Appunti esame geometria, parte su spazi vettoriali, distanze e coniche

Appunti di GEOMETRIA EUCLIDEA

Corso di GEOMETRIA

Ingegneria informatica – UNIMORE

INDICE DEI CONTENUTI DEL DOCUMENTO

Capitolo 7: autovalori, autovettori, autospazi

 Definizioni principali, polinomio caratteristico, matrice caratteristica

 Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori

 Teorema spettrale e sue conseguenze (similitudine di matrici)

Capitolo 8: spazio vettoriale euclideo

 Prodotto scalare, norma, spazio vettoriale euclideo

 Basi ortonormali e formula di Gram-Schmidt

 Trasformazioni ortogonali e complemento ortogonale

 Orientazione di spazi vettoriali euclidei e prodotti vettoriali

Capitolo 9: spazi euclidei n-dimensionali

 Spazio euclideo, proprietà e dimensione

 Sottospazi euclidei: rappresentazioni, mute posizioni, distanze e angoli

 Simplessi e volumi

Capitolo 10: elementi del piano e dello spazio euclideo

 Spazio e piano euclideo: definizione di retta e iperpiano

 Rappresentazioni di rette e iperpiani

 Mute posizioni di sottospazi: teoremi sul rango e dimostrazioni

 Distanze, formule e metodi per ricavarle

Capitolo 11: coniche

 Cenni di geometria proiettiva

 Definizione di coniche nel piano euclideo, supporto di una conica

 Polarità, polo, retta polare e tangenza di rette alla conica

 Matrice associata ad una conica, centro, diametri, asintoti, assi

 Coniche degeneri e fasci di coniche nel piano euclideo

T

SIA .M-JVT UN ENDOMORFISMO ES UNO

i considerando

scalare Insleme

Taorsce vettOrI

bei

TI -r}

UI S soco .

I

moltiplicanaoui per

-UIT)-EVEVI CHEYEON DITSUV

SIDICE AUTOVALORE

SSV

I RIDUCE

NON NULL

SE SOL

UN SVEHTOEE

AL

.

TELTNAMENTEA 19) DI

SI DICE AUTOSPAZIO

-3 ' AUTOVETTOR

UNLT

ELEMENTIDT

GLI SI DICONO

-3 )

TRISPETTOAN

GLI AUTOVALORI COeT

9 O SONO

.

ss FOV SODDISFANO CONDIZIONE

QUEI CHE

VETTORI LA

L TUVJ

CON

QUIND -IV

. UTOTUOra

IE

oss AUTOVALORE

UN

1:0 -

U

Se

} Kerle)

04T)

EIKE

INETEND

AUTOVALORE TNONE

SSE

le polinomio caratteristico

SIA DI

BBASE A

ORDINATA VPE MAT ASSOCIATA

LA A

.

T

IV

ZISPETTOAB sistema omogeneO con

I

H

10)

( 1.

flelk

2) MATRICe

.

.IE-A)

ESSO AUTOSPAZI

GLI

RAPPR .

I.-A)-IX)-

wowwow generico

componenti diun

caratteristica

matrice B

risPeTtO

vettore A

b TEIKE QUANDO DETERMINANCE

AUTOVALORE IL

ON

diljeugvaleazeROA

) L e

oelk

*) OSS

( autovalore

det A

SSE -O

Dim. ,

DICE A

CARATTERISTICO MATRICE

SI POLINOMIO DELLA

polinomio

il = det

( (

AA t) tFu-AlElk[tJ

TEOREMA PIXIE

RUFFINI DIVISIBILE

DI POLINOMIO

UN

: CX PL

PER BINOMIO QUINdIi

SE

UN SEE SOLO 2I-O

-2)

PLX = ix dice

si

QI7.(x-2)+rearesto

) -a]

La RADICE

Ls CHE XE DI

quozienTE oiisore

della bivisionE PL

PEXL SSE 2I+O

TEOREMA LE RADICI POLINOMIO

DEL CARATTERISTICO

: A

AUTOVALOR

IE GU

SONO . D 1

)

Esempio Be A

T Fisso

.lR?-sIR? -MBe-LYY)

14

( x-Y,2xty)

y31-3

aricerca degliautovalori

t

t -

.I2-A-s t2-st+6-(t-3)(t-2)

-4t.e1

12 E T

AUTOVALORIPER

SONO

12=3 .

