Appunti Meccanica dei Solidi

Statica dei continui deformabili

Modello del continuo di Cauchy

Il vettore sforzo genera un corpo tridimensionale, che sotto l'azione di azioni esterne trova equilibrio.

V = volume
S = (V) superficie _{S 123} · È un mezzo continuo detto vincolato. _{(si trascuri la reale natura molecolare)}

Le forze saranno distribuite con continuità e quindi: _{V→0 F = b}

_{b = vettore delle forze di volume (in generale variabile in V) [^N/mm3 o ^KN/m3]}

_{V→0 M = 0 Lm (Momento di trasporto)}
L quindi nel corpo non agiscono coppie distribuite. Stessa cosa per la superficie del corpo: _{S→0 = t = vettore delle forze di superficie [^N/mm2 o MPa]}

_{S→0 MT =0 ⇒ Queste sono le ipotesi, che traducono il Modello di Cauchy.}

Equazioni cardinali della statica

Per garantirne l'equilibrio devono valere le equazioni cardinali della statica:

_{∑F =0 ∫V+∫sds=0 [− p: punto generico]}

_{∑M =0 ⇒ {O∧∫V+∫sds=0}}

Analisi dettagliata del modello di Cauchy

Statica dei continui deformabili Modello del continuo di Cauchy: Il vettore sforzo generico corpo tridimensionale, sotto l'azione di azioni esterne trova l'equilibrio.

V = volume
S = (δV) superficie (S_e e S_i)
ε è un mezzo continuo libero, vincolato.
ξ misura la reale natura molecolare.

Le forze saranno distribuite con continuità e quindi _ΔV->0 ^ΔF⁄_ΔV = b
b = forza applicata in un punto qualunque.
b = vettore delle forze di volume (in generale variabile in V) [N/mm³ o KN/m³]

lim_ΔV->0 ΔM = 0 (Momento di trasporto) L_t quindi, nel corpo, non agiscono coppie distribuite.

Stessa cosa per la superficie del corpo: c = vettore delle forze di superficie [N/mm² o MPa]
lim_ΔS->0 ΔM = 0 Queste sono le ipotesi, che traducono il modello di Cauchy.

Per garantire l'equilibrio devono valere le equazioni cardinali della statica: ∑F=0 ⟹ ∫_V b dV + ∫_S t e_s dS = 0 [O - polo: P, punto generico]

∑M=0 ⟹ ∫_V OP ∧ b dV + ∫_S OP ∧ t_s dS = 0

Tensore degli sforzi di Cauchy

Tagliando il volume in due parti, V₁ e V₂, chiamando n il versore normale al piano, le due parti per mantenersi in equilibrio dovranno scambiarsi azioni uguali e contrarie (△R e △M).

lim_△A->0 ^△R/_△A = s_n → vettore sforzo agente nel punto P sulla superficie di normale n

lim_△A->0 ^△M/_△A = 0 → s_n = σ(P, n)→ in generale s_n non è diretto come n e ha una componente normale e una tangenziale [Se s_n·dA è la forza agente in P è V₁, nel medesimo punto in V₂ agirà: -s_n·dA]

Tetraedro di Cauchy

Il tensore degli sforzi di Cauchy serve per capire la relazione tra s_n e σ(n)dA₃dA₁ verso n rispetto x₃. Si impone l'equilibrio alla traslazione ΣF = 0→ Forza di volume (bdV) + Forza di superficie (s_n·dA₁) = Σn_i·dA_i = s_n·dA→ s_n·dA - Σs_i·dn_i - Σb_i·da₃ + bdV = 0

dA_i = da n_icoseno direttore trascurabile poiché riportiamo ad ordine → s_n = σ₁n₁ + σ₂n₂ + σ₃n₃ = Σσ_in_i = Σs_in_i = s_n ^{- Σb_in_i}

Teorema di Cauchy

s_n = σ_in_i → σ_ij = σ_ji → σ_nj = σ_jin_i => σ_ij = [σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃]