Appunti riassuntivi di Fisica generale 1

Moto 1d:

- Moto lungo una retta/in verticale

- Moto di caduta verticale:

(Accelerazione gravitazionale: g = 9.81 m/s²)

α_z = -g

Altezza massima: h_m = y_i + V₀²/2g

Tempo salita: t = V₀/g

Velocità media:

Spazio percorso: Δx = x(t₂) - x(t₁)

Tempo impiegato: Δt = t₂ - t₁

<v> = Δx/Δt

Velocità istantanea:

Spazio percorso in intervallo di tempo sempre più piccolo, che tende a zero:

v(t) = lim (Δx/Δt)

Δt -> 0

v(t) = dx/dt

Accelerazione media:

<α> = (v(t+Δt) - v(t))/Δt

Accelerazione istantanea:

α = lim (Δv/Δt)

Δt -> 0

α = dv/dt = d²x/dt²

Con accelerazione costante:

(Dimostrazione)

a = dv/dt => dv = a·dt

∫_v0^v_E dv = a ∫_t0^t dt => [v_E - v₀] = a(t - t₀)

=> v_t = v₀ + a(t - t₀)

dX/dt = v_E => dx = (v₀ + a(t - t₀))dt

∫_x0^x_t dx = ∫_t0^t [v₀ + a(t - t₀)] dt

=> x_t = x₀ + v₀(t - t₀) + 1/2 a(t - t₀)²

Moto in 2d

r = vettore posizione di P

_Xp, _Yp = coordinate di P sul piano X, Y

X_t = V_x0 cosθ (t - t₀) + X₀

Δr = r - r' spostamento da P a P' indipenente da O

Vettore: definito da direzione, verso e modulo (o intensita’)

Modulo: |i| = V

θ = arc tg (V_y / V_x)

V = V_x i + V_y j = V_x + V_y

Moto Parabolico

x = v₀ cosθ

Modo rettilineo uniformemente accelerato

Il moto parabolico è la composizione di x e y e trova lequazione:

• x = v₀ cos θ · t
• y = v₀ sin θ · t - ½ g t²

Yi = v₀ sin θ · t - ½ g t²

Altezza massima raggiunta:

h_i = v₀² sin² θ / 2g

Trigonometria

sin θ = OQ / PQ

cos θ = OR / PQ

tan θ = sinθ / cosθ

Forza Peso e Forze Vincolari

Con g = 9.81 m/s² si indica Forza Peso = mg L'accelerazione dovuta alla forza di gravità.

Un corpo appoggiato su un piano non cade: questo grazie al 3^o principio della dinamica F_P = - F_N

Piano Inclinato

F₁ = - F_N = mg · cos Θ F₂ = mg · sin Θ

E_o = F_in μ ↑ coefficiente dinamico

Tensione di un cavo

T = -mg

La tensione all'interno del cavo si annulla.

Lavoro:

La forza F compie lavoro a velocità costante [a = 0]

Il lavoro è proporzionale allo spostamento percorso

Quiete: equilibrio tra le forze

Moto in movimento allora: |F| > |F_attr

Risultante non nulla:

Accelerazione =

a = (F + F_attr)/m

Dopo un breve istante Δt:

V = a Δt

Concetto di lavoro:

Il lavoro è pari alla forza (modulo) per lo spostamento

W_F = |F| |s|

Lavoro lungo y

W_F = mgh

W_g = -mgh

Il lavoro di F è positivo perché nella stessa direzione e verso dello spostamento.

Il lavoro è positivo se F ha lo stesso verso dello spostamento.

Al contrario se F ha verso opposto allo spostamento allora

W < 0

Con velocità cons.

• Se lo spostamento è perpendicolare alla forza non compie lavoro:

W = F cos90° = 0

\cos 90° = 0

Corpo Esteso:

Densità uniforme:

_mρ = _V

T_cm = ₁ / _m ∫ r ρ d_V

₁ / _m ∫ r ρ d_V

X_cm = _ρ / _m ∫ x d_V

Y_cm = _ρ / _m ∫ y d_V

Z_cm = _ρ / _m ∫ z d_V

Cilindro:

Con densità uniforme: ρ = _m / _V

Vol. cilindro = πr²L

X_cm = ₁ / _m ∫ x d_V = ₁ / _m ∫ ₀^L ∫ V·πr² d_x

= ₁ / _πr²L ∫ ₀^L x d_x = ₁ / _L [_x² / ₂] ₀^L = _L / ₂

Lez 11

Rotazioni:

Corpo rigido: un corpo rigido è un corpo nel quale le distanze tra le "masse" non cambiano.

Il centro di massa trasla, il corpo ruota attorno ad esso, per accelerare il cm.

F = ∑ F_ext

Moto del cm:

qta di moto:

P = N V_cm

p = m v̇

Variazione dovuta alla forza:

F = dP / dt

Rotazione:

|L| = |∑ L_i|

|L| = r p

Variazione dovuta al momento di una forza:

= dL / dt

Lez. 43

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE:

3_prima WR_elicottero = L_S^topo + W_topo

Se il momento totale τ = 0

=>

dL/dt = 0

L si conserva!

Giroscopio:

ω

d/dt L^C = τ

=>

ω = -τ/Iz

z^C = d × mg

L_ω = I_ωω

τ_C = Ω × L

= d × mg

Accelerazione centr.:

q = J·ω

dθ/dt = ω

O tengo: Jω·Ω = dmg

θ = ωt - Ω cos Ωt × r

• Velocità angolare di precessione:

Ω = -dmg/Jω ẑ

Energia Meccanica del Moto Armonico

Moto della massa appesa alla molla (armonico):

X = X₀ cos ωtv = -X₀ ω sin ωtU = ½ k X₀² cos² ωt

ω² = ^k/_mk = m ω²ω = √^k/_m ; X₀ sin ωt =

L'energia mecc. in conservazione:

E = U + K = ½ k X₀² (sin² ωt + cos² ωt) = ½ k X₀²

Ottengo:

U = ½ k X₀² cos² ωt

K = ½ k X₀² sin² ωt

E = U + K = ½ k X₀²

Onda Stazionaria:

cos: h(x, t) = h_{(x, t)} = h₀ cos(ωt - kx) - cos(ωt + kx)

Ora, riprovo: d = ut = β-kx ⇒

cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ

cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ

= 2h₀ sinα sinβ = 2h₀ sinωt · sinkx

I nodi restano fissi, quindi l'onda è stazionaria.

Le queste due creste e le onde si alternano.

Battimenti:

h = cos(k₁x + ω₂t) + cos(k₂x + ω₁t)

cos X = 0 → h = cos ω₁t + cos ω₂t

ω₁ = ω + Δω

ω₂ = ω - Δω

Attengo: h = 2 cos ωt · cos Δωt