Appunti Meccanica dei Solidi

STATICA dei CONTINUI DEFORMABILI

• Modello dei continui di Cauchy: il vettore spazio G

Generico corpo tridimensionale, sotto l'azione di azioni esterne trova l'equilibrio

• V volume
• S superficie

è un MEDIO CONTINUO libero vincolato

Si maschera la reale natura molecolare

Le forze saranno distribuite con CONTINUITÀ e quindi

• ^ΔF/_ΔV→0 S f

CAR=FORZA applicata in un punto qualunque

• f vettore delle forze di volume

(in generale variabile in V)

• [N/mm³ o KN/m³]
• Momento di trasporto

• ^ΔM/_ΔV→0

Stessa cosa per la superficie dei corpi

• ^ΔF/_ΔS→0

t = vettore delle forze di superficie

• [N/mm² o MPa]

• ^ΔM/_ΔS→0

Queste sono le ipotesi, che traducono il MODELLO DI CAUCHY.

Per garantire l'equilibrio devono valere le EQUAZIONI CARDINALI della STATICA

• Σ F = 0

• ∫ b dV + ∫ S t dS = 0

[O + polo; P punto generico]

• Σ M = 0

• ∫ OP ∧ b dV + ∫ OP ∧ t dS = 0

Tagliando il volume in due parti V₁ e V₂ chiamando n il versore normale al piano, le due parti per mantenersi in equilibrio dovranno scambiarsi azioni uguali e contrarie (∆R e ∆M)

lim ∆R = τ_n ∆A→0 ∆A

lim ∆M = 0 ∆A→0 ∆A

→vettore sforzo agente nel punto P sulla superficie e normale in

→ σ_ij = σ(P, n)

→ In generale τ_n non è diretto come n → ha una componente normale e una tangenziale

[Se dF₁ è la forza agente in P ∈ V₁, nel medesimo punto in V₂ agirà: −dF₁ ]

Il tensore degli sforzi di Cauchy

Tetraedro di Cauchy → serve per capire la relazione tra τ_n e n_i

• Si impone l’equilibrio alla traslazione ∑ F_i = 0

→ Forza di volume (bdV) + Forza di superficie (∑dA_i):

∫ ∀ dA_i → ∑τ_ndA

1. ∑n₁dA₁ - ∑n₂dA₂ - ∑n₃dA₃ → ∫ ∀ dA_i = 0 → ∫ ∀ dV = 0

dA_i = dn_i: coseno direttore trascurabile poiché riportiamo al bordo superiore

→ τ_n = σ₁₁n₁ + σ₂₁n₂ + σ₃₁n₃... + Σ₁σ _in_i = Σ_n = σ = Σ_nF_i

TEOREMA DI CAUCHY!

τ_ni = σ_ijn_j = τ_ji = σ_jin_i

σ_ij = σ_ji

→ TENSORE degli SFORZI

ΣF_t = 0; T(θ_d)d_s - (σ₁dz₂)sinα + (σ₁z₂dx₂)cosα + - (σ₂dz₂)sinα + σ₂dz₂)cosα = 0

Con questo bilancio abbiamo ottenuto direttamente le equazioni di T(α_x) e S(α_x). Considerando: dx₂ = d_ssinα dz₂ = d_scosα

=> T(α_x) = σ₁cos²)α_x + σ₂sin²)α_x + 2σ₁z₂sinα_xcosα_x S(α_x) = (σ₁ - σ₂) cosα sinα = σ₁ (cos²α - sin²α)

Somando membro per membro si ottiene un’equazione di un CERCHIO nel piano σ, Tσ di cerchio C = (¹/₂(σ₁ + σ₂ ,0)

R = [¹/₂ (σ₁ - σ₂)² + σ₁₂]^1/2

Il piano (σ, Tσ) è detto PIANO DI MOHR e il cerchio è definito come CERCHIO DI MOHR. Le coordinate del cerchio di Mohr definiscono le componenti dello sforzo agente su una superficie parallela alla direzione di sforzo.

N.B. L’angolo α nel piano di Cauchy corrisponde a un angolo 2α nel cerchio di Mohr.

Calcolo degli sforzi principali mediante il cerchio di Mohr Il cerchio di Mohr interseca l'asse σ in due punti che rappresentano due superfici non soggette a sforzi tangenziali => sono degli SFORZI PRINCIPALI.

σ₁^' = ^{σ_i + σ₁₂}/₂ ± ^{√((σ₁₁ - σ₂₂)2)}/₂ + σ_i2] + σ₁₂

tg2α_x = ^{2 σ₁₂}/_{σ11 - σ12}

Significato meccanico

• TRASLAZIONE RIGIDA
• ROTAZIONE RIGIDA (W tensore delle piccole rotazioni)
• DEFORMAZIONI NELL'INTERNO (E tensore delle piccole deformazioni)

ε_I = ∂u_I/∂x_I ε₁₂ = 1/2 (∂u_I/∂x₂ + ∂u₂/∂x₁)

CASO 2D

• ε_I e ε₂ rappresentano gli allungamenti specifici delle fibre usualmente dirette come gli assi coordinati
• La variazione dell'angolo θ₁₂ = 2ε₁₂

CARATTERISTICHE E

• Tensore doppio simmetrico a coeff. reali
• Esiste almeno una terna (ε_1', ε_2', ε_3') rispetto alla quale si annullano tutte le componenti fuori diagonali di E = DIREZIONI PRINCIPALI DI DEFORMAZIONE
• ε_I', ε_II', ε_III' = DEFORMAZIONI PRINCIPALI

Sfruttando le deformazioni principali di deformazione

- DEFORMAZIONE VOLUMETRICA ^dv/_dv0 ≈ ε_I' + ε_II' + ε_III' = I₁

I₁, invariante lineare delle deformazioni, rappresenta la deformazione volumetrica di un elemento infinitesimo di materia

ε è sempre scomponibile in parte IDROSTATICA e parte DEVIATORICA ε = e + η  dove e = I₁/3  + tr(Cε)/3 rende conto delle variazioni di volume   rende conto dei cambiamenti di forma

LEGAME INVERSO

bisogna garantirne l'invertibilità delle equazioni di legame. Nel caso di materiale elastico basta la condizione di "stabilità" (equilibrio)

E_ij = C_ijkl σ_jk ε_ik

TENSORE ELASTICO di CEDENZA (gode di tutte le simmetrie del tensore di rigidezza)

ω^C(ε_i) = ¹/₂ C_ijkl σ_ij ε_ik = ¹/₂ σ_ij E_ij → POTENZIALE COMPLEMENTARE

Il legame elastico di materiali isotropi

Isotropo: materiale che presenta le medesime proprietà in tutte le direzioni; la risposta a una sollecitazione è sempre la stessa in ogni parte (es. ACCIAIO)

ANISOTROPO: (es. LEGNO)

Il potenziale per questi materiali non dipende dal sistema di riferimento, ovvero dipende dagli INVARIANTI U(C^e) = W(I₁, I₂, I₃)

Se è una forma quadratica quindi non può dipendere dal I₃

→ W(C^e) = aI₁² + bI₂ (tipologia di forma)

Costanti del materiale

w(ε_i) = ¹/₂ (I₁ + 2G) I₂ = 2GI₁ → λ, G + COSTANTI DI LAME'

G → MODULO DI ELASTICITÀ TANGENZIALE

N.B. In un solido elastico lineare le direzioni principali di sforzo e le direzioni principali di deformazione coincidono

Tutto vale anche per il potenziale complementare

ω^σ = cI₁² + dI₂