Appunti meccanica dei continui

CORSO di MECCANICA dei CONTINUI

A.A. 2020-2021

Lezione del professore: Erasmo Marino

I PARTE

21 Settembre 2020

Richiami di ALGEBRA LINEARE e GEOMETRIA

SPAZIO VETTORIALE: Si definisce uno spazio vettoriale un insieme V con un elemento privilegiato 0_v dotato di operazioni, dette operazioni,

1. ADDITRICE:
   • u + v → u_v + v_v
   • u_v + v_v ∈ V
2. MOLTIPLICAZIONE per Scalari:
   • R × V → V
   • (r_v)_{r ∈ R , v ∈ V}

Gli elementi di V si chiamano VETTORI.

Proprietà:

• (u + v)_v = u_v + w_v + v_v + 0
• ∀v ∈ V: v^-1 = (v - v)_v = 0
• (λ +μ ⋅) = λ + v = v w_v ε ∈ R

BASE di uno SPAZIO VETTORIALE

B = {b_j} j = 1... n base di V

dim(V) = n B = {b₁, b₂, b₃, ... b_m}

elementi Vettori.

Base: Insieme di n elementi indipendenti tali che qualunque elemento di V si può esprimere come combinazione lineare degli elementi della base.

Infatti si può esprimere il vettore r nello base B come segue:

r = r₁b₁ + r₂b₂ + r₃b₃ +...+ r_nb_n = Σ r_ib_i

In notazione di Einstein si omette il simbolo di sommatoria:

r = r_ib_i

RAPPRESENTAZIONE VETTORI

v =

caso BASE V ∈ R³ | e_i, e_z, e₃∈ B Sistem di

x di (r) = i; intal caso | (x

Base ortonormale standard in R³:

iⁱ = 1, j^k = 0

SPAZI AFFINI

Si chiama spazio affine un insieme A costituito da elementi detti punti P. V con un'operazione ha uno spazio affino associato ad uno spazio vettoriale V.

si esercita gratuitamente che ha come somma formale un punto P con un vettore. detta TRASLAZIONE:

f: A × r → A

(p; v_v) → p +r

p+vr= (x(p) + r_p

Applicazioni Lineari

Proprietà dello spazio affine:

• p' = p + _V(u - v) ∀p∈A
• (p - p') ∈ V ∀p, p' ∈ A
• ∀p, p'∉ A ∃! _V tale che p' = p + _V

Proprietà

1. f(_V + _U) = f(_V) + f(_U)
2. f(t_V) = t f(_V) ∀t∈R _V ∈ V _U ∈ R

Notazione: _{f = f(bj)}

Rappresentazione Matriciale di un'Applicazione Lineare

b = {b₁, b₂, ..., b_n} base _V

b' = {b'₁, b'₂, ..., b'_m} base _V'

f_t = b' (m^m)

f(b_i) = f(b₁) f(b₂) ... f(b_n)

Tensori misti e endomorfismi

Sia f una applicazione lineare f∈L(*χ*, V) allora g∈L(*V^**, *χ*) Allora f = g f = g_i^jβ_i⊗b^j

Tensori misti e rappresentazione matriciale

Si supponga f∈L(V, V) Allora f∈L(*V^**⊗V) f = (fⁱ_j) F = f_i^jβⁱ⊗b_j

Tensori covarianti di II ordine

Esiste una regola per cui i tensori covarianti del II ordine catiruisce uno spazio vettoriale dato da β¹⊗β_j²_...n

Configurazione

D_CP congiunto usa a P ad ogni istante -> embedded di B tra stato e tempo t ∈ T

Gioco di tutte le configurazioni di B durante un determinato intervallo di tempo

D = {(t, p) ∈ T × P | t ∈ T_i, p ∈ C_B}

D = ∪ D_t t ∈ T

Moto di un corpo continuo

Ad ogni istante di un determinato 8

C_t: T × B → P (t, p) |→ C(t, p) Differenziabile e invertibile ∈

Punto variabile C_P, che vede 2 variabile wrt t & al suo spazio

Modi alternativi di definire il moto

Ad ogni istante t, rimangono le 3 seguenti C_B: T × B → C_P: T → P_tCP(p)

che definisce il moto composto come C(t, B) → D_t

C_S: B → D_S C_E: B → D_E

D^t quindi C(t, .)C_t o C^id: D_t → D_S o D_E

Differenziabile ↔ può derivare &agg; Invertibile ↔ si può invertire l'applicazione

Il tubo H3 può contenere un sistema privilegiato S₀ Che prende a mano la configurazione iniziale

Se C_S = id C_S(p) = p

Moto composto D₂ D_S C_t(8) = C_t(S)

Nel materiali, generalmente 8 = p = q

Gradiente di Deformazione

_13/10/2020

Jacobiano del Moto

Moto di un continuo: Applicazione

C: T x B → P

J_t: T x B → B^∞ x D_t ≃ L(B, D_t)

J_t (p)‹L(B, D_t)›&={B} → D_t

Significato J_t ∀t ∈ T, h ∈ B,l'operatore gradiente di deformazione

J_t (p) rappresenta l'approssimazione al I° ordine spaziale del moto in un

C_t(p + h) ≃ C_t(p) + (J_t(p)h) + ...

In punto diverso da p l'espresso il moto si effettua una traslazione da p.

Det:

C_t(p) = p + u(t,p)

J_t(p) = ∂_au^j(t,p)

J_t =

J_s = J_st J_t

J_p

Rappresenta la composizione delle placchette del moto. C_s soddisfa a C

Per definizione questo derivata attodo ad

Si può usare J per calcolare la derivata

d_Jp(t+λ)/dλ = J sulla sinistra

Quindi si definisce

Tensore di velocita

Inoltre si ha che:

Proposizione Il tensore coincida con graident delle velocità eulerdiana

grad

Dimostrazione

d/d

Tensione Tangenziale

τt

τ = ^V/_A

Nel processo di deformazione di un continuo vengono allocate diverse tensioni.

σ_t

^σ_x/_t

Nel diagramma si osservano tipici tensioni attraverso un corpo solido in sezioni consec.

T = 0

Se tensioni con ^σ/ _t indica tensioni normali alla direzione indicata dal pedice

σ_x = F_x / A

σ_y⁰ = ^F/₀

W = F cosθ

A = ^A_o/_cosθ

16/11/2020

θ (rad)

Si indicano con

σ vetori

û = [□]

u_x, e_i versori

Questo tetraedro conterra' un certa quantita' di materia data dalla densita' di massa media.

Su questa matrice saranno esercitate delle forze di volume indicate con _f.

... punto del continuo sara' sottoposto ad una cele cazione a media.

densita' media di massa _a levoce xzcla densita' media.

Indire sulla faccia di normale _n ci sara' un vettore tensione media.

Analogia analoga sulle facce.

... aee'u tensioni media bordosupentel.

Lemma di Cauchy

... principio di laingert

... si dimostra che

calcolo limiti _An >0

Volume triade ~ 0 piu veloceemente del ... Inbtre con _An >0

... valde di ... media toni deno... e valde con...

Lemma di Cauchy

Dimoostraione (con convizionio bilanci)

... di...e qal...

Equiblier ... o equilibre ...