RAPOR

7 AUTOSPAZI

CARTESIANA DI

. 151-10)

)

A

U 2.

-1 .

In

244)

S

L =80

-I+tY -7-2 U

RAPPR

E O .

2 TTYTO

, .

xty 2CT)

ly

= L

U ECxYJER?

,41) = (C9,2))

-2x}

GONSEGUENZE CaratTERISTICO

Polinomio

BeL

BICE POLINOMIO CARATTERISTICO DI ENDOMORE

UN MO

S

. ,

SUA MATRICE ASSOCIATA

P QUALSIASI

CARATT

IL DI UNA

. .

DICE TRACCIA MATRICE

DI UNA LA DEGLI

SOMMA

SI ,

ELEMENTI PRINCIPALE

DIAGONALE

DELLA SUA .

JEt

CONTIENE

AALE A

OSS E TRACCIADI

LA

( A)

)

proposizione simici

matrici possiedonO

: :

" GLI STESSI AUTOVALOR

TRACCIA

STESSA

LA polinomiO caratteristico

stesso

co stesso

lo determinante

STESSO RANGO

LO

molteplichá degli autovalori

Si dice geometrica

moltepliciá dellautovalore

I UICT

BIMENSIONE DI

LA )

, ( =

Jim

ingCh )=- UC+) n-plliIu-A)

S MOLTEPLICITA

DICE MOLHEPLICHÁ

ALGEBRICA LA

. ,

1 caratteristicO

deL

radice polinomiO

DI come

proprietá di mng ma

e

FIEIK LMaL

TEMSU )EM

)

cipotrebbero

maéem essere

eoiché

oSs SOLUZIONI ERAEC

CAMPO LES

AL

E SOL .

. )

Esempi T (2 XtY

(

.IR3-sIR x

xty-z,

xy,z)ts 728)

+2y+t,

ÇtfşrAlüftE

)

lêê

f 2zmk)

?Mã 0

1

Jet

0 t-4P -

t -y1l

(ti/s-A)- Aalt) mala

mall

12-4

1

-

aurovalor

, e-T )-2 )

ngcalted

3- -

pfe-t-e

m eee Z

-

e

- e

9()

teorema spettrale

Una

biagonauzzabie

matrice se

simiitudine

per

DICE

si

POSSIEDE DIAGONALE

MATRICE

MATRICE SIMIZE ONA

COME (

SPETTRALE

BASE

UNA DICE

RISPETT

O

SI BS)

SEECOMPOSTA SOLO

endomorfismo AUTOVETTOR

DA

AB UN spettrale

teorema aff

ermare

réequivalenee

.

A E PER

SIMILITUDINE

DIAGONALIZZABILE un

7 00.

00...

on

d

spettrae d

base

una

-ammettE

Êe BICE CHET

IN SI

TAL CASO

Mg Cli SemplICE

eun endomorfismO

C )-n A PUO

OSS MATRICE ESSERE

LA UN ENDOMORF

AD

UNA MAT ASSOCIATA

.

CONSEGUENZE T

SPETTRALE

. E

-

AMBCT

1) A

I

2 .

.C

) MBSCT) l

L

LDIAGONALIZZABIE DI

DIAGONAE

MATRICE CAMBIAMENTO

MATRICE DEL

BS AB

BASE

per similudinE DA

2) VM

SE T AMMETTEM AUTOVALORI DISTINTI

-SVM

. ,

RELATIVAMENTEAT

BS

allota VAMMETTE .

SMUIR I

X

TEOREMA AE

SIA SIMMETRICA REALE

MATRICE

UNA

: ) ,

I E L

JEEOMURR -A.EETE-AE-DUTMATRICE

DIAGonalE

)

*

OSS AUTOVACORI MATRICE

REALI

CI

NON

SE SONO LA

E ,

DIAGONALIZZABILE SIMILITUDINE

PER

NON

Criterio per matrici simili

MILIK

DATE BE

A

MATRICI ESSE SONO

2

d , ANB ),

SCRIVE

SI

SIMILI E LE

ENTRAMBE

SE ALLA

MATRICI SIMILITUDINE

PER

DIAGONALIZZABIL

SONO D

STESSA DIAGONALE

MATRICE . D

OSS DIAGONALE

MATRICE DICE

SI

LA ASSOCIATA

FORMADI JORDAN

ANCHE

Dimostrazione EPAE

ANB

Hp THANB

-JEEOLMIRSI -S

-

D LsFCCClAC

FFEGLMERDS FY

~ 3 .F=D -B

(

FiEl

- Y

Flß infatti

E

E

'ALE 1.x

X.YJE

uo

En in

in ^

-

C

Ius

Im C

Ls A V

C . .S.

