Appunti esame geometria, parte su spazi vettoriali, distanze e coniche

Trasformazioni ortogonali e matrici ortogonali

Se abbiamo una matrice di base del cambiamento di coordinate di un sistema di assi cartesiani, per basi orthonormali basta ottenere la matrice dei componenti dei vettori rispetto a questa base. Ad esempio, se abbiamo X = (2,1,3) rispetto alla base B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, possiamo scrivere X = 2(1,0,0) + 1(0,1,0) + 3(0,0,1) = 2B1 + B2 + 3B3.

Una trasformazione lineare T è ortogonale se conserva il prodotto scalare, cioè se per ogni coppia di vettori u e v si ha T(u) · T(v) = u · v. In altre parole, la matrice associata a una trasformazione ortogonale è una matrice ortogonale.

Una matrice ortogonale è una matrice quadrata A tale che A^T · A = I, dove A^T è la trasposta di A e I è la matrice identità. Quindi, se A è una matrice ortogonale, allora A^T = A^(-1), cioè l'inversa di A è uguale alla sua trasposta.

Un complemento ortogonale di un vettore v è un vettore w tale che v · w = 0. In altre parole, il complemento ortogonale di v è un vettore che è ortogonale a v. Se abbiamo una matrice A ortogonale, allora il complemento ortogonale di ogni vettore colonna di A è un vettore che costituisce una base ortogonale.

Quindi, in definitiva, se abbiamo una matrice ortogonale A, possiamo ottenere il suo complemento ortogonale C semplicemente calcolando C = I - A, dove I è la matrice identità.

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