme (anche il più astratto) munito di una qualsiasi binaria

OPERAZIONE BINARIA

f: G x G → G

APPLICAZIONE o una legge

Un esempio di applicazione è la funzione, dove un elemento x

può comparire due volte:

f: A → B

la quale associa ad ogni elemento di un insieme A, un

unico elemento di B

-GRUPPO-

(G, * ) è un gruppo se

L'operazione è associativa (non implica l'ordine)
Esiste neutro (per esempio e)

e * g = g * e = g

Elemento inverso (opposto)

g^-1 t.c. g^-1 * g = e, g * g^-1 = e ∀ g ∈ G

DEFINIZIONE

Un insieme G è commutativo (o Abeliano) se

g * h = h * g ∀ h, g ∈ G

ESEMPI DI GRUPPI INFINITI

(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) → TUTTI INFINITI

Ad esempio (N,+) non è un gruppo perché non esiste

l'inverso perché (N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...

GEOMETRIA02/03/23

G insieme (inital, finiito, alphabeto) messo di una operasione binariaOPERASIONE BINARIA

APPLICASIONE & lesse leggeUn esprime di applicasione è la funsione, dove un insieme è in rapporto dell'altro

A → B →la quale associa adi ogni elemento di una insieme A uno unisci elemento di B

GRUPPO(G, *) è un gruppo se

L'operasione è assosiativa (non signifila l'ordine)
Es idnetita nutural (per esempo è e)

g * e = e * g = g

3) Elemento inverso (opposite)g⁻¹ t.c. g⁻¹ * g = e, g * g⁻¹ = e ∀g∈G

DEFINISIONEUn insieme G è commutativo (o Aboliano) se

g * h = h * g ∀h, g ∈ G

ESEMPI DI GRUPPI INFINITI

(ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), (ℂ, +) → TUTTI INFINITI

Ad esempio (ℕ, +) non è un gruppo perché non exisil'insiemo posito ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Esempi gruppi finiti

Gruppo delle rotazioni

Z₂ = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}

tutte le g. di tutte g. delle rotaz di 60^o =

gruppi abeliani

Gruppi simmetrici

Sm numero di n elementi:

equivalente identit con

A = {1, 2, …, m} D è un insieme finito

Sn = {f : A -> A applicazione biliettiva} ovvero tutte le applicazioni biliettive da A -> A

2/03/21

S_m = { f: A → A applicazioni con #A=m, biettiva }

Quindi

A={1,2,3,...,m}

Consideriamo

S₂ = APPLICAZIONI

e : {1,2} → {1,2}1 → 12 → 2

g : {1,2} → {1,2}1 → 22 → 1

Quindi S₂ ha due elementi e tramite dell'operatore binario o: S₂ x S₂ → S₂, diventa un gruppo

(f,g) → f o g

{ f o g } (x) = f {g(x)}

L'identità è l'elemento neutro

f o Id = fId o f = f

Inoltre dato che le applicazioni sul finito esiste unal'inversa, quindi {S_m, o} è un gruppo.

g² = g o g = e

Prove:g o g(1) = g{g(2)} = 1g o g(2) = g (1) = 2

Identità

4)

Permuto le R

#S₃ = 3! = 6

Quindi (S₃, °) = #S₃ = 6

S₃ = { (1 2 3) (1 2)(3) (1 3 2) (1)(2 3) (2 3 1) (2)(3 2)(1) }

Dove (1 2 3) vuol dire p: A → A,

1 → 2

2 → 3

3 → 2

Applicazione

Identità

S₃ = { (1,1,2), (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (1,3,1), (1,3,2) }

ciclo 2 → una r.

Quale posto (^{2 3} _{3 1 2}) cilc (^{1 3 2})

(1 2 3)

(1 3 2)

Va su una r.

Composizione

Infatti (S₃, °) è un gruppo perché:

1 - Associativa: (p o q) o h = p o (q o h)

2 - R ha identità neutra (inverso richieda)

3 - Rⁿ assache Applicazione

Come trovare inverso se h. (² _{1 3}) Infatti h² = (^{1 2 3} _{2 1 3}) => Ro|hi(2) = 2

Questi ominos da tutte le spezzatine con strutture cilclea per a 2 ritrovo e p o dell'applicazione la posizione. Matto per non 2 ves per quelli con struttorei cilclea per u. 3.

g_j = (^{1 2 3} _{2 3 1}) g_j^-1 = (^{1 2 3} _{3 1 2}) => Rilàng essereire l conecta risca in quello sono di g

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