Appunti seconda parte Meccanica dei continui

SONO NULLE.

Tale giacitura individua una DIREZIONE PRINCIPALE e la tensione NORMALE a tale piano é

detta TENSIONE PRINCIPALE.

Una tensione principale é del tipo E

MON TENSORE

I

~

En SER

Spu

= Sp

i é la direzione principale e é la tensione principale.

RICERCA PRINCIPAL

MIREZIONI

DELLE TENSIONI

e

En Gjnsei En

é la forma GENERALE di

= En

I

" EMENT En

E ETTORIALMENTE

En Opmej

Opm é la forma di una TENSIONE PRINCIPALE

= = È

CAPIRE SE MOM

En

-Em Ent

= Em APPUTT

GUARDARE ALR

=

In

Si impone che

Gui Sprej

=

Apri JM

Gus Spif Spuf

M

O O

=

=

M CjuD O SIE mism

SFRUTTATO

= COLONNA

RIGAX

proso

- TO

matrej

Pietre OPER

(O-Sprdn 0

= 5 343

=

-p

Ci siamo ricondotti ad un pb. agli auto valori per cui é de nito il polinomio caratteristico

Up

(0-upid

det #

Fa

# X - 0

13

- 2

= +

= - + =

Fee-Graff Fa=detfu

Inter

dove sono detti INVARIANTI DEL TENSORE

;

: #I

Le 3 RADICI REALI del polinomio caratteristico , , sono le TENSIONI PRINCIPALI

M

(AUTOVALORI), tre direzioni , , ad esse corrispondenti sono le tre DIREZIONI

PRINCIPALI (AUTOVETTORI)

ST Si

= I

Nota: essendo le tre radici , , sono REALI e , , sono fra loro

& I

05]

Mz

MI

ORTOGONALI =

-

Torniamo all’equazione di bilancio della quantità di moto

=

St, dV )

b( Es

q)dV +

,

D't

Est )

u

Sfruttando a ,

, ↳

gdbafd

t OD't

Dt

Teorema DILERGENZA

della : Don

ds A

i

INTEGRALE LOWME

A fi

Swalt SbaVt JordV

= Dt

D't D't

Sgü 5dVedil

dut-f

di ,

D't

Essendo valido

(gä) die jtgüdif5

-E

/gü) og

dis

dir/)

+ +

+ goiv(f)

Y 0

g +

=

il principio di conservazione della massa =

-

ripist ge=budi

· + l

6

güdi ( VgeDt

+

f)

(ma =

Forma locale dell’equazione di bilancio della quantità di moto 12/11

CONTIRANDO STUDIO

CON TENSIONE

Lo DELLO STATO DI

E Mit

Si o

sono le TENSIONI PRINCIPALI ( AUTOVALORI DI )

, , j

MI M M sono le DIREZIONI PRINCIPALI ( AUTOVETTORI DI )

,

,

Gli invarianti caratterizzano lo stato tensionale:

13 +0 = I

STATO TRIASSALE= tutte le tre tensioni principali sono =0

Iz =

0 STATO BIASSIALE= almeno una tensione principale é =0

=

F2 = )

0 I

=

= STATO MONOASSIALE= solo una tensione principale é =0

3

RECOMPOSIZIONE ADITTUA A S

U

2 5 t()

+ id

8 i

-

= =

=

29- DEVIATORE DI TENSIONE

and-ef n = COMPONENTE SFERICA DI

CERCHIO DI MOHR: offre un’interpretazione gra ca dello stato tensionale.

R2

Supponiamo per semplicità di essere in un caso bidimensionale ( )

10 Enn"

U -- Ent

A ... 84

---- go

/s

=

Em-Güs Fa

5

↳ -

b TANGENTE

COMPONENTI

TROVARE LE

Possiamo ORTOGONAL ERSORE

TANGENZIALE fi

En

En ti tu"5

(n -

)T

(n (i

-u ;

=

= =

=

==

tü-Eu- CSSS CSE

=

= -

ErEn-

Usiamo le seguenti identità trigonometriche

Geycosyzyc samuzy ; se

tü Ges(GS

=

sostene (252

= =Se

En fas2

sa +

Ente catas +

Elevando al quadrato e sommando, si ottiene

füre

Casa

a

-esce)

sarac

tü tn

En G

E

Solitamente la parte parallela si indica con e quella ortogonale =

= 25

-

R

X Eg

xc y)

y

+ =

- 1

x (2(y

(

(ii) ygz

Si riconosce l’equazione di una circonferenza sul piano - =

-

y

X : ed

o

=

e a

Descrive una circonferenza di centro e raggio

;

che prende il nome di CERCHIO DI MOHR.