=C'B.C

PRObOr A

NORN

SCALARI E

S PRODOTTO

APPLIC

AZIONE

DICE SCALARE DONI

. ,

2 DI

IAD VETTOR

COPPiA

OON .

WV

R T associa scalare

uno

wevefaer

PROPRIETA

CITE LE

SODDISFA SEGUENTT

1 LU }

,VTW3-LO,VD+LO,WS linearitá

9.11 LU

,RV7-X-LU,V7

simmeTRIA

LU

2) LV

,V7- ,07

CVIVS 2

3) LYVJ VEO

PARTICOLARE

IN -O

O COPPIACV

OICE , EUCUIDEO

VETTORIALE

SPAZIO

S

. A ,KI

L E CUIE

VETTORIALE

SPAZIO REALE SU DEFINIO

UNO

, scalarE

prodotto

un PIÓ

REALE PRODOTTI

POSSIEDE

OONI SCALARI

OSS VETT

SP

. . E

$ SCALARE UIND

DEGENERE

NON

SILPRODOTTO ,

se VETTORES

vettore -

un genera OON

PER

O

.

E

ESSO

BELLO NULLO

SPAZIO VETTORE

IL

,

Esempio }

V

VeR )

V

e

" prodotto

(..

-(0.-.,0) scalare

RYXR

C standard

,7: VIH

"=R

q -

0 EiiUV

LU

,B

SI

4

LO VETY CV DICE

SP EUCLIDEO

DATO ,

. . I7)

EVIL NUMEROLERT

NORMA DI T

.C.

'

V-ORrmMs O

E PROPRIETA PS

USARE

POSSIBILE

OSS PER 3

(

OONI NORMA

OSS PS CERTA

INDUCE UNA

POSSIEDE)

, 1

VERSORE VETTORE NORMA

S

.

SIDICE OONI

PROPrIETà 11.11

D

1

2) V

ę 11 20, 11 -O

l-0

v11

6) 11 -

avl

aVl IINIITIU COSUG

UN

D TUIL

TRIANGOLAEY 1 .

II

I KV

SCHWARzI D

IL (01

,0 S06.

-011 .

)

IZLU

C VIVIL

-HOIR

,V7tIIVLT ) B

CANCHE Ce

Dimostrazione PONENDO

a

13 =I1J

)

- /

HOH QUANDO UNOENULLJ

KOrsl - LTO

- --

WEUTB UTBVS

IIWIR -

.V TBYCONZEBCY

-CW,WS-LU.BV,

UTBVS BEV

LU OTBVS COUZTBCU

, ,NS ,UD)

+ -

,

2 O IIWII 20

POICHE

I UIRTZBCOVSTBYINIP

TRNOMIO ALOO ISFINBEZ

DI =D

1

A esaro

-LON2-4I1'11012o ViuslN.1u1

ANGOLI VETTORI

FRA

SIDICE V

L

DELLIANGOLO

COSENO -

coslu 7

0,

UVEV 1203 1111-

TRA VETYORI

DUE ,v) lirs

-

DISUG

TRAMIE D SCHWARZ

OSS . LCOSLY,V)1

.

DICE VETTORI

ANGOLO DUE

FRA

SI )

aicosl coscuu

reale

numero APPARTIENE

CHA

lL )

LO

A RICAVATO DA

:

,JTJ IL

VETTOR ORTOGONAL

JEI

S DICOND

.

DUE . )

é

prodotto scalare LANgOLO

zero ossia

loro ITE

PARI

E

FRAI VET ORL A .

teorema pitagora

di TIVIRENLUVIT

IIUIl

2+0

C

LOROPRETà , Ce

hveetor 1 o

.11

ortogonali

imfatti l

1utvIR

llull 7

m livip

CU

,v7-0

basi ortonormali

S E

DICE ORTOGONALE

SOTTOINSIEME

UN

CHE

. ,

2 SUOI

Q UANDO VETTORI

SCELT PROSUCONO

.

