Meccanica dei Continui - Appunti

Densità di forze di volume e di superficie

Quando studiamo una particella, generalmente le grandezze che studiamo sono grandezze finite quali la massa, le velocità, le forze ecc…

Per quanto riguarda le continue si:

Infatti, ad esempio, le forze che agisce su un continuo è data dalla somma delle forze che agiscono sulle particelle del continuo stesso.

Tuttavia le particelle sono infinite, per cui nel caso dei continui si può parlare solo di densità di forza e per ottenere una forza finita occorre integrare su un volume, cosicché otteniamo, sommando su tutte le particelle appartenenti a tale volume, una forza finita.

Questo tipo di forze prende il nome di forze di volume ed ha un’unità di misura in N/m³.

Oltre alle forze di un continuo esistono altri due tipi di forze, quelle di superficie e quelle di arco. Iniziamo definendo le forze di superficie. Le forze di superficie non sono riconducibili in sistemi formati da una singola particella, esse infatti derivano delle interazioni di particelle molto vicine.

In particolar modo la forze di superficie è la forze esercitata sulle particelle del bordo delle particelle che stanno vicino.

Anche in questo caso, poiché le particelle sono infinite, per ottenere una forza finita occorre integrare su una superficie (cioè sommare su tutte le particelle appartenenti a tale superficie).

In tutte le sezione che ho posto e in cui si trovano le particelle che fanno forze ci deve inoltre essere un punto con il piano su cui facciamo portare.

Indica con un punto il punto di tangenza e le notevoli e importante ricordare che la forza esercitata su superficie che presentano lo stesso piano di tangenza è lo stesso.

Ovvero il punto si trova tramite il vettore ortogonale al piano e risulta verso le porte attive ed il passaggio per un punto.

A questo punto cerchiamo di calcolare la rotola di tenzione o di sfocare di un continuo ovvero la forza che agisce sul continuo il quale è indicato con la lettera greca s (sigma). Per calcolo prendiamo in considerazione un’insieme T (insieme del tempo), un’insieme P (insieme dei punti del continuo) e un’insieme S (insieme del vettore ortogonale).

Vale la formula: τ=P×S ‾>F

cioè per qualsiasi istante, punto e vettore è, equivale all’insieme sopraposto una forza di superfice

Adesso facciamo un esempio. Prendiamo un punto e vediamo di calcolare la forza di superfice sulle masse ₂ rispettivamente sopra normale e tangenziale della faccia a polersi. Secondo la legge:

F=F₁+F₂

dove

F1=(F_n)n

ed F2=(F_t)n

In particolar modo se F1 presenta la stessa direzione di n si dice che lo sfiora

normale e la tensione, attinente di pressione.

Dobbiamo sapere che esiste una relazione tra tutte le Tensioni, infatti è.

lineare rispetto ad . Qui è importante richiamare il concetto di

applicazione lineare.

Sia

F: P→P

F è lineare se per x∈V e poiché che:

f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂)

f(tx)=tf(x)

Inoltre fissata una base ortonormale {e₁, e₂, e₃}, un vettore v è v₁e₁+v₂e₂+v₃e₃

• de cui f(v)=f(v₁e₁+v₂e₂+v₃e₃)=v₁f(e₁)+v₂f(e₂)+v₃f(e₃)

Dove ogni colonna della matrice A rappresenta le componenti delle sforze rispetto

alle varie facce. Ad esempio la 1° colonna sovrona le componenti delle sforze

rispetto alla 1° faccia

Detto questo proviamo a fare alcuni esempi:

1. Sia A =³⁰⁰_{0 0 -5}
• Rispetto alla primo faccia: sforzo da tensione di 3
• Rispetto 2 faccia: sforzo da tensione di 0
• Rispetto 3 faccia: sforzo da tensione di -5

Prendo un vettore m normale:

• m=αe₁+βe₂+ɣe₃
• ^3000=3a_{0 0 -5β=-5β}
• colonne i cui elementi sono le componenti della sforsa
• relative alle facce.

Se voglio lo sforsa normale: ί(m)=ί(m)·m.

3α(χι / (χ) + (β) (-5β) / (ɣ) (- 5 y) = 0

6·m=0

3α²-5β²-5ɣ²=0

3α²-β²+ɣ²=1

∞ come soluzioni

• 2) Sia A = ³⁰⁰_{0 0 5 =α}
• m = αe₁ + βe₂ + ɣe₃
• ^300=3α5β_{0 0 5= x}
• 3α²+5β²+5ɣ²=0
• (x²+β²+ ɣ²=1)

Il sistema non ho soluzioni infotte nella prima si

potrebbe avere un'identita solo se -x²+β²+ɣ²

se ess forse uguale a O, nella seconda x=1 No!

Geometria delle masse

Il punto di partenza è quello di definere un sistema di masse.

I sistema di masse possono essere discreti (se il numero di elementi è finito) o continui (se il numero di elementi è infinito).

Sistemi discreti:

Un sistema discreto è costituito da due elementi: un insieme di punti (insieme) e un insieme di masse (reali) a tale punti distribuite.

Nei sistemi discreti prendiamo unici un dominio e ad ogni punto attribuiamo una densità di massa. Ritorniamo ai sistemi discreti.

Il primo concetto che introduciamo è la massa totale, cioè la somma di tutte le masse che dobbiamo fare l'utenza. ∑_i m_i.

Invece la massa relativa è definita come la massa delle particelle, diviso la massa totale. (M_r = ∞&sub>r m_i).

Inoltre dobbiamo ricordare che la somma delle masse relative è uguale a 1.

Detto questo, il concetto importante è quello di centro di massa che è un punto medio tra tutti i punti del sistema che soddisfa la seguente equazione:

∑_{mi (Pi - P0) = 0}

P_i ∝ punti

dove P₀ è la media pesata dei vari punti. Si può subito dimostrare che tale equazione ammette una ed una sola soluzione.

Per farlo scegliamo C ∝ R arbitrario e ottieniamo:

P₀ - O˚ ∑ m_i (P_i - O) - non dipende da O. (O non vero).

Importante è anche polarizzate proprietà distributiva del centro di massa.

Se dividiamo il sistema in 2 parti, ci conviene p_os selec∞ il centro di massa parziale.

Il centro di massa di tale 2 sistemine-componente:

Calcolare il momento di inerzia del cerchio le cui particelle sono sul bordo

I = mR²

Momento = massa * distanza²

Il momento di inerzia in questo caso e maggiore perchè le particelle occupano una maggiore parte si trovano a maggiore distanza dall’asse.

Tracciamo un parallelo tra i due tensori visti fino a questo momento:

Tensore tensioni

• ^6'P -> P
• ^6'(n_i) = forza relativa alle focce
• ⋃ ad m
• ^6'(n_i * m) = ⁶(n_i * m)^a + ⁶(n_i * m)^s dove:
• ⁶(n_i * m)^s = ((⁶(n_i * m))^s)^{composto con}
• ⋃ il ricciamo focce
• λ = lineare
• ^6' = simmetric
• n_i≠0
• 6(n_i * m) >0 tensione
• ⋃