-

# A pt

&

Or

POLO

Gas =

&

A * a

8

- h

= *

Es Gaz)

p (as

si de nisce POLO del cerchio di MOHR il punto = -

=

-Eu

* u

ye g

e = DIREZIONE PRINCIPALE

=

h

tü =

Tr =T

a

de +

toj

2 = Ce

Cas

Attenzione 2y

Cercos2y

t

= 0 =

y

=

se =

: = =

fi

Dal cerchio di MOHR si individuano immediatamente le tensioni tangenziali MASSIMA

e MINIMA

-Vest =-

R

;

trax =

+ M y

2(0

24

28

0 Y

Portando gli angoli alla circonferenza e al centro e , si ottiene l’angolo -

tale per cui la circonferenza si può scrivere come

E Rosa

=

Py U

= /a

Runz y

T +

= 2(0

mn2(1 y) 4)

R

Trax = 1 = 0 y T

=

2

=

=

- =

= - -

T4

Omax 8 -

= = Crax Y +

É la giacitura per cui la tensione tangenziale é massima =

Riepilogo sull’utilizzo del cerchio di MOHR

5

1. Dato si calcola C e R

p

2. Si identi ca il Polo

3. Si determinano le due tensioni principali e le corrispondenti direzioni principali

4. Si determinano le tensioni di taglio massimo e minimo

p

Emin U 8 -

Max =

* i

S e

0

m

S :

2 65304

03

*

L S 8

o

[8 lo

0

Le due direzioni principali sono e

fi 33/33

Esercizio

Dato un tensore degli sforzi di Cauchy (nel caso bidimensionale)

- gept

x(g)

x =

#Em

⑳

(8) k

9 = ;

Supponiamo che é una costante nota. Si determinano le tensioni e direzioni

principali sia risolvendo il pb agli autovalori, sia il metodo gra co del cerchio di MOHR.

(

u =

1 Metodo : Pb AUTOVALORI

()de

(U-Xio det

det = CARATTERISTICO

X KER

k

#

1k 11 A RARAU

+

= + -

=

= #

Si devono determinare ora gli AUTOVETTORI corrispondenti a e , ovvero le

DIREZIONI PRINCIPALI

&

I DIREZIONE questa é l’incognita

XIv)uy

( 0

=

-

u (

m

E

E my

my

+ 0 my

- uf 0 =

=

Sosten +

- =

= =

Ku-m0 M ME

= =

-

II DIREZIONE

o sost

k

-4 Kim =Kumi

= - o

= =

KIT-M O

=

1) oppur

M =

MI -

=

Fosservazione ele mil ortogonal

sono

(3) (3)

ins 0

o 1

1 +

= =

-

Em -

Ent ↑ ↑ /4

u

↑

i ⑨

↑ L A

Metodo gra co con cerchio di Mohr Re

Tr = C ( of o

,

,

PE(Gas 82)

-T (0 k)

= -

-

, .

=

-

Le direzioni principali coincidono con quelle calcolate con gli autovettori. Ė immediato

calcolare anche le tensioni principali 2)

R)

SI CI -

k( ( X

XI

+ =

=

= fi 26/33

MOMENTO DEVIATORICO

. Affit Vettore dato da la sua proiezione ortogonale sulla

hi A

S retta r

o

o

88 ..

Dato un sistema di masse discreto, un polo O e una retta r passante per O, é MOMENTO

DEVIATORICO É IL VETTORE

Emihi

pi

Dra =

per un sistema continuo De

TanSprahorsale

torniamo al TENSORE DI INERZIA

⑫ I Fi

Fo = A

RISPETTO

D'IMERZIA

MOMENTO ASSE .

I

I Foj Iij

ifj

se =

=

J

RETTA"" X5

LA = Forte

I-Fès

Des

Den

= Pertando

+ -

=

e

L RETTA "2" 02

LA = b

I E SIMMETRICO

L "2"

CARETTA 13

=

LEGAMI COSTITUTIVI

5671E Le equazioni di legame devono essere CONSISTENTI : non devono

LEGALE COSTITUTIVO “contraddire” le equazioni di bilancio e di congruenza (cinematiche)