,

PRODOTTO PARI ZERO

SCALARE A . SEE

UN E

SOTTOINSIEME OZTONORMALE VEHTOR

E SUA

PER COPPIA DI

ORTOGONALE OONI

is

itisei

se

-s

ai 3= -20

,

SI

SO

TT

OINSIEME

ORTOGONALE

BASE OON

DICE

ORTOGONALE VETTORE

DIVERSO NULLOI

DAL CUI

LINEARMENTE

I

NDI

VETTORI SONO

S BASE

ORTONORMALE UNA SPAZIO

UNO

BASE

DICE DI

. ,

VETTORIALE EUCLIDEO CHHE

TALE Dij

cei

Blep

,eis -

- -

..en)

*

PROPOSIZIONE AMMETTE

EUCLIDEO

VETT

SP

OONI

: .

.

BASE

ALMENO ORTONORMALE

UNA

PROCEDIMENTO ORTONORMALIZZAZIONE

AI -GRAM-SCHMIDT

Bor M ei

LVs

-1

c z

( en , ei

?.

DaTo base Lli

.,7) ORTOGOnale ,bis

VY, -Ven-it

EUCUDEN

OSS NEGL STANDARS

SP .

VETE

. ~

CANONICA

CONP BE

LA BASE ORTONORMALE

STANDARD

,

.S.

ortonormaL

proprieta . basi

di VEBIVEV

UEBLUIUY

B Cn

Cle

consideranDo ES

-.. ) )

)

vi

2) 7

u

=sei, LE RISP

COMPONENTO

CONOSCE .

} BORTONORMALE

Žp QUALSIASI

UNA

AD UN

6) vi

vi ,

CUrs P P

CALCOLA STANDARS

COME

.

- .S.

.S.SI componenTI

sullE

11

a ull-rov

) viri

E

J coscu "-e

- (

E

,u) ( E vi)

wij2

) . "=+

"i=y

Dimostrazione 6

punto CU vi

TM

Ho -vi

Be base :

ortonormale

. (

UEB ,V)-?,

U...0")

VeBIV

....V") is

se

: Lei

pelfp iti

ose

,bj?-Diss-2I

E Ve

U

Hfp

:

.20 .Eevi.ei

E30 5eVi.e;

CU PROP

APPLICO

E

LEi .

Ž vie J DeL a

, ; .scalarE

,P2- pvili,

- IXj

Ži É

Ls POICHE QUANDO IL

LCi

"

,Vi. zero

,vi. Belala , ,C?Lois?

considero JeN

solo

Ževi ).1

Ls V

C

. .D.

.vi WY

TEOREMA EB

SCELTO EUCLIDEO

VETT UNA

SP

: . .

J SUWY

2.1.7 QUALE

RISPETTO

BASE ORDINATA AL

SUA !

b ,

ortonormale

risulei . 4

cor U.V3-eviri

VBEWEB =3

se !

U

,WEW" B

DATA DIVM

PROPOSIZIOne ORTONORMALE

BASE

: j

B UME MATRICE

LA

BASE ORTONORMALE SSE

'OI

CA MULIK B

EE ABE

RISPETTO

DI

COMPONENTI

DELLE '

) (

MATRICE DEL CAMBIAMENTO BASE

ORTOGONALE DI

MATRICE

B B

oA T

'A ).

SE

ALSS

AE UNA REALE

SIMMETRICA

MATRICE .AT,

BS rISPETTO

ORTONORMALE

BASE SPETTRALE

AMMETTE

T VM

VY

A : BIAG

MATRICE

-3 autovalori

ilon

FEEOMURDE

(

A

Se A D

5 ".

.E-

B

=M T) MATRICE BASE

CAMBIAMENTO

DEL DI A

BS CUIEASSOCIATA

DA BASE

AICA A

BS

PER BASI

ORCONORMALIZZARE

BASTA

OTTENERE LE

OSS L

CIASCUN AUTOSPAZIO

D CONSIDERARNE

E

.

E 'UNIONE

EE OULIR

LA COME COLONNE

HA

MATRICE componenti

) ~

DEI BS AB

VETTORI D RISPETTO

.

esempio X 21%

)

T

.RS-3R åo-0

(2

CXY X +

+ZY

,2123 E,

xtYtZ, +Y+LZ)A=Mñ-(ÎŘŘ)

BSBoUBo

Bue BUa

12-4

1

Aveoral E

eal

TRASFORMAZIONI ORTOGONALI W

✓

Ti

UNA →

• TRASFORMAZIONE LINEARE dice

si

T >

L

TRASF SE

ORTOGONALE OSSIA

CONSERVA ' .

,

. tv ✓ Tlv

Tu

< >

LU

>

)

) v

e = ,

,

IITIUIII IUII

=/

Quindi

OSS LE

055 MATRICE

COME

HANNO

ORTOGONALI

T . )

-1=1--1

( t

ASSOCIATA MATRICE ORTOGONALE

UNA

COMPLEMENTO ORTOGONALE

✗ "

DATO =/

V

C- ORTOGONALE

O COMPLEMENTO

• SI DICE }

VEVYV-xc-XC.ir

{ >

×

complemento = ,

✗

ORTOGONALE di È

055 SOLO NULLO

DAL VETTORE

COSTITUITO

Minor

IL )

( È

POICHÉ ORTOGONALE I

A

ESSO TUTTI VETTORI .

1- ' }

}

{ { V

✓ o o

e

= = '

EX V.V ✗

QUINDI -

INFATTI SE ✗ OTTIENE

C- si

, 4th

/ >

< una

×

" ' c-

✗

2) 1- )

' ( ✓ i

✗ ×

≤ - =

b) ) tie'

( )

Y > i

<

≤ ×

✗ 4-

SEMPE

PROPOSIZIONe E SSV

ORTOGONALE

COMPLEMENTO

IL

: .

Ca

DIL

LINEARITA

GRAZIE ALLA .'> 2)

Unto

.

Sia VeLe t

allora -903

11 +X

)

Dim cC

() UNTU

S VE

ESISTA

SUPPONE

. paria

éper O

quinai def

LVIV 3 esSO

CONSIDERO to

E

V

VEU SO

NECES ARIAM

IN E

CUI V C

,VI-O

LV .V.S.

}

siaub ssudil

leoremai " ha

si .

dim Dies

a ~

U uß

(tu)-m-h

) BON

PARTENDO S

LA

DA

COMPLET

. .

6) U

++U-V" Vmela

AD baSE di siortoromalzza

uNA

POr DI

VEYTOR

CHEI

VERIFICA

SI

COMPIET

HHU

C U BONDIU

ORTOWORMALIZZATI SONO

= )

) A

Iros SLAO

SIA RAPPEESENT

CHE

SISTEMA

ON

:

. )

BoV allota

UB

SPAZIO RISPETTO A

CO .

ViENash Jn +

25)

( H

Ji -3

E

-

Bon U=LLH)

ai... =E2e... !

-M}

Esempio E

-%0

1x+2y-32 dim

U

. 9

x-1y-z (tu)-m-hez

B J ARIAM

B +V .

-NON

FU ORTONORMAE

= ISSAE

VECESS

=4/69,2,-3741,9,-1)) !

PUO

Pros B RSALIE

BYS AULN

CONOSCENDO .

. IU

RAPPRESENTAZ DELE

COEFFICIENT

,

CARTESIANA INFATTII

D .

. , BU

OONI

DI

INCOONITE VETTOR

EQ SINGOLI

DATI DAI O

SONO 1

.

IN

riassumento BORTONORMALE

EUCUDEO

VTS CON

.V. B TYUBJ

UI

B 1-b

DI

BASE S A .

'BASE

.S.V.r 7

geaa ça

^ ^

vP Pah

üh ((

(( .

X) x)

coeff V

HYUBJu

UH L RAP

RAP A

CART DI

CART

. .

. . .

ęn { m EQ .

-(u-hl-h

-bea.

Esempio xtytZ

FISSATAB -O

{

RYCOS U

SIA =

3

P STANDARD O

E con E +t

x+

.S. Sx

-Y-0

UETU

TROVARE OI

RAPP

BASE ART

. DIM

.,

, f )

f t o

pf - E

es y SIST

s QUINDI

-3 MINIMO

I

conrraco 3o .

1oo JimU

E